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专题 三视图及组合体的计算问题

时间:2017-03-09


三视图与组合体问题
题型一 三视图的识图与计算 常考查:①三视图的识别与还原问题;②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体 积等问题.主要考查学生的空间想象能力及运算能力,是近几年高考的热点. 【例 1】?已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图 是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为

[审题导引] 条件中的俯视图与侧视图给出了边长,故可根据三视图的数量关系进行选择. [规范解答] 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐” ,故正视图的高一定是 2,正视图 和俯视图“长对正” ,故正视图的底面边长为 2,根据侧视图中的直角说明这个空间几何体 最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合以上可知,这个空间几何体的 正视图可能是 C. [答案] C 方法总结: (1)可以从熟知的某一视图出发,想象出直观图,再验证其他视图是否正确; (2)视 图中标注的长度在直观图中代表什么,要分辨清楚; (3)视图之间的数量关系:正俯长对正,正侧高平齐,侧俯宽相等. (4) “眼见为实、不见为虚” . 【突破训练 1】三棱锥 D-ABC 及三视图中的主视图和左视图分别是如图所示,则棱 BD 的长 为_________. 4 2

题型二 三视图求体积 【例 2】 ?如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧(左)视图、 俯视图. 已知 CF=2AD, 侧(左)视图是边长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形,有关数据如图所示.求该几何体 的体积.



如图,取 CF 的中点 P,过 P 作 PQ∥CB 交 BE 于 Q,连接 PD,QD,AD∥CP,且 AD=CP. 四边形 ACPD 为平行四边形,∴AC∥PD. ∴平面 PDQ∥平面 ABC,该几何体可分割成三棱柱 PDQCAB 和四棱锥 DPQEF,[来源:学科 网 ZXXK] 1 1 ?1+2?×2 2 ∴V=V 三棱柱 PDQCAB+VDPQEF= ×2 sin 60°×2+ × × 3=3 3. 2 3 2 求体积常见技巧 (1)几何体的“分割” :几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个 易求体积的几何体,进而求之. (2)几何体的“补形” :与分割一样,有时为了计算方便,可将几何体补成易求体积的几 何体,如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法. 【突破训练 2】 已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A.

1 6

B.

1 12

C.

2 3

D.

1 3

题型三 三视图求面积 【例 3】?一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图 2 所示, 则该几何体的侧面积为 cm .
5 5 8 正视图 5 8 侧视图 5
2

160

8 俯视图

注: 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分, 表面积就是全面积, 是一个空间几何体中 “暴 露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积” . 【突破训练 3】已知某几何体的三视图如图所示,则该 几何体的表面积等于( ) A.

160 B.160 3

C. 64 ? 32 2

D. 88 ? 8 2

题型四 组合体问题 该类问题命题背景宽,常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查,多以 选择、填空题的形式出现,试题较容易. 【例 4】? 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则 该球的表面积为( A.π a
2

). 11 2 2 C. π a D.5π a 3

7 2 B. π a 3

[审题视点] 确定球心的位置,寻找直角三角形,通过直角三角形求球的半径. B 2 3 3 [设三棱柱上底面所在圆的半径为 r,球的半径为 R,由已知 r= · a= a. 3 2 3

1 2 1 2 1 2 7 2 2 2 又∵R =r + a = a + a = a , 2 3 4 12 7 2 7 2 2 ∴S 球=4π R =4π · a = π a ,故选 B.] 12 3 方法总结:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截 面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系. 【突破训练 4】已知球的直径 SC=8,A,B 是该球球面上的两点,AB=2 3 ,∠SCA=∠SCB

=60°,则三棱锥 S-ABC 的体积为 A.2 3 B.4 3 C.6 3 D.8 3

【例 5】 ? 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切, 已知这个球的体积是 那么这个三棱柱的体积是 A.96

32 ?, 3

3

B.16 3

C.24

3

D. 48 3 ) D. 1∶9

【突破训练 5】正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

【例 6】?已知表面积为 24? 的球外接于三棱锥 S-ABC,且 ?BAC ?

?
3

, BC ? 4 ,则三棱锥

S ? ABC 的体积最大值为
A.

8 2 16 2 B. 3 3

C.

16 3

D.

32 3
25? , 4

【突破训练 6】 点 A, B, C, D 在同一个球面上, AB ? BC ? 2 , AC=2, 若球的表面积为 则四面体 ABCD 体积最大值为 A.

1 4

B.

1 2

C.

2 3


D.2

解析:根据题意知,△ABC 是一个直角三角形,其面积为 1.其所在球的小圆的圆心在斜边 AC 的中点上,设小圆的圆心为 Q,球的表面积为 球的半径为 r, ,r= ,

四面体 ABCD 的体积的最大值,底面积 S△ABC 不变,高最大时体积最大, 就是 D 到底面 ABC 距离最大值时,h=r+ 四面体 ABCD 体积的最大值为 ×S△ABC×h= 故选:C. 【例 7】?一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶 点上的三条棱的长分别为 2,2,3,则此球的表面积为( ) A.17π B.16π C.15π D.14π =2. = ,

【突破训练 7】已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于 3





(A) 2 2

( B)

2 3 3

(C)

4 2 3

(D)

4 3 3


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