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高二数学数列专题练习题(含答案)

时间:2018-06-11


高中数学《数列》专题练习
1. Sn 与 an 的关系: an ? ?

(n ? 1) ? ? S1 ,已知 S n 求 an ,应分 n ? 1 时 a1 ? S1 ; ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)

n ? 2 时, an = S n ? S n?1 两步,最后考虑 a1 是否满足后面的 an .
2.等差等比数列 等差数列 定 义 通 项 等比数列

an ? an?1 ? d ( n ? 2 )
a n ? a1 ? (n ? 1)d ,an ? am ? (n ? m)d ,(n ? m)

an?1 ? q(n ? N * ) an

an ? a1q n?1 , an ? am q n?m
如果 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项. G 2 ? ab 等比中项的设法:

如果 a, A, b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 中 项 的等差中项. A ?

a?b 。 2

等差中项的设法: a ? d , a, a ? d 前n 项 和 性 质

a , a , aq q

Sn ?

n(n ? 1) n (a1 ? a n ) , S n ? na1 ? d 2 2

q ? 1 时 , S n ? na1 ; q ? 1 时 , Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

am ? an ? ap ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)
若 2m ? p ? q ,则 2am ? a p ? aq

若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq

若2m ? p ? q, 则有a2m ? ap ? aq ,( p, q, n, m ? N * )

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列
函 数 看 数 列

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列
an ? a1 n q ? Aq n q a a sn ? 1 ? 1 q n ? A ? Aq n (q ? 1) 1? q 1? q

an ? dn ? (a1 ? d ) ? An ? B sn ? d2 2 d n ? (a1 ? )n ? An 2 ? Bn 2 2

(1)定义法:证明 an?1 ? an (n ? N * ) 为常数; (1)定义法:证明 判 定 方 法 (2)等差中项:证明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N * ,

a n ?1 (n ? N * ) 为一个常数 an

n ? 2)
(3)通项: an ? kn ? b(k , b 为常数)( n ? N * ) (4) sn ? An ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N * )
2

2 (2)等比中项:证明 an ? an?1 ?an?1 (n ? N * , n ? 2)

(3)通项公式: an ? cqn

(c, q 均是不为 0 常数)

(4) sn ? Aq n ? A ( A, q 为常数, A ? 0,q ? 0,1)
1

3.数列通项公式求法:(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法;(3)累乘法(

an?1 ? cn 型); an

(4)利用公式 an ? ?

(n ? 1) ? ? S1 ;(5)构造法( an?1 ? kan ? b 型);(6)倒数法等 ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1)

4.数列求和 (1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。

5. Sn 的最值问题:在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?a m ? 0 ? m?1 (2)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ?a m
一、选择题 1.已知 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为( A. ? )

?a ? 0

的项数 m 使得 S m 取最大值.

?a ? 0 的项数 m 使得 S m 取最小值。 ? m?1 ? 0

也可以直接表示 Sn , 利用二次函数配方求最值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2
2 a9 ? a11

D.

3 2
( )

,则 2.在等比数列 ?an ? 中,若 a3 a5 a7 a9 a11 ? 243
A.9 B.1 C.2 D.3

3.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? a5 ? A.260 B.220 C.130 D.110

1 S 5 , 且 a9 ? 20, 则 S11 ? ( 2

)

2 4.各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an ? an?1 ? an?1 ? (n ? N * , n ? 2), 则 S2 009 等于(

)

A.0

B.2

C.2 009

D.4 018

5.在△ ABC 中,tanA 是以 ? 4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 等比数列的公比,则这个三角形是( A.钝角三角形 B.锐角三角形 ) C.等腰三角形

1 为第三项,9 为第六项的 3

D.非等腰的直角三角形 )

6.记等差数列 ?an ? 的前项和为 sn ,若 s3 ? s10 ,且公差不为 0,则当 sn 取最大值时, n ? ( 7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 log( 2 S n ? 1) ? n ? 1 ,则通项公式为( A. an ? 2 (n ? N )
n *

A.4 或 5

B.5 或 6

C.6 或 7

D.7 或 8



B. a n ? ? n ?2 (n ? 2)

?3 (n ? 1)

C. an ? 2n?1 (n ? N * )
2

D. 以上都不正确

8.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? (


2

A.38

B.20

C.10 )

D.9

.

9.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( A.15 B.16 C.49

D.64 )

10. Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( A.3 B.4 C.5 D.6

11.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1, 则 S4 ? ( A.7 B.8 C.15 D.16 )

)

12.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? ( A. 2
n ?1

B. ( )

3 2

n ?1

C. ( )

2 3

n ?1

D.

1 2 n ?1
.

二、填空题: 13.已知等比数列 {an } 为递增数列.若 a1 ? 0, 且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 , 则数列 {an } 的公比 q ? 14.设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2, 前 n 项和为 S n , 则 a =
2

S4

.

15.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? 则 ?an ? 的通项公式 S10 31 16.等比数列 ?an ? 的首项为 a1=1,前 n 项和为 S n , 若 S5 =32,则公比 q 等于________. 三、解答题 17.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18.已知等比数列 {an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2a6 .
2

(I)求数列 {an} 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

1 ? log3 an ,求数列 { } 的前 n 项和. bn

19.已知 ?an ? 为等比数列, a1 ? 1, a5 ? 256; Sn 为等差数列 {bn } 的前 n 项和, b1 ? 2, 5S5 ? 2S8 . (1) 求 ?an ? 和 {bn } 的通项公式; (2) 设 Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,求 Tn .
3

2 ? 20. 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 满足 4Sn ? an?1 ? 4n ?1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

21. a2 , a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?an ? 是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且

Tn ? 1 ?

1 bn n ? N ? . 2

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 22.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 ? ? 1. 1 ? a n?1 1 ? a n

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

4


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