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三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)

时间:2018-07-01


三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
序 号 名 称 三 角 1 形 的 外 心 定义 图形
A

性质

三角形的三条边 的垂直平分线交 于一点,这点称为 三角形的外心(外 接圆圆心)
B O C

1, 三角形的外心到三角形的三个顶点距离 相等.都等于三角形的外接圆半径; 2, 锐角三角形的外心在三角形内; 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外

三 角 2 形 的 内 心 三 角 3 形 的 重 心 三 角 4 形 的 垂 心

三角形的三条内 角平分线交于一 点,这点称为三角 形的内心(内切圆 圆心)
B I D H
A

A M E K C

1, 三角形的内心到三边的距离相等,都等 于三角形内切圆半径; 2, 直角三角形的内心到边的距离等于两直 角边的和减去斜边的差的二分之一

F

1, 三角形的重心到边的中点与到相应顶点 的距离之比为 1∶ 2;
E

三角形的三条中 线交于一点,这点 称为三角形的重 心
B D F G C

2, 重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角 形面积相等; 3, 重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最 小 1,三角形任一顶点到垂心的距离,等于外 心到对边的距离的 2 倍;锐角三角形的垂心

三角形的三条高 交于一点,这点称 为三角形的垂心 A

E

C O F
A

到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接 D B 圆半径之和的 2 倍; 2,锐角三角形的垂心在三角形内;直角三 角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂 心在三角形外 ;

三 角 5 形 的 旁 心

三角形的一条内 角平分线与另两 个外角平分线交 于一点,称为三角 形的旁心(旁切圆 圆心)
F

B

D

C

1, 每个三角形都有三个旁心;
E Ia

2, 旁心到三边的距离相等

附:三角形的中心:只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,四心合一。

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