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广东省广州六中2011-2012学年高二上学期期末考试数学理试题

时间:2012-12-27


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广东省广州六中 2011-2012 学年高二上学期期末考试数学理试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答, 答案必须写在答卷纸各题目指定区域内 的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 1} , B ? { x | 0 ? x ? 5} , 则集合 ( C U A ) ? B ( * ) A. { x | 0 ? x ? 1} C. { x | 0 ? x ? 1} B. { x | 0 ? x ? 1} D. { x | 0 ? x ? 1}

第一部分选择题(共

2.要完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收 入人家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标; ②某中学的 15 名艺术特长生中选出 3 人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为( A.①随机抽样法,②系统抽样法 C.①系统抽样法,②分层抽样法 * )

B.①分层抽样法,②随机抽样法 D.①②都用分层抽样法 * )

3.已知 ? , ? 为不重合的两个平面,直线 m ? ? , 那么“ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.若
1 a ? 1 b

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
b a ? a b ? 2 中,

? 0 ,则下列不等式:① a ? b ? ab ;② a ? b ;③ a ? b ;④

正确的不等式有( * ) A.1 个 B.2 个
2

C.3 个
2

D.4 个

5.直线 l 过点( ? 4,0)且与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 2 5 交于 A、B 两点,如果|AB|=8,那 么直线 l 的方程为 ( * ) A. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 C. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 B. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 或 x ? 4 ? 0 D. 5 x ? 1 2 y ? 2 0 ? 0 x ? 4 ? 0

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6.函数 f ( x ) ? 3 sin( 2 x ?
?
3

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* )
?
6 , 0 )对称

) 的图象为 C,下列结论中正确的是(

A.图象 C 关于直线 x ? C.函数 f ( x ) 在区间 ( ?

?
6

对称
, 5? 12 ) 内是增函数

B.图象 C 关于点( ?

?
12

D.由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移

?
3

个单位长度可以得到图象 C

7. 如图是函数 Q(x)的图象的一部分, 设函数 f (x) = sinx, g(x)=
1 x

, 则 Q(x)是(

*

)

A.

f (x) g (x)

B.f (x)g (x) D.f ( x ) +g ( x )

C.f ( x ) – g ( x )

8.把数列 { 2 n ? 1} 依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第 四个括号四个数, 第五个括号一个数, 第六个括号两个数??, 循环分为: , (3) (5, , 7) (9,11,13)(15,17,19,21)(23)(25,27)(29,31,33)(35,37,39, , , , , , 41)(43) , ,?,则第 60 个括号内各数之和为 ( * ) A.1192 B.1176 C. 1168 D.1112

第二部分非选择题 (共 110 分)
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 9.命题 p : ? x ? R , f ( x ) ? m 。则命题 p 的否定 ? p 是________***________

10.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的 体积为 _***_
? lo g 3 x , x ? 0 , ? 11.已知函数 f ( x ) ? ? 1 x 那么不等式 f ( x ) ? 1 ? ( ) , x ? 0, ? 3

的解集为

_***_

12.已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线方程是 y ?

3 x ,它的一个焦点在抛

物线 y ? 8 x 的准线上,则双曲线的方程为
2

_***_

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? x ? y ?1? 0 ? 13.在平面直角坐标系 xO y 中,设 D 是由不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的区域,E 是到原点 ? y ? 0 ?

的距离不大于 1 的点构成的区域,向 E 中随机投一点,则所投点落在 D 中的概率是 _ *** .
??? ? ???? ???? 1 ???? A D ? A C , | C D |? 2

14、已知△ABD 是等边三角形,且 A B ? 面积为 _***_

3 ,那么四边形 ABCD 的

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题共 12 分) 已 知 以 角 B 为 钝 角 的 ? ABC 的 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c ,
?? ? m ? ? a , 2b ? , n ?

?

3 , ? sin A ,且 m ? n .

?

(1)求角 B 的大小; (2)求 cos A ? cos C 的取值范围. 16、 (本小题共 13 分) 高二某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部都介于 13 秒到 18 秒之间, 将测试结果 按如下方式分成五组,第一组 ?13 ,14 ? ,第二组 ?14 ,15 ? ……第五组 ?17 ,18 ? 如图是按上述 分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于等于 14 秒且小于 16 秒规定为良好,求该班在这次百米测试中成绩为良 好的人数。 (2)设 m , n 表示该班两个学生的百米测试成绩,已知 m , n ? ?13 ,14 ? ? ?17 ,18 ? 求事件 “ m ? n ? 2 ”的概率。 频率/组距
0.38 0.34 0.18 0.06 0.04

13

14

15

16

17

18 秒

17. (本小题共 13 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 A B C D 直 角 梯 形 , 且 A D // B C , 中 为
? A B C ? ? P A D ? 9 0 ? ,侧面 P A D ? 底面 A B C D . 若 P A ? A B ? B C ?

1 2

AD .

(Ⅰ)求证: C D ? 平面 P A C ;
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(Ⅱ) 侧棱 P A 上是否存在点 E , 使得 B E // 平面 P C D ?若存在, 指出点 E 的位置并证明, 若不存在,请说明理由; P (Ⅲ)求二面角 A ? P D ? C 的余弦值.

A B

D C

18、 (本小题满分 14 分) 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本 y (万元) 与年产量 x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y ?
x
2

? 48 x ? 8000 ,已知此生产线年产

5

量最大为 210 吨。 (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求每吨产品平均最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
3 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ( ? 1, 0 )、 F 2 (1, 0 ) ,且经过

定点 P (1, ) , M ( x 0 , y 0 ) 为椭圆 C 上的动点,以点 M 为圆心, M F 2 为半径作圆 M . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,求点 M 横坐标 x 0 的取值范围; (3)是否存在定圆 N ,使得圆 N 与圆 M 恒相切?若存在,求出定圆 N 的方程;若不 存在,请说明理由. 20. (本小题共 14 分) 已知数列 ? a n ? 中, a 1 ? 2, a n ? 1 ? (Ⅰ)试写出数列 ? b n ? 的前三项; (Ⅱ)求证:数列 ? b n ? 是等比数列,并求数列 ? a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅲ)设 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,
4an ? 2 3an ? 1

?n ?

N * ? ,设 b n ?

3an ? 2 an ? 1



求证:

? n ? 1? ? 2
2

n ?1

?n?2

n ?1

?1

? Sn ?

?n ? 2??2
2
n ?1

n ?1

?1

?n ?

N *? .

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2011-2012 学年度第一学期

高二级理科数学期末四校联考答案及说明
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 C 7 D 8 A

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. ? x ? R , f ( x ) ? m
2

10. 36
1

11. ( ? ? , 0 ] ? [3, ? ? )

12. x ?
2

y

?1

3

13. ?

14.

3 2

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 15. (本小题共 12 分) 【解析】 (1)? m ? n . ∴ m ? n ? 0 ,得 3 a ? 2 b sin A ? 0 由正弦定理,得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , 代入得 3 sin A ? 2 sin B sin A ? 0, sin A ? 0 , ∴ sin B ?
3 2

?? ?

2 分) ????????3 分


2? 3

???????? 5 分

所以 B 为钝角,所以角 B ?

.
?? ? ? A? ? 3 ?

???????? 6 分

(2)? co s A ? co s C ? c o s A ? c o s ?
1 2 3 2

? cos A ?

cos A ?

sin A ?

? ? ? 3 sin ? A ? ?) 3 ? ?

????????9 分

由(1)知 A ? ? 0 ,
?
? ?

?

? ?

? ? ? 2? ? ?? , ?, A ? ?, 3 ? 3 ? 3 3 ?

∴ sin ? A ?

? ?

? 3 ? ,1 ? ??? 3 ? ? 2 ? ?

????????11 分
?3 ?2 ? ? ?

故 cos A ? cos C 的取值范围是 ? 16、 (本小题共 13 分)

,

3

????????12 分

【解析】 (Ⅰ)根据直方图可知成绩在 ?14 ,16 ? 内的人数为:
50 ? 0 . 18 ? 50 ? 0 . 38 ? 28 人 ;

????????5 分

(Ⅱ)成绩在 ?13 ,14 ? 的人数有: 50 ? 0 . 04 ? 2 人,设为 a ,b.
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成绩在 ?17 ,18 ? 的人数有: 50 ? 0 . 06 ? 3 人,设为 A,B,C.
m , n ? ?13 ,14 ? 时有 ab 一种情况. m , n ? ?17 ,18 ? 时有 AB,AC,BC 三种情况.
m , n 分别在 ?13 ,14 ? 和 ?17 ,18 ? 时有 aA,aB,aC,bA,bB,bC 六种情况.

基本事件总数为 10,事件“ m ? n ? 2 ”由 6 个基本事件组成. 所以 P ( m ? n ? 2 ) ?
6 10 ? 3 5

.

??????????13 分

17. (本小题共 13 分) 解法一: (Ⅰ)因为 ? P A D ? 9 0 ? ,所以 P A ? A D . 又因为侧面 P A D ? 底面 A B C D ,且侧面 P A D ? 底面 A B C D ? A D , 所以 P A ? 底面 A B C D . 而 C D ? 底面 A B C D , 所以 P A ? C D . 在底面 A B C D 中,因为 ? A B C ? ? B A D ? 9 0 ? , A B ? B C ?
2 2

1 2

AD ,

所以 A C ? C D ?

A D , 所以 A C ? C D .

又因为 P A ? A C ? A , 所以 C D ? 平面 P A C . ???????????4 分 (Ⅱ)在 P A 上存在中点 E ,使得 B E / / 平面 P C D , 证明如下:设 P D 的中点是 F , 连结 B E , E F , F C , 则 E F // A D ,且 E F ?
1 2 AD .

P

E A

F D

由已知 ? A B C ? ? B A D ? 9 0 ? , 所以 B C // A D . 又 B C ?
1 2 AD ,

所以 B C // E F ,且 B C ? E F , 所以四边形 B E F C 为平行四边形,所以 B E // C F . 因为 B E ? 平面 P C D , C F ? 平面 P C D , 所以 B E // 平面 P C D . ?????8 分 (Ⅲ)设 G 为 A D 中点,连结 C G , 则 CG ? AD .

B

C

P

H A D 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com B G

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C

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又因为平面 A B C D ? 平面 P A D , 所以 C G ? 平面 P A D . 过G 作GH ? PD 于 H , 连结 C H ,由三垂线定理可知 C H ? P D . 所以 ? G H C 是二面角 A ? P D ? C 的平面角. 设 A D ? 2 ,则 P A ? A B ? C G ? D G ? 1 , D P ? 在 ? P A D 中,
GH PA ? DG DP

5.

,所以 G H ?

1 5

.

所以 ta n ? G H C ?

CG GH

?

5 , cos ? G H C ?

6 6

.

即二面角 A ? P D ? C 的余弦值为 解法二: 因为 ? P A D ? 9 0 ? , 所以 P A ? A D . 又因为侧面 P A D ? 底面 A B C D , 且侧面 P A D ? 底面 A B C D ? A D , 所以 P A ? 底面 A B C D . 又因为 ? B A D ? 9 0 ? , 所以 A B , A D , A P 两两垂直. 分别以 A B , A D , A P 为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,如图.

6 6

.

????????????13 分

z P

A D B x C

y

设 A D ? 2 ,则 A (0, 0, 0 ) , B (1, 0 , 0 ) , C (1, 1, 0 ) , D (0, 2, 0 ) , P (0 , 0 , 1) . (Ⅰ) A P ? (0, 0, 1) , A C ? (1, 1, 0 ) , C D ? ( ? 1, 1, 0 ) , 所以 A P ? C D ? 0 , A C ? C D ? 0 ,所以 A P ? C D , A C ? C D . 又因为 A P ? A C ? A , 所以 C D ? 平面 P A C . ????????????4 分
??? ? 1 1 (Ⅱ)设侧棱 P A 的中点是 E , 则 E ( 0 , 0 , ) , B E ? ( ? 1, 0 , ) . 2 2 ???? ? n ? C D ? 0, ? 设平面 P C D 的一个法向量是 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ???? ? n ? PD ? 0. ?

??? ?

????

????

??? ???? ?

???? ????

因为 C D ? ( ? 1, 1, 0 ) , P D ? (0 , 2 , ? 1) ,
? ? x ? y ? 0, ? 2 y ? z ? 0.

????

????

所以 ?

取 x ? 1 ,则 n ? (1, 1, 2 ) .

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所以 n ? B E ? (1, 1, 2 ) ? ( ? 1, 0 ,
??? ? 1 2

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??? ? ) ? 0 , 所以 n ? B E .

因为 B E ? 平面 P C D ,所以 B E ? 平面 P C D .
??? ?

????????????8 分

(Ⅲ)由已知, A B ? 平面 P A D ,所以 A B ? (1, 0, 0 ) 为平面 P A D 的一个法向量. 由(Ⅱ)知, n ? (1, 1, 2 ) 为平面 P C D 的一个法向量. 设二面角 A ? P D ? C 的大小为 ? ,由图可知, ? 为锐角,
??? ? n ? AB (1, 1, 2 ) ? (1, 0 , 0 ) 6 ? 所以 c o s ? ? . ??? ? ? 6 6 ?1 n AB

即二面角 A ? P D ? C 的余弦值为

6 6

.

????????????13 分

18、 (本小题满分 14 分) 【解析】 (1)生产每吨产品的平均成本为
f (x) ? y x ? x 5 ? 8000 x ? 48 ( 0 ? x ? 210 ) ,

?????????3 分

由于

x 5

?

800 x
x 5 ?

? 48 ? 2
8000 x

x 8000 ? ? 48 ? 2 ? 40 ? 48 ? 32 , ???????? 5 分 5 x

当且仅当

时,即 x ? 200 时等号成立。

???????????6 分 ??????????? 7 分
x
2

答:年产量为 200 吨时,每吨平均成本最低为 32 万元; (2)设年利润为 s ,则 s ? 40 x ? (
1 5
x
2

? 48 x ? 8000 ) ? ?

? 88 x ? 8000

??10 分

5
( 0 ? x ? 210 ) ? ?

5

( x ? 220 ) ? 1680 ,
2

???????????12 分

由于 s 在 ( 0 , 210 ] 上为增函数,故当
x ? 210 时, s 的最大值为 1660。

答:年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1660 万元。 19. (本小题满分 14 分) 【解析】 (1)由椭圆定义得 P F1 ? P F 2 ? 2 a , 即 2a ?

???????????14 分

??????????? 1 分
? 5 2 ? 3 2 ? 4 , ????????? 2 分

?1 ? 1 ?

2

?3? ?? ? ? ?2?
2

2

?1 ? 1 ?
2

2

?3? ?? ? ?2?

2

∴ a ? 2 ,又 c ? 1 , ∴ b ? a ? c ? 3 .
2

??????????? 3 分 ???????????.4 分

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

?1

4

3

(2)圆心 M ( x 0 , y 0 ) 到 y 轴距离 d ? x 0 ,圆 M 的半径 r ?
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? x0

? 1? ? y0 ,
2 2

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2 2

若圆 M 与 y 轴有两个不同交点,则有 r ? d ,即 ? x 0 ? 1 ? ? y 0 ? x 0 , 化简得 y 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 .
2

??????????? 6 分
2

? 点 M 在椭圆 C 上,∴ y 0 ? 3 ?
2

3 4

x 0 ,代入以上不等式得: 4 3 4 3

2

3 x 0 ? 8 x 0 ? 1 6 ? 0 ,解得: ? 4 ? x 0 ?

.

??????????? 8 分

又? ? 2 ? x 0 ? 2 ,∴ ? 2 ? x 0 ?
2 2

4 3

,即点 M 横坐标的取值范围是 [ ? 2 , ) . ??9 分

(3)存在定圆 N : ? x ? 1 ? ? y ? 1 6 与圆 M 恒相切, 其中定圆 N 的圆心为椭圆的左焦点 F1 ,半径为椭圆 C 的长轴长 4. ∵由椭圆定义知, M F1 ? M F 2 ? 2 a ? 4 ,即 M F1 ? 4 ? M F 2 , ∴圆 N 与圆 M 恒内切. 20. (本小题共 14 分) 【解析】 (Ⅰ)由 a 1 ? 2, a n ? 1 ?
3an ? 2 an ? 1 4an ? 2 3an ? 1
????12 分

??????????? 14 分

?n ?

N * ? ,得 a 2 =

6 5

, a3 =

14 13

.

由 bn ?

,可得 b1 ? 4 , b 2 ? 8 , b 3 ? 1 6 .
4an ? 2 3an ? 1

??????????3 分

(Ⅱ)证明:因 a n ? 1 ?
3 a n ?1 ? 2 a n ?1 ? 1
2 3

,故

bn ?1 ?

?

12an ? 6 ? 6an ? 2 4 an ? 2 ? 3an ? 1

? 2?

3an ? 2 an ? 1

? 2 b n . ??????????-5 分

显然 a n ?

,因此数列 ? b n ? 是以

3 a1 ? 2 a1 ? 1

? 4 为首项,以 2 为公比的等比数列,即

bn ?

3an ? 2 an ? 1

? 4?2

n ?1

? 2

n ?1

.

?????????? 7 分

解得 a n ?

2 2

n ?1 n ?1

?2 ?3

.

??????????8 分

(Ⅲ)因为 a n ? 1 ?

1 2
n ?1

?3
n

? 1?

2 2 ?2
n n ?1

n

? 3?2

n

? 1?

?2
n

n ?1

? 1? ? ? 2 ? 1? ?2 ?2
n n ?1

2 ?2

n ?1

?1

? 1?

1 2 ?1
n

? 2

1
n ?1

?1

,

第 9 页 共 10 页

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n

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? n ? 1? ? 2
2
n ?1

所以 S n ? 又 an ? 1 ?
n

1 1 1 ? ? ? ? 1 ? 2 k ? 1 ? 2 k ?1 ? 1 ? ? n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? ? k ?1 ?
1 2
n ?1

?n?2

n ?1

?1

?11 分

?3

? 1? 2

4
n ?1

? 1? 2
?n

1
n ?1

(当且仅当 n ? 1 时取等号) ,
n ?1

1 ? 1? 2 ? ? 故 S n ? ? ? 1 ? k ?1 ? ? n ? ?1 2 1? 2 ? k ?1 ?

?n ? 2??2
2
n ?1

?1

??????????14 分

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