nbhkdz.com冰点文库

第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积_图文

时间:2017-06-10

第2讲 空间几何体的表面积和体积

1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 几何体 圆柱 面 积 体 积

2πrh S侧=______

V=Sh=πr2h
1 1 2 V=3Sh=3πr h 1 2 =3πr l2-r2

圆锥

S侧=πrl

(续表) 几何体

面 积

体 积
1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h 1 2 2 =3π(r1+r2+r1r2)h

圆台 直棱柱
正棱锥 正棱台 球

S侧=π(r1+r2)l S侧=Ch
1 S 侧=2Ch′ 1 S 侧=2(C+C′)h
4πR2 S球面=______

V=Sh
1 V=3Sh 1 V=3(S 上+S 下+ S上S下)h 4 3 V=3πR

2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇

环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和.
3.等积法的应用 (1)等积法:等积法包括等面积法和等体积法. (2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通

过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高
或几何体的高,特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回 避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计 算得到高的数值.

1.(2014 年福建)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋 转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( A ) A.2π B.π C.2 D.1

解析:由已知,得圆柱的底面半径和高均为1,其侧面积S =2π×1×1=2π.

2.(2013 年上海)若两个球的表面积之比为 1∶4,则这两个 球的体积之比为( C ) A.1∶2 C.1∶8 B.1∶4 D.1∶16

解析:因为球的表面积 S=4πR2,两个球的表面积之比为 4 3 1∶4,则两个球的半径之比为 1∶2,又因为球的体积 V=3πR , 则这两个球的体积之比为 1∶8.

3 3.设正方体的棱长为 3 ,则它的外接球的表面积为( C ) 8 A.3π B.2π C.4π 4 D.3π

2

4.(2012 年新课标)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1, 球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体积为( B ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π

解析:设球的半径为 R,R= 12+? 2?2= 3, 则此球的 4 3 4 体积为3πR =3π( 3)3=4 3π.

考点 1 几何体的面积
例 1:(1)(2014 年山东)一个六棱锥的体积为 2 3,其底面

是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积

为________.

1 解析:设六棱锥的高为 h,体积为 V=3Sh=2 1 1 3×6×2×2× 3h=2
2 2

3,所以

3.解得 h=1.设斜高为 h′,则 h′=

1 1 +? 3? =2,则该六棱锥的侧面积为2×2×2×6=12.

答案:12

(2)(2015 年福建)某几何体的三视图如图 8-2-1,则该几何体
的表面积等于( )

图 8-2-1

A.8+2 C.14+2

2 2

B.11+2 D.15

2

解析:由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形, 高为 2 的直四棱柱,且底面直角梯形的两底分别为 1,2,直角腰 1 长为 1,斜腰为 2.底面积为 2×2×3=3,侧面积为 2+2+4+ 2 2=8+2 2.所以该几何体的表面积为 11+2 2.故选 B.

答案:B 【规律方法】第(1)小题是求实体的面积;第(2)小题只是给 出几何体的三视图,求该几何体的表面积时,先要根据三视图 画出直观图,再确定该几何体的结构特征,最后利用有关公式

进行计算.注意表面积包括底面等腰梯形的面积.

【互动探究】

1.(2013 年陕西)某几何体的三视图如图 8-2-2,则其表面积
为________. 3π

图 8-2-2

解析:综合三视图可知,立体图是一个半径r=1 的半个球
1 体.其表面积为2×4πr2+πr2=3π.

考点 2 几何体的体积 例 2:(1)(2015 年浙江)某几何体的三视图如图 8-2-3(单位: cm),则该几何体的体积是( )

图 8-2-3
A.8 cm
3

B.12 cm

3

32 C. 3 cm3

40 D. 3 cm3

解析:由三视图可知,该几何体是一个棱长为 2 的正方体

与一个底面边长为 2,高为 2 的正四棱锥的组合体,故其体积
1 2 32 为 V=2 +3×2 ×2= 3 cm3.故选 C.
3

答案:C

(2)(2015 年新课标Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰 富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周 八尺,高五尺,问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙

角处堆放米(如图 8-2-4,米堆为一个圆锥的
四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆

的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各为多
少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3,估算出堆放的米有( A.14 斛 B.22 斛 ) 图 8-2-4 D.66 斛

C.36 斛

1 16 解析:设圆锥底面半径为 r,则4×2×3r=8.所以 r= 3 .所
?16? 2 1 1 320 320 ? ? 以米堆的体积为 4 × 3 ×3× 3 ×5 = 9 . 故堆放的米约为 9 ? ?

÷ 1.62≈22.故选 B.
答案:B

【规律方法】求几何体的体积时,若所给的几何体是规则
的柱体、锥体、台体或球,可直接利用公式求解;若是给出几

何体的三视图,求该几何体的体积时,先要根据三视图画出直
观图,再确定该几何体的结构特征,最后利用有关公式进行计

1 算.另外不要忘了锥体体积公式中的3.

【互动探究】
2.(2014 年新课标Ⅱ)正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 3,D 为 BC 中点,则三棱锥 AB1DC1 的体积为( A.3 3 B.2 C.1 3 D. 2 )

解析:如图D41,连接AD, 显然AD⊥面BCC1B1,即AD
1 1 1 为三棱锥 AB1DC1 的高,VA? B1DC1 =3× S ?B1DC1 ×AD=3×2×2× 3× 3=1.

图 D41 答案:C

考点 3 立体几何中的折叠与展开 例3:(2014年上海)底面边长为2的正三棱锥PABC,其

表面展开图是三角形P1P2P3(如图825),求△P1P2P3的各边
长及此三棱锥的体积V.

图 8-2-5

解:由题意知,在△P1P2P3中, P1A=P3A,P1B=P2B,P2C=P3C. 所以AB,AC,BC是△P1P2P3的三条中位线. 因此,△P1P2P3是正三角形,且边长为4. 设顶点P在底面ABC内的投影为点O, 显然点O为正三角形ABC的中心,
2 2 3 2 2 AO=3× 2 -1 = 3 , 6 3? ?2 2 PO= 2 = 3 . 3 ? ? 1 1 2 6 2 2 所以 VPABC= × ×2× 3× 3 2 3 = 3 .
2

?2 -? ? ?

【互动探究】 3.圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD,求圆柱的

侧面上从 A 到 C 的最短距离.
解:如图 D42,由圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形,
可知:圆柱高CD为5 cm,底面半径为2.5 cm,底面周长为5π cm,

则AD 为2.5π cm,圆柱侧面上从A 到C 的最短距离即是矩形 ABCD 的对角线长

5 为 5 +?2.5π? =2
2 2

π2+4 (cm).

图 D42

难点突破 ⊙有关球的运算 例题:(1)(2015 年新课标Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两 点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体 积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A.36π B.64π ) D.256π

C.144π

解析:如图 826,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点 时, 三棱锥 OABC 的体积最大, 设球 O 的半径为 R, 此时 VOABC 1 1 2 1 3 =VCAOB= × R ×R= R =36.故 R=6,则球 O 的表面积 S= 3 2 6 4πR2=144π.故选 C.

图8-2-6 答案:C

(2)(2014 年大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱 锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积是( )

81π A. 4

B.16π
2

C.9π
2 2

27π D. 4

9 解析:设半径为 R,有(4-R) +( 2) =R .解得 R=4.S 球= 81π 4πR = 4 .
2

答案:A

(3)(2013 年新课标Ⅰ)如图 8-2-7,有一个水平放置的透明无 盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容 器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计 容器厚度,则球的体积为(

)

图 8-2-7

500π 3 A. 3 cm

866π 3 B. 3 cm

1372π 3 2048π 3 C. 3 cm D. 3 cm

解析:如图 8-2-8,作出球的一个截面,则MC=8-6=

1 1 2(cm),BM=2AB=2×8=4(cm).

图 8-2-8
设球的半径为 R cm,则 R2=OM2+MB2=(R-2)2+42. 4 500π 3 ∴R=5.∴V 球=3π×5 = 3 (cm3).
答案:A

1.长方体的外接球:长、宽、高分别为 a,b,c 的长方体 的对角线长等于外接球的直径,即 a2+b2+c2=2R;特别地, 棱长为 a 的正方体有 3a=2R.

2.(1)圆锥的母线 l、高 h 和底面圆的半径 R 组成直角三角形.
圆锥的计算一般归结为解这个直角三角形,关系式是 l2=h2+R2.

(2)圆台的母线 l、高 h 和上、下底面圆的半径 r,R 组成直

角梯形.圆台的计算一般归结为解这个直角梯形,关系式是 l2=
h2+(R-r)2.

3.球的截面性质:球的截面是圆面,球面被经过球心的平 面截得的圆叫做球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做 球的小圆; 球心和截面圆心的连线垂直于截面; r= R2-d2 (其 中 r 为截面圆半径,R 为球的半径,d 为球心 O 到截面圆的距 离,即 O 到截面圆心 O1 的距离). 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错,应记住其展 开图的特征:圆柱的侧面展开图是矩形;圆锥的侧面展开图是 r 扇形, 当底面半径为 r, 母线长为 l 时, 扇形的圆心角 θ= l ×360° ; 圆台的侧面展开图是扇环,当上、下底面半径分别为 r′,r, r-r′ 母线长为 l 时,扇环的圆心角 θ= l ×360° .

5.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题 时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间 的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点 为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接 于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等 于球的直径.


第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积_图文.ppt

第2讲 空间几何体的表面积和体积 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 几何体 圆柱 面积体积 2πrh S侧=___ V=Sh=πr2h 1 1 2 V=3Sh=3πr h 1 ...

高考数学总复习第八章第2讲空间几何体的表面积和体积课....ppt

高考数学总复习第八章第2讲空间几何体的表面积和体积课件理_数学_高中教育_教育专区。第2讲 空间几何体的表面积和体积 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的...

...第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件....ppt

2016年高考数学总复习第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件文 - 第2讲 空间几何体的表面积和体积 考纲要求 考情风向标 从近几年的高考试题来看,本...

...:第八章第2讲空间几何体的表面积和体积_图文.ppt

高考数学(文)新课堂一轮总复习(实用课件):第八章第2讲空间几何体的表面积和体积 - 第2讲 空间几何体的表面积和体积 考纲要求 1.认识柱、锥、 台、球及其...

...第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积[配套课件]_....ppt

[原创]2016年《南方新课堂高考总复习》数学(文科) 第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积[配套课件]_数学_高中教育_教育专区。第2讲 空间几何体的表面积...

第八章 第二节 空间几何体的表面积和体积_图文.ppt

第八章 立体几何与空间向量第二空间几何体的表面积和体积 天天向上 01 教材

...第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件....ppt

2017年高考数学一轮总复习第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积课件文 - 第2讲 空间几何体的表面积和体积 考纲要求 考点分布 考情风向标 从近几年的...

第八章第2讲空间几何体的表面积与体积.doc

第八章第2讲空间几何体的表面积与体积 - 第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面 展开图 侧面 积...

第八章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 学生版.doc

第八章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 学生版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第2讲 1.多面体的表(侧)面积 空间几何体的表面积与体积知 识梳理 多面体...

浙江高考数学总复习第八章第2讲空间几何体的表面积与体积学案_....doc

浙江高考数学总复习第八章第2讲空间几何体的表面积与体积学案_高考_高中教育_教育

...课件:第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积 精品_....ppt

2018年高考总复习数学理科基础轻过关+考点巧突破课件:第八章 第2讲 空间几何体的表面积和体积 精品_高考_高中教育_教育专区。第2讲 空间几何体的表面积和体积 ...

...A版:第八章 第2节 空间几何体的表面积与体积_图文.ppt

第2节 01 空间几何体的表面积与体积 诊断自测 02 考点一 空间几何体的表面

...课件:第八章第2节空间几何体的表面积与体积_图文.ppt

高考一轮理科数学(北师大版)课件:第八章第2空间几何体的表面积与体积 - ? 数学 第2空间几何体的表面积与体积 01 诊断自测 02 考点一 空间几何体的表...

...版:第八章第2节空间几何体的表面积与体积_图文.ppt

高考数学(理)创新大一轮(实用课件)浙江专用版:第八章第2空间几何体的表面积与体积 - 第2节 01 空间几何体的表面积与体积 诊断自测 02 考点一 空间几何体...

...课件:第八章第2节空间几何体的表面积与体积_图文.ppt

高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用课件:第八章第2空间几何体的表面积与体积 - 数学 第 2空间几何体的表面积与体积 01 诊断自测 02 考点一 空间...

...课件:第八章第2节空间几何体的表面积与体积_图文.ppt

2019版高考数学(理)一轮课件:第八章第2空间几何体的表面积与体积 - ? 数学 第2空间几何体的表面积与体积 01 诊断自测 02 考点一 空间几何体的表面积...

...课件:第八章第2节空间几何体的表面积与体积_图文.ppt

2019版高考一轮理科数学(北师大版)课件:第八章第2空间几何体的表面积与体积 - ? 数学 第2空间几何体的表面积与体积 01 诊断自测 02 考点一 空间几何...

...几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积!.doc

2018年高考数学总复习第八章立体几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积! - 第2讲 空间几何体的表面积与体积 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、...

2017年高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第2讲 空间._图文_....ppt

2017年高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 第2讲 空间._职高对口_职业教育_教育专区。2017 第2讲 空间几何体的表面积和体积 考纲要求 考点分布 考情风向标 ...

...八章立体几何初步第2节空间几何体的表面积与体积课....ppt

(浙江专版)2019版高考数学大一轮复习第八章立体几何初步第2空间几何体的表面积与体积课件理 - 第2...