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2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.3平均值不等式(一)训练北师大版选修4_5

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。 。 。
1.3 平均值不等式(一)

一、选择题

1.若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( )

A.6+2 3

B.7+2 3

C.6+4 3

D.7+4 3

解析 先判断 a,b 的符号,再将已知的式子转化为关于 a,b 的方程,最后根据基本不等

式求解.

??? 由题意得 a3baa≥ +b>040,b,>0,所以?????ab>>00.,

又 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 log4(3a+4b)=log4ab, 所以 3a+4b=ab,故4a+3b=1.

所以 a+b=(a+b)???4a+3b???=7+3ba+4ab≥7+2 3a 4b
当且仅当 b = a 时取等号,故选 D.

3ba·4ab=7+4 3,

答案 D 2.要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米

20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( )

A.80 元

B.120 元

C.160 元

D.240 元

解析 设底面矩形的一条边长是 x m,总造价是 y 元,把 y 与 x 的函数关系式表示出来,

再利用均值(基本)不等式求最小值. 由题意知,体积 V=4 m3,高 h=1 m,所以底面积 S=4 m2,设底面矩形的一条边长是 x m,

4 则另一条边长是x

m,又设总造价是 y 元,则 y=20×4+10×???2x+8x???≥80+20

160,当且仅当 2x=8x,即 x=2 时取得等号.

2x·8x=

答案 C

3.函数 y=log2???x+x-1 1+5??? (x>1)的最小值为(

)

A.-3

B.3

1

C.4 解析 x>1,x-1>0,

D.-4

y=log2???x+x-1 1+5???=log2???x-1+x-1 1+6???
≥log2(2+6)=log28=3. 答案 B

4.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 3,则 2a+b+c 的最小值为( )

A. 3-1

B. 3+1

C.2 3+2

D.2 3-2

解析 a(a+b+c)+bc=4-2 3

? a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-2 3.

而 2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 (a+b)(a+c)

=2 4-2 3=2 3-2.

当且仅当 a+b=a+c,即 b=c 时等号成立.

答案 D

5.若不等式 x2+2x+a≥-y2-2y 对任意实数 x、y 都成立,则实数 a 的取值范围是( )

A.a≥0

B.a≥1

C.a≥2

D.a≥3

解析 x2+2x+a≥-y2-2y,对任意实数 x、y 都成立,

则 a≥-y2-2y-x2-2x=2-(x+1)2-(y+1)2 恒成立,而 2-(x+1)2-(y+1)2≤2,∴a

≥2.

答案 C

6.在下列函数中,最小值是 2 的是( )

A.y=x5+5x(x∈R 且 x≠0)

B.y=lg x+lg1 x(1<x<10)

C.y=3x+3-x (x∈R)

D.y=sin x+si1n x???0<x<π2 ???

解析

A

x5 中的函数式,5与x都不一定是正数,故可排除

A;B

中的函数式,lg

x

1 与lg

x都

是正数且乘积为定值,运用基本不等式取等号的条件是 lg x=lg1 x,即 x=10 与 1<x<10

2

矛盾,故排除 B;C 中 3x>0,3-x=31x>0,∴运用基本不等式取等号的条件是 3x=31x,而 x

=0 成立,故选 C.D 中,∵0<x<π2 ,∴sin x∈(0,1),而si1n x>1,sin x≠si1n x.

答案 C

7.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则|a|2+ab2|b|的最大值为(

)

A.2155

B.

2 4

C.

5 5

D.

2 2

解析 由题意得 a2=(1+2b)(1-2b)=1-4b2.

即 a2+4b2=1.

∵a2+4b2≥2 4a2b2,得|ab|≤14且|a1b|≥4,

2ab ∴|a|+2|b|=

4a2b2 a2+4|ab|+4b2=

4a2b2 1+4|ab|

4



1 4=

a2b2+|ab|

???|a1b|+42???2-4≤

364-4= 42.

答案 B

二、填空题

8.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储费

用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x 为________吨.

400 解析 每年购买次数为 x 次.

所以总费用=4x00·4+4x≥2 6 400=160.

当且仅当1 x600=4x,即 x=20 时等号成立.

答案 20

9.若正数 a,b 满足 a+2b=3,且使不等式21a+1b-m>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是

________.

解析 不等式21a+1b-m>0 恒成立,即 3???21a+b1???>3m 恒成立.又正数 a,b 满足 a+2b=3,

(a+2b)???21a+b1???=12+ab+ba+2≥92,当且仅当 a=b=1 时取“=”,所以实数 m 的取值范

3

围是???-∞,32???. 答案 ???-∞,32???
三、解答题

10.已知 a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)???1a+1b???≥4.

证明 ∵a>0,b>0,∴a+b≥2 ab>0, 当且仅当 a=b 时,取等号.①

1a+1b≥2 a1b>0,

11 当且仅当a=b,即

a=b

时取等号.②

①×②,得(a+b)???1a+1b???≥2 ab·2 a1b=4,当且仅当 a=b 时,取等号. 11.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在
AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米.

(1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内?

(2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积;

(3)若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最

小面积.

解 设 AN 的长为 x 米(x>2),矩形 AMPN 的面积为 y.

∵||DANN||=||DACM||,∴|AM|=x3-x2,

∴S 矩形 AMPN=|AN|·|AM|=x3-x22(x>2)

(1)由

S

矩形

AMPN>32

3x2 得x-2>32,

∵x>2,∴3x2-32x+64>0,

即(3x-8)(x-8)>0,∴2<x<83或 x>8,

即 AN 的长的取值范围是???2,83???∪(8,+∞).

4

(2) 令

y



3x2 x-2



3(x-2)2+12(x-2)+12 x-2



3(x



2)



12 x-2



12≥2 3(x-2)·x1-22+12=24,

当且仅当 3(x-2)=x1-22, 即 x=4 时,y=x3-x22取得最小值, 即 S 矩形 AMPN 取得最小值 24 平方米. (3)令 g(x)=3x+1x2(x≥4),设 x1>x2≥4, 则 g(x1)-g(x2)=3(x1-x2)+12(xx12x-2 x1) =3(x1-x2)x1( x2 x1x2-4), ∵x1>x2≥4,∴x1-x2>0,x1x2>16, ∴g(x1)-g(x2)>0,∴g(x)在[4,+∞)上递增. ∴y=3(x-2)+x1-22+12 在[6,+∞)上递增.

∴当 x=6 时,y 取得最小值,即 S 矩形 AMPN 取得最小值 27 平方米.

5


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