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对一道高考函数综合题的解题分析

时间:2016-07-06


对一道高考函数综合题的解题分析
姓名:赵婷婷 学号:201420100811 高考数学的函数综合题一般涉及的知识点较多, 考查的是对知识融会贯通的 应用能力, 考生得分直接与知识的掌握和灵活运用有关。 本文就如何分析归纳 第 21 题 解 法 以 及 对 学 习 的 启 示 展 开 分 析 .

题目:2015 年高考数学理科第 21 题(满分 13 分) 已 知 a ? 0 , 函 数 f ?x ? ? eax sinx?x ? ?0,????. 记 xn 为 f ?x ? 的 从 小 到 大 的 第

n ?n ? N ? ? 个极值点.证明:

?? ? 数列 ? f ?xn ??是等比数列;
??? ? 若
a? 1 e ? 1 ,则对一切 n ? N ? , xn ? f ?xn ? 恒成立.
2

试题分析 本题主要考查了学生综合运用三角函数、导数、极值点、数列、不等式等基 础知识分析问题,解决问题的能力。从得分情况来看,全体考生该题平均分约为 0.65 分,超过一半的考生得零分,绝大多数的考生没有完成第一问, ,只有不到 1%的人得 7 分以上,得满分的只有一人,表明这是一道难度较大的压轴题。 第 ?? ? 问解法分析 题中已知函数 f ?x ? ? eax sin x?x ? ?0,????, 那么我们 式,第 ?? ? 问求证数列 ? f ?xn ??是等比数列,据定义即求证 找到极值点 xn 的表达
f ? xn ?1 ? 是常数。 f ? xn ?

也就得到了 f ?xn ? 的表达式,这样就找到了求证第 ?? ? 问的关键。 题目中记 xn 为 f ?x ? 的从小到大的第 n ?n ? N ? ? 个极值点,那么需要知道极值 点的定义及等价表达式:若 x0 是 f ?x ? 的极值点,则 f ' ?x0 ? ? 0.

?? ? 证法 1:

f ' ?x? ? aeax sin x ? eax cos x ? eax ?a sin x ? cos x ?

1

? a2 ?1 eax sin ?x ? ? ?,
其中 tan ? ?
1 ? ,0 ? ? ? . a 2

(这里主要考查了考生对辅助角公式的运用, 与一般情况不同的是这里的 ? 不是一个确定的角度.) 令 f ' ?x ? ? 0 ,由 x ? 0 得 x ? ? ? m? , m ? N ?. (注意, )

由 f ' ?x ? ? 0 求出 f ?x ? 的增区间 为 ?2k? ? ?, ?2k ? 1?? ? ? ?, ?k ? N ? ; 由 f ' ?x ? ? 0 求 出 f ?x ? 的 减 区 间 为

??2k ? 1?? ? ?, ?2k ? 2?? ? ? ?, ?k ? N ? . 因 此 , 在 区 间

??m ?1?? , m? ? ? ?

与 ?m? ? ? , m? ? 上 , f ' ?x ? 的 符 号 总 相 反 . 于 是 当

x ? m? ? ? ?m ? N ? ?时, f ?x ? 取得极值,所以 xn ? n? ? ? n ? N ? .
n?1 此时, f ?xn ? ? ea?n? ?? ? sin?n? ? ? ? ? ??1? ea?n? ?? ? sin ?, 且 f ?xn ? ? 0 , n? 2 由递推公式得 f ?xn?1 ? ? ??1? ea??n?1?? ?? ? sin ?.

?

?

因此

f ? xn ?1 ? ? ?ea? f ? xn ?

是常数,故 ? f ?xn ??是等比数列. 证法 2:

f ' ?x? ? aeax sin x ? eax cos x ? eax ?a sin x ? cos x ?.
令 f ' ?x ? ? 0 ,即 eax ?a sin x ? cos x ? ? 0 ?a ? 0? ,得 tan x ? ? 则 x ? m? ? ? , m ? N ?, 其中 tan ? ?
1 ? ,0 ? ? ? . a 2 1 , a

1? ? f ' ?x ? ? aeax cos x? tan x ? ? 此时, a ? .由于 eax ? 0 , cosx 在点 x ? m? ? ? 附近同 ?

号,且 tan x ?

1 在其零点 x ? m? ? ? 附近异号,所以, f ' ? x ? 在点 x ? m? ? ? 附近 a

异号,从而当 x ? m? ? ? m ? N ? 时, f ?x ? 取得极值,所以 xn ? n? ? ? n ? N ? . 由递推公式可知 xn?1 ? ?n ? 1?? ? ? ,因此 xn?1 ? ? ? xn . 由 f ?xn ? ? eaxn sin xn , xn?1 ? ? ? xn ,所以
2

?

?

?

?

f ? xn ?1 ? eaxn ?1 sin xn?1 ea ? xn ?? ? sin?xn ? ? ? ? axn ?? ? ?ea? axn f ? xn ? e sin xn e sin xn

是常数,故 ? f ?xn ??是等比数列. 解法反思: 这一问虽然涉及的知识点比较多、 运算复杂, 但是解法比较简单, 主要步骤是先求 xn ,得到 f ?xn ? ,然后求证
f ? xn ?1 ? 为常数,运用了极值点的定义 f ? xn ?

和性质以及递推关系的知识。 两种解法的相同点为分析过程均为从结论出发逐步 找到使结论成立的条件, 采用的是逆推思想, 如求证数列 ? f ?xn ??是等比即需要求 证
f ? xn ?1 ? 为常数;不同点在于证法 1 是根据 f ' ?x ? ? a2 ?1 eax sin ?x ? ? ? ? 0 求 f ? xn ? f ? xn ?1 ? 为常数的过 f ? xn ?

xn ,而证法 2 是根据 f ' ?x ? ? eax ?a sin x ? cos x ? ? 0 求 xn ,求证

程中,证法 1 是对 f ?xn ?进行递推,而证法 2 是对 xn 进行递推。通过这道题第 ?? ? 问的分析,我们发现数学高考第 21 题也是有法可循的,学生只要掌握分析题意 的方法以及培养灵活运用知识点的能力,解答也就有了方向。 第 ??? ? 问解法分析

第 ??? ? 问求证的是:若

a?

1 e2 ? 1 ,则对一切 n ? N ? , xn ? f ?xn ? 恒成立.即

e?

a2 ? 1 时,对一切 n ? N ? , xn ? f ?xn ? ? 0 恒成立。对于恒成立的问题,我们 a

一般做法是将恒成立问题转化为函数求最值范围问题。首先由第 ?? ? 问我们可以 得到 xn ? f ?xn ? ? ?n? ? ? ? ? ea ?n? ?? ? sin ? ,其中 sin ? ?
1 a2 ? 1

,这样就和条件

a2 ? 1 1 ?0. e? 建立了联系,即需要求证 xn ? f ?xn ? ? ?n? ? ? ? ? ea ?n? ?? ? ? 2 a a ?1
对 ?n? ? ? ? ? ea ?n? ?? ? ? 形有:
3

1 a2 ? 1

? 0 变形不同,所得到的解答过程也不同。主要的变

对一切 n ? N ? , xn ? f ?xn ? 恒成立,即 ?n? ? ? ? ? ea ?n? ?? ? ? 于 ?

1 a2 ? 1

? 0 恒成立,等价

2 t a2 ? 1 ea ?n? ?? ? ,令 t ? a?n? ? ? ? ,则 t ? 0 时 g ?t ? ? e ? a ? 1 恒 ? a a?n? ? ? ? a t

2 at a2 ? 1 a ? 1 e 成立 (或者令 t ? n? ? ? , 则 t ? 0 时,g ?t ? ? 恒成立) , 又e ? , ? a a at
t 所以 g ?t ? ? e ? e ,转化为求 g ?t ? 的最小值不小于 e ; t

?

a2 ?1 ?

e at e a ?n? ?? ? ,令 t ? n? ? ? ,则 t ? 0 时 g ?t ? ? ? a2 ?1 恒成立, t n? ? ?
at

又 ae ? a 2 ? 1 ,所以 g ?t ? ? e ? ae ,转化为求 g ?t ? 的最小值不小于 ae ; t ? 令 t ? n? ? ? , 则 t ? 0 时 g ?t ? ? t ? eat ? 最大值小于 0; ( g ?t ? 通过对 t 求导,求 g ?t ? 的最大值.因为 n ? N ? ,也可以令
1 a2 ? 1

转化为求 g ?t ? 的 ? 0 恒成立,

g ?n ? ? ?n? ? ? ? ? ea ?n? ?? ? ?
0.)


1 a2 ? 1

,使 g ?n ? 通过对 n 求导,求 g ?n ? 的最大值小于

a2 ? 1?n? ? ? ? ? ea ?n? ?? ? ,两边取对数,再次变形得

ln a 2 ? 1 ? ln?n? ? ? ? ? a?n? ? ? ? ,令 t ? n? ? ? ,则 t ? 0 时
2 g ?t ? ? ln a ? 1 ? ln t ? at ? 0 恒成立,转化为求 g ?t ? 的最大值小于 0 等.

以上变形是求证不等式恒成立问题的关键,由于变形多样使得解法多样,
t 选择简单的变形式有利于问题解决, 如?中通过变形构造新函数 g ?t ? ? e 可以简 t

化计算。 证法 1:
4

由 ?? ? 知, sin ? ?

1 a2 ?1
?


1 a ?1
2

于是对一切 n ? N , xn ? f ?xn ? 恒成立,即 价于

n? ? ? ?

e a ?n? ?? ?

恒成立,等

a2 ?1 ea ?n? ?? ? ? a a?n? ? ? ?
恒成立(因为 a ? 0 ). 设 g ?t ? ?
t et ?t ? 0? ,则 g ' ?t ? = e (t ? 1) . t t

???

令 g ' ?t ? =0 得 t ? 1 . 当 0 ? t ? 1 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ?0,1? 上单调递减; 当 t ? 1 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ?1, ? ? ? 上单调递增. 从而当 t ? 1 时,函数 g ?t ? 取得最小值 g ?1? ? e .
2 1 因此,要使 ??? 式恒成立,只需 a ? 1 ? g ?t ? ? e ,即只需 a ? .(注意) a e2 ?1

而当 a ?

1 e2 ?1

时,由 tan ? ?

1 ? ? ? ? e 2 ? 1 ? 3 且 0 ? ? ? 知, ? ? ? . a 2 3 2

于是 x1 ? ? ? ? ?

3? 2? < e 2 ? 1 ,且当 n ? 2 时, xn ? n? ? ? ? 2? - ? ? ? e2 ?1. 2 3

因此对一切 n ? N ? , axn ? 所以 g ?axn ? ? g ?1? =e= 综上所述,若 a ? 证法 2: 由 ?? ? 知, sin ? ?
1 a2 ?1 1 e ?1
2

n? ? ? e2 ?1

? 1,

a2 ?1 .故 ??? 式成立. a
,则对一切 n ? N ? , n ? N ? , xn ? f ?xn ? 恒成立。



5

于是对一切 n ? N , xn ? f ?xn ? 恒成立,即
?

n? ? ? ?

1 a ?1
2

e a ?n? ?? ?

恒成立,等

价于

a2 ?1 ?

e a ?n? ?? ? n? ? ?

???

恒成立(因为 a ? 0 ).
e at e at (at ? 1) ' 设 g ?t ? ? . ?t ? 0? ,则 g ?t ? = t t

令 g ' ?t ? =0 得 t ? 当0 ? t ?

1 . a

1 ? 1? 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ? 0, ? 上单调递减; a ? a?

当t ?

1 ?1 ? 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ? ,?? ? 上单调递增. a ?a ? 1 ?1? 时,函数 g ?t ? 取得最小值 g ? ? ? ae . a ?a?

从而当 t ?

1 ?1? 因此,要使 ??? 式恒成立,只需 a 2 ? 1 ? g ? ? ? ae ,即只需 a ? . ?a? e2 ?1

当a ?

1 e2 ?1

时, xn ?

1 . a

由 ?? ? 知, tan xn ? ? tan ? ? ? 设 h?t ? ? tant ? t , 则 h ' ?t ? ?
1 e ?1
2

1 1 1 1 .假设 xn ? ,则有 tan ? ? 0. a a a a

1 ?? ? ? 1 ? 0, 从而 h ?t ? 在 ? ,? ? 上单调递增. 2 cos x ?2 ?

又a ?

?

3? 2 3? ? 1 ? ? 3? ? ? ? 0, ,所以 h? ? ? h? ? ? 4 2 4 ?a? ? 4 ?

1 1 1 ?1? 则 h? ? ? tan ? ? 0.矛盾!从而 xn ? . a a a ?a?

综上所述,若 a ? 证法 3:

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N ? , n ? N ? , xn ? f ?xn ? 恒成立。

6

由 ?? ? 知, sin ? ?

1 a2 ?1


1 a ?1
2

于是对一切 n ? N , xn ? f ?xn ? 恒成立,即
?

n? ? ? ?

e a ?n? ?? ?

恒成立,等

价于

n? ? ? ?

e a ?n? ?? ? a2 ?1

???

恒成立(因为 a ? 0 ). 设 g ?t ? ? t ?

e at a2 ?1

?t ? 0? ,则 g ?t ? = 1 '

aeat a2 ?1

.

令 g ' ?t ? ? 0 得 t ?

1 a2 ?1 . ln a a

1 a2 ?1 ?1 ? 当 0 ? t ? ln 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ? ,?? ? 上单调递增; a a ?a ?
当t ?

1 a2 ?1 ? 1? 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ? 0, ? 上单调递减. ln a a ? a?
1 a2 ?1 时,函数 g ?t ? 取得最大值 ln a a

从而当 t ?

2 ?1 ? ? a2 ?1 ? ? ? 1 ? ln a ? 1 - 1? g ? ln ?a ? ?. a ? a ? ? a? ? 2 ?1 ? 1 ? ln a ? 1 ? ? 0 g 因此,要使 ??? 式恒成立,只需 ? a ,即只需 a ? . ? a ? ? e2 ?1

当a ?

1 a2 ?1 时, ln ? e2 ?1 . 2 a a e ?1
1

?1 a2 ?1 ? ? ? ? g e2 ?1 ? 0 g ln . ?a a ? ? ?

?

?

下面证法同证法 1. 证法 4: 由 ?? ? 知, sin ? ?
1 a2 ?1
7

于是对一切 n ? N , xn ? f ?xn ? 恒成立,即
?

n? ? ? ?

1 a ?1
2

e a ?n? ?? ?

恒成立,等

价于两边取对数

ln a 2 ? 1 ? ln?n? ? ? ? ? a?n? ? ? ?
恒成立(因为 a ? 0 ). 设

???

g ?t ? ? ln a 2 ? 1 ? ln t ? at 1 令 g ' ?t ? =0 得 t ? . a
当0 ? t ?

?t ? 0? ,则 g ' ?t ? = 1 - at .
t

1 ? 1? 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ? 0, ? 上单调递增; a ? a?

当t ?

1 ?1 ? 时, g ' ?t ? ? 0 ,所以 g ?t ? 在区间 ? ,?? ? 上单调递减. a ?a ?

a2 ?1 1 ?1? g ? ? ? ln ? ln ? 1 1 从而当 t ? 时,函数 g ?t ? 取得最大值 ? a ? a a . a
因此,要使 ??? 式恒成立,只需 g ?t ? ? 0 ,即只需 a ? 下面证法思路同证法 1. 解法反思:这一问是求证恒成立问题的常规题目,但是运算有些复杂,出现 了指数函数与三角函数, 加大了考生构造新函数的难度。针对这种考查的解题方 法比较常规,算式比较复杂的题目,我们要掌握并灵活运用整体代换的方法,将 复杂的问题简单化, 关键是将复杂的变量整体代换如 t ? n? ? ? .对比以上四种证 法我们发现:证法 1 和证法 2 相对简单些,是由于构造的函数 g ?t ? ? e 与 t
g ?t ? ? e at 相对来说比较常见,其导函数简捷易分析;这一问的难点在于对 t
t

1 e2 ?1

.

a?

1 e2 ?1

时 xn ? f ?xn ? 仍然成立的证明,总的来说可以运用分析法和反证法来

证明,这一点的证明考查了学生严谨的思维能力。 当然这一问的解法还有许多,关键在于构造的函数不同,运算过程就不同,
8

但是解答的思路方法大体一致。 对学生学习的启示 从答题情况来看, 有些考生对于极值点的定义及性质掌握不牢,有的甚至将 极值点理解成零点得到 f ?xn ? ? 0 ;有的运算能力弱,如构造函数正确但是在求导 过程中计算出错;有的对题目的条件运用、整合能力差,如对“ xn 为 f ?x ? 的从 小到大的第 n ?n ? N ? ? 个极值点” 这一条件只能得出 f ' ?xn ? ? 0 ,不能根据等式的特 点运用复合角公式进行整理;有的对难题有畏难情绪,导致了很多空白卷。针对 这些情况, 学生在平时的学习中应该注重培养对基础知识和基本技能的掌握,如 知识点的概念及性质; 注重培养灵活运用知识的能力,如在学习过程中多对知识 进行联系与迁移; 注重培养从条件中挖掘关键信息的能力,如这道题的关键信息 就是 xn 为 f ?x ? 的从小到大的第 n ?n ? N ? ? 个极值点,要从这个信息中进行展开; 注重培养处理复杂运算的能力, 如平时学习中要静下心来去做一些复杂运算,在 运算过程中思考处理复杂运算的一些简化方法,最常见的是换元法,第二问就是 运用了这个方法; 注重培养在函数综合问题中运用转化与化归方法的能力;注重 培养运用逆向思维分析问题,解决问题的能力等等。 最主要的是学生在学习过程中要养成良好的习惯,要学会学习,多动手,多 动脑,总结归纳题型及解法。高考数学的 21 题之所以难,是因为题涉及的知识 点多, 如果学生能够掌握高中的数学知识以及对应知识涉及的一般方法,如求证 等差、等比数列时往往运用到递推公式,能够掌握分析问题的逆推思想,那么学 生就不会觉得无从下手了。

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