nbhkdz.com冰点文库

一元二次函数知识点汇总

时间:2018-06-27


姓名二次函数总复习(知识点) 2 1.定义:一般地,如果 y ? ax ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的一元二次函数.
2.二次函数 y ? ax 的性质
2

(1)抛物线 y ? ax (a ? 0) 的顶点是原点,对称轴是 y 轴.
2

(2)函数 y ? ax 的图像与 a 的符号关系: ①当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向上 ? 顶点为其最低点;②当 a ? 0 时 ? 抛物线开口向下 ? 顶点为其最高点
2

3.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线.
2
2 2 b 4ac ? b 2 . ,k ? 4.二次函数 y ? ax ? bx ? c 用配方法可化成: y ? a? x ? h ? ? k 的形式,其中 h ? ?

2a

4a

5.抛物线 y ? ax ? bx ? c 的三要素:开口方向、对称轴、顶点. ① a 决定抛物线的开口方向:
2

当 a ? 0 时, 开口向上; 当 a ? 0 时, 开口向下; a 越小, 抛物线的开口越大, a 越大, 抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于 y 轴(或重合)的直线,记作 x ? h .特别地, y 轴记作直线 x ? 0 . ③定点是抛物线的最值点[最大值( a ? 0 时)或最小值( a ? 0 时)],坐标为( h , k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法: y ? ax ? bx ? c ? a? x ?
2

(2)配方法:运用配方法将抛物线的解析式化为 y ? a?x ? h ? ? k 的形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是 x ? h . (3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以抛物线上纵坐标相等的两个点 连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失★
2

? ?

b 4ac ? b 2 b ? 4ac ? b 2 b (? , ) ,∴顶点是 ,对称轴是直线 x ? ? . ? ? 2a ? 4a 2a 4a 2a

2

7.抛物线 y ? ax ? bx ? c 中, a, b, c 的作用
2

(1) a 决定开口方向及开口大小,这与 y ? ax 中的 a 完全一样.
2

(2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y ? ax ? bx ? c 的对称轴是直线 x ? ?
2

① b ? 0 时,对称轴为 y 轴;② b ? 0 时,对称轴在 y 轴左侧;③ b ? 0 时,对称轴在 y 轴右侧.
a a

b ,故: 2a

(3) c 的大小决定抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴交点的位置.
2

当 x ? 0 时, y ? c ,∴抛物线 y ? ax ? bx ? c 与 y 轴有且只有一个交点(0, c ):
2

① c ? 0 ,抛物线经过原点; ② c ? 0 ,与 y 轴交于正半轴;③ c ? 0 ,与 y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 b ? 0 . a 8. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
2 2
2 2

① y ? ax ;② y ? ax ? k ;③ y ? a?x ? h ? ;④ y ? a? x ? h ? ? k ;⑤ y ? ax ? bx ? c . 其中①左右移动可得到③,再上下移动可得到④。口诀“左加右减,上加下减” 图像特征如下: 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 x ? 0 ( y 轴) (0,0) y ? ax
2

y ? ax 2 ? k
y ? a? x ? h ?
2 2

y ? a?x ? h ? ? k

当a ? 0时 开口向上 当 a ? 0时 开口向下

x ? 0 ( y 轴)

(0, k ) ( h ,0) (h ,k )

x?h x?h
x?? b 2a

y ? ax 2 ? bx ? c

(?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

9.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ? ax ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.
2

(2)顶点式: y ? a? x ? h ? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

(3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? . 10.抛物线与 Y 轴的交点(1) y 轴与抛物线 y ? ax ? bx ? c 得交点为( 0, c ) (2)抛物线与 x 轴的交点
2

二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,是对应一元二次方程
2

①有两个交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相交; ②有一个交点(顶点在 x 轴上) ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相切; ③没有交点 ? ? ? 0 ? 抛物线与 x 轴相离. 11.二次函数与一元二次方程的关系:

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:

(1)一元二次方程 0 ? ax ? bx ? c 就是二次函数 y ? ax ? bx ? c 当函数 y 的值为 0 时的情况.
2
2

(2) 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点;
2

当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y ? 0 时自变量 x 的值,
2

即一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的根.
2

(3)当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴有两个交点时,则一元二次方程 y ? ax ? bx ? c 有两个不
2 2

相 等 的 实 数 根 ; 当 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 图 象 与
2

x 轴有一个交点时,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个相等的实数根;当二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象与 x 轴没有交点时,则一
2
2

元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 没有实数根
2

12.二次函数的应用: (1)二次函数常用来解决最优化问题,这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言,最大(小)值 会在顶点处取得,达到最大(小)值时的 x 即为顶点横坐标值,最大(小)值也就是顶点纵坐标值。 (2)二次函数的应用包括以下方面:分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系; 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
2 附: 将二次函数的一般式 y ? ax ? bx ? c 化为顶点式 y ? a? x ? h ? ? k 的方法: (可用配方法和公式法)
2

典型例题精讲:某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售,每天可销售 100 件,现在他采用 提高出售价格,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨价一元,其销售量将减少 10 件,问他将 出售价定为多少元时,才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?


一元二次函数知识点汇总.doc

一元二次函数知识点汇总 - 姓名二次函数总复习(知识点) 2 1.定义:一般地,

一元二次方程、二次函数知识点总结.doc

一元二次方程、二次函数知识点总结 - 一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程

一元二次函数知识点汇总.doc

一元二次函数知识点汇总 - 一元二次函数知识点汇总 1.定义:一般地,如果 y

一元二次函数知识点汇总.doc

一元二次函数知识点汇总 - 姓名 2 二次函数总复习(知识点) 2 1.定义:一

初中二次函数知识点汇总(史上最全).doc

初中二次函数知识点汇总(史上最全) - 二次函数知识点 一、基本概念: b, c

初中数学二次函数知识点汇总.doc

初中数学二次函数知识点汇总 - 1.定义 1.定义:一般地,如果 y = ax

二次函数知识点总结及典型例题.doc

二次函数知识点总结及典型例题 - 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

九年级上册数学二次函数知识点汇总.doc

九年级上册数学二次函数知识点汇总 - 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点

二次函数知识点及其应用的总结.doc

二次函数知识点及其应用的总结 - 二次函数知识点总结 知识结构框图 一、二次函数

第二章二次函数知识点汇总及练习.doc

第二章二次函数知识点汇总及练习 - ★二次函数知识点汇总★ 1.定义:一般地,如

二次函数图象和性质知识点总结.doc

二次函数图象和性质知识点总结_数学_自然科学_专业资料。二次函数图象和性质知识...x2 ) ,其中 x1 ,x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐标,即 2 一元二次方程 ...

一元二次函数知识汇总.doc

一元二次函数知识汇总 - 思致超越 知行合一 一元二次函数知识点汇总 1.定义:

二次函数知识点汇总(全).doc

二次函数知识点汇总(全)_数学_初中教育_教育专区。二次函数知识点(第一讲) ...二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ...

二次函数知识点梳理.doc

二次函数知识点梳理 - 二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念: b, c 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数。 1.二次...

最新版初中二次函数知识点汇总.doc

最新版初中二次函数知识点汇总 - ★二次函数知识点汇总★ 1.定义:一般地,如果

2016.9.20 初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案.doc

2016.9.20 初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案_数学_初中教育_教育...二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ...

新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习[1].doc

新人教版九年级上册二次函数知识点总结(经典)知识点一:二次函数的定义 1.二...通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系: 5 的图象 ...

初三数学二次函数知识点总结.doc

初三数学二次函数知识点总结 - 砺智培训学校 1 / 11 一、二次函数概念:

中考考点二次函数知识点汇总(全).doc

中考考点二次函数知识点汇总(全)_数学_初中教育_教育专区。内容:1、一元一次函数; 2、一元二次函数; 3、反比例函数★二次函数知识点 一、二次函数概念:...

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案) ....doc

(ID:jd100cz) ” 获取更多学习资料 考点 4:根据二次函数图象解一元二次方程...二次函数知识点汇总及详... 5页 免费 二次函数各知识点、考点... 15...