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2013届高考数学压轴题练习1

时间:2013-02-13


高考数学压轴题练习 1
1. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 值 范围; 设 b ? 0, a ? 1 ,求证:

1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数。求正实数 a 的 取 ax

1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b

[来源:学_科_网]

1、解: (1) f ( x ) ?
'

ax ? 1 ? 0 对 x ?[1,??) 恒成立, ax 2

?a ?

1 对 x ? [1,??) 恒成立 x



1 ? 1 ? a ? 1 为所求。 x

(2)取 x ?

a?b a?b ? 1, ,? a ? 1, b ? 0,? b b 1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数, ax

一方面,由(1 ) 知 f ( x) ?

?f(

a?b ) ? f (1) ? 0 b

a?b b ? ln a ? b ? 0 ? a?b b a? b 1?
即 ln

a?b 1 ? b a?b

另一方面 ,设函数 G( x) ? x ? ln x( x ? 1)

G ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ? 0(? x ? 1) x x

∴ G (x) 在 (1,??) 上是增函数且在 x ? x0 处连续,又 G(1) ? 1 ? 0 ∴当 x ? 1 时, G( x) ? G(1) ? 0
[来源:Zxxk.Com]

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∴ x ? ln x 即

a?b a?b ? ln b b

[来源:学_科_网]

综上所述,

1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b

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