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(数学[普通班])深圳科学高中2013届高一上学期期末考试

时间:2013-05-07


深圳科学高中 2013 届高一上学期期末考试 数
考试时长:90 分钟


卷面总分:100 分

(国际体系)

注意事项: 答案写在答题卡指定的位置上, 写在试题卷上无效. 选择题作答必须用 2B 铅笔, 修改时用橡皮擦干净.解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写,答题不 得超出答题框. 相关公式: V台体 ?

1 h S1 ? S 2 ? S1S 2) ( 3

一、选择题(8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. 过两点 A(4, y) , B(2, ? 3) 的直线的倾斜角是 45 ,则 y 等于( (A)
?

).

?1

(B) ?5

(C) 1

(D) 5 ).

2. a , b 为异面直线,且 a ? ? , b ? ? ,若 ? ? ? ? l ,则直线 l 必定( (A) 与 a , b 都相交 (C) 至少与 a , b 之一相交 (B)与 a , b 都不相交 (D) 至多与 a , b 之一相交 ).

3. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间为( (A) (1, 2) (C) (3, 4) (B) (2, 3) (D) (4, 5)

4. 在△ABC 中,AB=2,BC=3,∠ABC=120° ,若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形成 的几何体的体积是( (A) 6? ). (B) 5? (C) 4? (D) 3? ).

5. 过两点 (?1, 1) 和 (3, 9) 的直线在 x 轴上的截距为 ( (A)

?

3 2
)

(B) ?

2 3

(C)

2 5

(D) 2

6. 直线 l 垂直于梯形 ABCD 的两腰 AB 和 CD,直线 m 垂直于 AD 和 BC,则 l 与 m 的位置 关系是( (A) 相交

(B)平行

(C)异面 (B) 2 x ? y ? 4 ? 0

(D) 不确定 ).

7. 过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( (A) x ? 2 y ? 5 ? 0

(C) x ? 3 y ? 7 ? 0 (D) 3x ? y ? 5 ? 0 8. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 为 AC 的中点,点 D1 是 A1C1 上的一点,若 BC1∥

1

平面 AB1D1,则

A1 D1 等于( D1C1

).

(A)

1 2

(B) 1

(C) 2

(D) 3

二、填空题(6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. 已知直线 l1 过点 P(2, 1)且与直线 l2 : y ? x ? 1 垂直,则 l1 的点斜式方程为 10. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积的比为 _____________. 11. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长 为 4 的两个全等的等腰直角三角形,则用 以拼成一个棱长为 4 的正方体. 个这样的几何体可 .

12. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 是等边三角形,且 AB= 3 ,AA1= 则二面角 A1-BC-A 等于 .

3 , 2

13. 已知 A(5, -2),B(-1, 2),C(a, 0),且|AB|=2|BC|,则实数 a =



14. 某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由 1 个分裂 成 4096 个需经过 小时.

三、解答题(4 大题,共 44 分) 15. (本题 10 分)已知直线 x ? y ? 3m ? 0 和 2 x ? y ? 2m ? 1 ? 0 的交点 M 在第四象限,求 实数 m 的取值范围.

2

16. (本题 10 分)某市原来民用电价为 0.52 元/kW· h.换装分时电表后,峰时段(早上八点到 晚上九点)的电价为 0.55 元/kW· h,谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为 0.35 元/kW· h. 对于一个平均每月用电量为 200 kW· 的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的 10%,则 h 这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少?

17. (本题 12 分)如图,E,F,G,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC,CC1,C1D1, AA1 的中点,求证: (1)GE∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H.

18. (本题 12 分) (1)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ∠ABC=60° 是 BC 的中点.求证:AE⊥PD. ,E

(2)如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD⊥CD, AB∥CD, AB=AD=2, CD=4.求证:平面 BDE⊥平面 BEC.

3

参考答案
一、选择题(8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 1A , 2C , 3B , 4D , 5A , 6D, 7A, 8B. 二、填空题(6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 9. y-1=-(x-2); 10. 3:1:2; 11. 3 ; 12. 45° ; 13. 2 或-4; 14.3.

三、解答题(4 大题,共 44 分) 15. (本题 10 分)已知直线 x+y-3m=0 和 2x-y+2m-1=0 的交点 M 在第四象限,求实数 m 的取值 范围. 分析:解方程组得交点坐标,再根据点 M 在第四象限列出不等式组,解得 m 的取值范围. 解:由 ?

? x ? y ? 3m ? 0, ?2 x ? y ? 2m ? 1 ? 0,

..................................2 分

m ?1 ? ?x ? 3 , ? 得? . 8m ? 1 ?y ? . ? 3 ?
∴交点 M 的坐标为 (

..................................5 分

m ? 1 8m ? 1 , ). 3 3

∵交点 M 在第四象限,

? m ?1 ? 3 ? 0, ? ∴? ? 8m ? 1 ? 0, ? 3 ?
解得 ?1 ? m ?

..................................7 分

1 . 8 1 8

...................................9 分 ..................................10 分

∴m 的取值范围是 ( ?1, ) .

16.(本题 10 分) 解:原来电费 y1=0.52× 200=104(元). ..................................2 分 .......4 分

设峰时用电量为 x kW· h,电费为 y 元,谷时段用电量为(200-x) kW· h. 则 y=0.55x+0.35(200-x)≤(1-10%)y1, 即 0.55x+70-0.35x≤93.6,则 0.2x≤23.6, ∴ x≤118, ..................................9 分 .............................7 分

即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118 kW· h.
4

................10 分

17.(本题 12 分) 证明: (1)如图,取 B1D1 的中点 O,连接 GO,OB, 易证 OG∥ 1C1, B 且 OG=

........................1 分

1 B1C1, 2 1 B1C1. 2

........................2 分

BE∥ 1C1, B 且 BE= .......................3 分

∴ OG∥ 且 OG=BE, BE ............................4 分 ∴ 四边形 BEGO 为平行四边形,∴ OB∥ GE. ......................5 分 ∵ OB?平面 BDD1B1,GE?平面 BDD1B1, ∴ GE∥ 平面 BB1D1D. ............................6 分 (2)由正方体的性质易知 B1D1∥ BD,且易证 BF∥ 1H(取 DD1 中点 P,连接 AP,FP,由于 D FP//AB,且 FP=AB,所以四边 ABFP 为平行四边形,所以 AP//FB,又 HD1//AP,故 BF∥ 1H). D ........................9 分 ∵ 1D1?平面 BDF,BD?平面 BDF, B ∴ 1D1∥ B 平面 BDF. .........................10 分 ∵ 1?平面 BDF,BF?平面 BDF, HD ∴ 1∥ HD 平面 BDF. .........................11 分 又∵ 1D1∩HD1=D1, B ∴ 平面 BDF∥ 平面 B1D1H. ..........................12 分 18.(本题 12 分)(1)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥ 平面 ABCD, ∠ ABC=60° 是 BC 的中点.求证:AE⊥ ,E PD. 分析:转化为证明 AE⊥ 平面 PAD,进而转化为证明 AE⊥ AD,AE⊥ PA. 证明:∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠ ABC=60° , ∴ ABC 为正三角形. △ ∵ 为 BC 的中点,∴ E AE⊥ BC. .........................2 分 又 BC∥ AD,∴ AE⊥ AD. .........................3 分 ∵ PA⊥ 平面 ABCD,AE?平面 ABCD, ∴ PA⊥ AE. .........................4 分 又 PA?平面 PAD,AD?平面 PAD, 且 PA∩AD=A, ∴ AE⊥ 平面 PAD. .........................5 分 又 PD?平面 PAD,∴ AE⊥ PD. .........................6 分 (2)如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD⊥ CD,AB∥ CD,AB=AD=2,CD=4.求证:平面 BDE⊥ 平 面 BEC. 分析:转化为证明线面垂直,即证明平面 BEC 内的直线 BC⊥ 平面 BDE. 证明:∵ 四边形 ADEF 为正方形,∴ ED⊥ AD.
5

又∵ 平面 ADEF⊥ 平面 ABCD,且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD,ED?平面 ADEF, ∴ ED⊥ 平面 ABCD ∴ ED⊥ BC. .........................8 分 在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BC=2. 在△BCD 中,BD=BC=2,CD=4, ∴ BC⊥ BD. ........................10 分 又 BD∩ED=D, ∴ BC⊥ 平面 BDE. ........................11 分 又∵ BC?平面 BEC, ∴ 平面 BDE⊥ 平面 BEC. ........................12 分

6


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