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人教版高中数学必修五知识点总结

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《必修五知识点总结》 第一章:解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、 正弦定理: 在 ??? C 中,a 、b 、c 分别为角 ? 、? 、C 的对边, , 则有 ( R 为 ??? C 的外接圆的半径) a b c ? ? ? 2R sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式: ① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ? c a b , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; 3、三角形面积公式: S ???C ? 1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2 2 2 2 4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? ,推论: cos A ? b2 ? c2 ? a2 2bc a 2 ? c2 ? b2 2ac b ? a ? c ? 2ac cos B ,推论: 2 2 2 cos B ? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ,推论: cosC ? a 2 ? b2 ? c2 2ab 二、解三角形 处理三角形问题, 必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型, 特别要多角度 (几 何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、 无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解 1、三角形中的边角关系 (1)三角形内角和等于 180°; (2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (3)三角形中大边对大角,小边对小角; -1- (4)正弦定理中,a=2R· sinA,b=2R· sinB,c=2R· sinC,其中 R 是△ ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bccosA= b 2 ? c 2 ? a 2 . (6)三角形的面积公式有:S= BC 边上高,P 是半周长. 1 1 1 1 ah,S= absinC= bcsinA= acsinB ,S= P( P ? a) ? ( P ? b)(P ? c) 其中,h 是 2 2 2 2 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 (1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理. (2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理. (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是:①化边为角;②化角为边. 4、三角形中的三角变换 (1)角的变换 因 为 在 △ ABC 中 , A+B+C=π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。 sin A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2 (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。 r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半 (3)在△ ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60° ;△ ABC 是正 三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,

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