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浙江省杭州市塘栖中学2014届高三数学一轮复习课件(理) 第11章11.5 椭圆

时间:2014-12-21


x2 y 2 1.椭圆 ? ? 1的焦距等于2,则m的值为? A m 4 A. 5或3 B. 8 C.5 D. 16

?

解析:当m ? 4时,m - 4 ? 1,m ? 5, 当m ? 4时, 4 - m ? 1,m ? 3.

x y 2.设P是椭圆 ? ? 1上的点,若F1、F2是 25 16 椭圆的两个焦点,则 PF1 ? PF2 等于 ? D ? A.4 C.8 B.5 D. 10

2

2

解析:由题意知a ? 5, 所以 PF1 ? PF2 ? 2a ? 10.

3.已知椭圆C的短轴长为6,离心率为,则椭 圆C的焦点F 到长轴的一个端点的距离为? C A.9 C. 1或9 B. 1 D.以上都不对

?

解析:由题意知b ? 3, a 2 ? b2 9 4 又e ? ? 1 ? 2 ? ,解得a ? 5, 2 a a 5 所以c ? a 2 ? b 2 ? 4. 所以焦点F 到长轴的一个端点的距离为1或9.

x2 y 2 ? ? 1  ( 3,,离心率为的椭圆方程为  0) _________ _. 3 4 ?b ? 3 ? ?a ? 2 c 1 ? ? 解析:依题设 ?e ? ? ,解得 ? a 2 ? ?b ? 3 ? ?a 2 ? b2 ? c 2 ?

4.中心在坐标原点,焦点在y轴上,经过点

x2 y 2 又椭圆焦点在y轴上,故其方程为 ? ? 1  . 3 4

x2 y 2 5.椭圆 2 ? 2 ? 12(a>b>0)的焦点为F1、F2, a b a x?? 两条直线 (c2=a2-b2)与x轴的交点为M、 c

N,若|MN|≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的 2 [. , 1) 取值范围是
2 a2 解析:由已知 | MN |? 2 2 c a 又|MN|≤2|F1F2|,则 2· ? 4c, c 2 c 1 从而 2 ? ,故 2 ? c ? 1, a 2 2 a
2 故 e? [ , 1). 2

1.椭圆的定义
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数 2a>|F1F2| 2a ( )的点的轨迹叫椭圆.有 |PF1|+|PF2|=2a.

在定义中,当 2a=|F1F2| 时,表示线 段F1F2;当 2a<|F1F2| 时,不表示任何图形.

2.椭圆的标准方程

(1) x 2 ? y2 ? 1 (a>b>0),其中a2= b2+ c2, a b F1(-c,0),F2(c,0) . 焦点坐标为
焦点坐标为
x2 y 2 (2) 2 ? 2 ? 1(a>b>0),其中a2=b2+c2, b a

2

2

F1(0,-c),F2(0,c) .

(1)范围:|x|≤a,|y|≤b,椭圆在一个矩形区 域内;

x2 y 2 3.椭圆 2 ? 2 ?(1 a>b>0)的几何性质 a b

(2) 对称性:对称轴 x=0 , y=0 ,对称中心 O(0,0); 一般规律:椭圆有两条对称轴,它们分 别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线. (3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b), B2 (0,b), 2a 长轴长|A1A2|= ,
短轴长|B1B2|=

2b

;

一般规律:椭圆都有四个顶点,顶点是 曲线与它本身的对称轴的交点.

(4)离心率:e= (0<e<1),椭圆 的离心率在 (0,1) 内,离心率确定了椭圆 的形状(扁圆状态).当离心率越接近于 0 时, 椭圆越圆;当离心率越接近于 1 时,椭 圆越扁平.

c a

考点1:椭圆的定义及标准方程
例题1:已知椭圆E的两个焦点分别为
3 F1(-1,0)、F2(1,0), C (1, )在椭圆E上. 2

(1)求椭圆E的方程;

解析:(1)方法1:依题意,设椭圆E的 2 2 x y 方程为 2 ? 2 ? 1 (a>b>0).由已知半焦距c=1, a b 所以a2-b2=1 . ①
3 在椭圆E上,则 因为点 C (1, ) 2 1 9 ? 2 ? 1. 2 a 4b



由①②解得,a2=4,b2=3.
2 2 x y 所以椭圆E的方程为 ? ? 1. 4 3

方法2:依题意,设椭圆E的方程为
x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0), 2 a b 3 因为点C (1, )在椭圆E上, 2

所以2a=|CF1|+|CF2|=4,即a=2.
由已知半焦距c=1,所以b2=a2-c2=3.
x2 y 2 所以椭圆E的方程为 ? ? 1. 4 3

(2)若点P在椭圆E上,且满足 PF1 · PF2 ? t, 求实数t的取值范围. 解析:设P(x0,y0),则 PF1 · PF2 ? t,

得(-1-x0,-y0)· (1-x0,-y0)=t,
2 2 x ? y 即 0 0 ? t ? 1. ③

因为点P在椭圆E上,
2 2 x0 y0 所以 ? ? 1. ④ 4 3

2 2 由③得 y0 ? t ? 1 ? x0 ,

代入④,
2 x 并整理得 0 ? 4 ? t ? 2 ? . ⑤
2 由④知, 0 ? x0 ? 4, ⑥

综合⑤⑥,解得2≤t≤3, 所以实数t的取值范围为[2,3].

点评:求椭圆的标准方程,通常有定义法 和待定系数法,应该熟练掌握 . 运用待定 系数法解题时应注意“先定位,后定量”, 尤其要注意焦点所在的坐标轴有两种可能 的情形.

变式训练:分别求适合下列条件的椭圆 的标准方程: P (2 2, 0),Q (0, ? 5); (1)经过点

(2)长轴长是短轴长的3倍,且经过点
P(-3,0);
4 (3)焦距是8,离心率是 5 .

x2 y 2 解析:(1) ? ? 1. 8 5 2 2 2 x y x ? ? 1. (2 ) ? y 2 ? 1 或 92 81 2 9 2 2 x y (3 ) ? ? 1 或 y ? x ? 1 . 25 9 25 9

点评:求圆锥曲线的标准方程时,除依据 条件确定a、b、c的值外,应注意焦点能 否换轴,全面考虑问题.

考点2:椭圆的几何性质
变式训练: 已知F 、F 是椭圆的两个焦点,P为椭圆
1 2

上一点,?F1 PF2 ? 60?.

?1? 求椭圆离心率的取值范围; ? 2 ? 求证:?F1 PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
x2 y 2 解析: ?1? 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?, a b PF1 ? m, PF2 ? n. 在 PF1 F2中,由余弦定理可知, 4c ? m ? n ? 2mn cos60?.
2 2 2

因为m ? n ? 2a, 所以m ? n ? ? m ? n ? ? 2mn ? 4a ? 2mn,
2 2 2 2

所以4c 2 ? 4a 2 ? 3mn,即3mn ? 4a 2 ? 4c 2 . m?n 2 2 又mn ? ( ) ? a (当且仅当m ? n时取等号). 2 2 c 1 1 2 2 2 所以4a ? 4c ? 3a ,所以 2 ? ,即e ? . a 4 2 1 又0 ? e ? 1,所以e的取值范围是[ ,. 1) 2

4 2 ? 2 ? 证明:由?1? 知,mn ? b , 3 1 3 2 所以S PF1F2 ? mn sin 60? ? b, 2 3 即 PF1 F2的面积只与短轴长有关.

点评:(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称 为椭圆的焦点三角形,与焦点三角形有关的计算或 证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a, 得到a,c的关系. ?定式的平方 ? ? 2 ? 对?F1 PF2的处理方法 ?余弦定理 ?面公式 ?

? ?(| PF1 | ? | PF2 |) 2 ? (2a) 2 ? 2 2 2 ? ?4c ?| PF1 | ? | PF2 | ?2 | PF1 || PF2 | cos? ? 1 ? S? ? | PF1|| PF2 | sin ? ? 2

已知点A、B分别是椭圆? ? 1? a ? b ? 0 ? 变式训练: 的长、短轴的端点,从椭圆上一点M (在x轴上 方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1, AB OM .

?1? 求椭圆的离心率e; ? 2 ? 设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右
焦点,求?F1QF2的取值范围.

b2 解析: ?1?因为F1 ? ?c,0 ?,则xM ? ?c,yM ? , a b2 所以kOM ? ? . ac b2 因为k AB ? ? , AB OM ac b2 b2 所以 ? ?? , ac a F2 Q ? r2,?F1QF2 ? ?, ? 2 ? 设 F1Q ? r1, 所以r1 ? r2 ? 2a, F1 F2 ? 2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 cos? ? 2r1r2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 ? 2r1r 2 a2 a2 ? ?1? ? 1 ? 0. r1 ? r2 r1r 2 ( )2 2

当且仅当r1 ? r2时, cos? ? 0,所以? ? [0, ]. 2

?

考点3:椭圆的综合问题

焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥ F1F2,
4 14 | PF1 |? ,| PF2 |? . 3 3

x2 y 2 例题3:椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的两个 a b

(1)求椭圆C的方程;

解析:方法1:(1)因为点P在椭圆C上,

所以2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3.
在Rt△PF1F2中,
| F1 F2 |? | PF2 |2 ? | PF1 |2 ? 2 5,

故椭圆的半焦距 c ? 5 , 从而b2=a2-c2=4,
x y 所以椭圆C的方程为 ? ? 1 9 4
2 2

(2)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M 且交椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称, 求直线l的方程. 解析:设A,B坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆 心M的坐标为(-2,1),从而可设直线l的方程 为y=k(x+2)+1,

代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.

因为A,B关于点M对称,
x1 ? x2 18k 2 ? 9k 所以 ?? ? ?2, 2 2 4 ? 9k 解得 k ? 8 , 9 8 所以直线l的方程为y ? ( x ? 2) ? 1, 9

即8x-9y+25=0.(经检验,符合题意).

方法2:

(1)同方法1.
(2)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.

所以圆心M的坐标为(-2,1),
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由题意,x1≠x2,
2 1 2 1

x y ? ? 1,① 且 92 4 2 x2 y2 ? ? 1, ② 9 4

由①②得 因为A、B关于点M对称,
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0. ③ 9 4

所以x1+x2=-4,y1+y2=2,代入③得

即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程 符合题意)

y1 ? y2 8 ? , 即直线l的斜率为 8 , x1 ? x2 9 9 8 所以直线l的方程为y-1= (x+2), 9

点评: (1)直线方程与椭圆方程联立,消元后得到一 元二次方程,然后通过判别式D来判断直线和椭圆 相交、相切或相离. (2)消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆 交点的横坐标或纵坐标,通常是写成两根之和与两 根之积的形式,这是进一步解题的基础. (3)若已知圆锥曲线的弦的中点坐标,可设出弦的 端点坐标,代入方程,用点差法求弦的斜率,注意 求出方程后,通常要检验.

2 2 x y 拓展训练: 若F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? a b 的左、右焦点,P是该椭圆上的一个动点,且

PF1 ? PF2 ? 4, | F1 F2 |? 2.

?1? 求这个椭圆的方程; ? 2 ? 是否存在过定点N ? 0,2 ?的直线l与椭圆交于不
同的两点A、B,使OA ? OB(其中O为坐标原点)? 若存在,求出直线l的斜率k;若不存在, 说明理由.

解析: ?1? 依题意,得2a ? 4,2c ? 2, 所以a ? 2,c ? 3,所以b ? a 2 ? c 2 ? 1. x2 2 所以椭圆的方程为 ? y ? 1. 4 ? 2 ? 显然当直线的斜率不存在,即x ? 0时, 不满足条件. 设l的方程为y ? kx ? 2,因为A、B是直线 l与椭圆的两个不同的交点, 设A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ),

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 , ? y ? kx ? 2 ?
2

消去y并整理,得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 16kx ? 12 ? 0. 所以? ? ?16k ? ? 4 ?1 ? 4k 2 ? ? 12 ? 16 ? 4k 2 ? 3? ? 0,

3 解得k ? .① 4 16k 12 x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 因为OA ? OB,所以OA ? OB ? 0,
2

所以OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2

? x1 x2 ? ? kx1 ? 2 ?? kx2 ? 2 ? ? x1 x2 ? k 2 x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4
2

12 16k ? ?1 ? k ? ? 2k ( ? )?4 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 4(4 ? k 2 ) ? ? 0. 2 1 ? 4k 所以k 2 ? 4.② 由①②可知k ? ?2. 所以,存在斜率k ? ?2的直线l符合题意.

备选题 从圆x2+y2=4上任意一点P作x轴的垂线,
垂足为Q,点M在线段PQ上,且 QM ? ? QP (0< λ<1). (1)求点M的轨迹C的方程; 解析:设P(a,b), M(x,y),则Q(a,0).

由QM=λQP, PQ⊥x轴,

得 x=a

a=x b=yλ.

y=λb,则

又点P(a,b)在圆x2+y2=4上, 代入得点M的轨迹方程为
x y ? 2 ? 1(0 ? ? ? 1). 4 4?
2 2

(2)若曲线C上的点M到A(0,-2)的最远距离 为3,求λ的值.

解析:因为|MA|2=x2+(y+2)2,
x2 y2 又 ? 2 ?1 4 4? 2 ? ?1 2 2 所以 | MA | ? 2 y ? 4 y ? 8

? (y∈[-2λ,2λ]).

其图象开口向下, 2 2? 对称轴 y ? >0, 2 1??

2? 2 所以当 >2? 且λ∈(0,1), 2 1?? 5 ?1 即? ? ( 时, , 1) 2

对称轴在区间[-2λ,2λ]的右边,
故当y=2λ时, 2 ? ?1 2 2 2 (| MA | )max ? ? ( 2 ? ) ? 8 ? ? 8 ? 4 ? ? 8? ? 4, 2 ? 令4λ2+8λ+4=9,
1 5 解得 ? ? 或 ? , 不合要求,舍去. 2 2

2? ? 2? 且λ∈(0,1), 当 2 1?? 5 ?1 即? ? (0, ]时, 2
2

对称轴在区间[-2λ,2λ]的中间, 2? 2 故当 y ? 时, 2 1?? 2 2 2 ? ? 1 2? 2 2? 2 (| MA | ) max ? ?( ) ? 4? ?8 2 2 2 ? 1? ? 1? ? 4? 2 ? ? 8 ? 9, 2 1? ? 5 , 解得 ? ? 为所求.
5

1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距 离时,应利用定义求解.

2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义 法外,常用待定系数法 . 当椭圆的焦点位置不 2 2 x y 明确,可设方程为 (m>0,n>0),或设 ? ?1 m n 为Ax2+By2=1(A>0,B>0).

3.椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离 中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离 和最小距离,且最大距离为a+c,最小距离为 a -c . 4 .焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的 2b2 弦是最短的弦,而且它的长为 ,把这个 a 弦叫做椭圆的通径. 5.求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c 的 一 个 齐 次 方 程 , 再 结 合 b2=a2-c2 就可 求 得 e(0<e<1).

6 .从一焦点发出的光线,经过椭圆 (面)的反射,反射光线必经过椭圆的另一 个焦点. 7 .过椭圆外一点求椭圆的切线,一 般用判别式△=0求斜率,也可设切点后求 导数(斜率).

易错点:忽视了焦点位置
x 例题: 若椭圆 y 1 ? ? 1的离心率e ? , k ?8 9 2 则k的值为 ____________.
2 2

2 2 错解: 由已知a ? k ? 8,b ? 9,

c 1 又e ? ? , a 2 2 2 2 c a ? b k ?1 1 2 所以e ? ? ? ? , a2 a2 k ?8 4 解得k ? 4.

错误分析:由于所给椭圆焦点的位置不确定,即 焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以应分两 种情况求解.

正解: ?1? 若焦点在x轴上,即k ? 8 ? 9 ? 0时, a ? k ? 8,b ? 9,
2 2

c a ?b k ?1 1 e ? 2 ? ? ? ,解得k ? 4. 2 a a k ?8 4
2 2 2 2

? 2 ? 若焦点在y轴上,即0 ? k ? 8 ? 9时,
a ? 9,b ? k ? 8,
2 2 2 2 2 c a ? b 1? k 1 5 2 e ? 2 ? ? ? ,解得k ? ? . 2 a a 9 4 4 5 综上,k ? 4或k ? ? . 4


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