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辽宁省五校协作体2013届高三摸底考试数学 理 试题 Word版含答案

时间:2013-01-25


一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 x ? 1}, 则CU ( A ? B) ? A. (??,1) B. (1,??) C. (??,1] D. [1,??)





2.复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之差为 A.0



)

B.-1 C.-3 D.3 ? 4? ) 等于 3.已知向量 a ? (sin(? ? ),1), b ? (4, 4 cos ? ? 3) ,若 a ? b ,则 sin(? ? 6 3 ( ) A. ?
3 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D.

1 4

4.若直线 l : y ? kx ? 1被圆C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则直线 l 的方程是 ( A. x ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. y ? 1 D. x ? y ? 1 ? 0 )

5.在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小 于 43521 的数共有 ( ) A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个 6.数列{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, 若平面上的三个不共线的向量 OA, OB, OC 满足 OB ? a1 OA ? a2006 OC, 且 A、B、C 三点共线,则 S2006= A.1003 B.1010 C.2006 D.2010 ( ) ( )

7.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A1,-1 B1,-17 C3,-17 D9,-19

? 8.不等式 loga x ? sin 2x(a ? 0 且 a ? 1) 对任意 x ? (0, ) 都成立,则 a 的取值 4 范围为 ( ? ? ? ? A. (0, ) B. [ ,1} C. ( ,1) ? (1, ) D. (0,1) 4 4 2 4
9.方程 lgx+x=3 的解所在区间为 (





A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 10.下图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形表示的
-1-

学生人数依次记为A1、A2、…、Am [如A2表示身高(单位:cm)在[150,155]内的 学生人数]。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要 统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数,那么在流程图中的 判断框内应填写的条件是 ( )

A. i <9

B. i <8

C. i <7

D. i <6

11.在正三棱锥 A-BCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,EF⊥ DE,且 BC=1,则 正三棱锥 A-BCD 的体积等于 ( ) A.
12 12

B.

2 24

C.

3 12

D.

3 24

? ? 1 1 12.在直角坐标平面上的点集 M ? ?? x, y ? ? ? x ? y ? , N ? y x ? ?
那么 M ? N 的面积是 A.

?? x, y ? x

2

? y2 ? 2 ,

?





? ? B. C. ? D. 2? 4 2 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.连续掷两次骰子,以先后得到的点数 m、n 为点 P(m,n)的坐标,那么点 P 在圆 x2+y2=17 外部的概率应为__. 14. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列, cos A ? cos C ? 则 。 1 ? cos A cos C

15.已知某个几何体的三视图如右图所示,

-2-

根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个 几何体的体积是 cm3。

16.已知抛物线 y ? x 2 上有一条长为 2 的动弦 AB,则 AB 中点 M 到 x 轴的最短距离 为 .

三、解答题,本大题共 5 小题,满分 60 分. 解答须写出文字说明,证明过程或演

d y 算步骤. r ? ? 17.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 函 数 f(x ) = 1 ? q , 其 中 向 量 p 8 ? ? p ? ( s x, cn ox ? s i x),q ? (2 c ox,s ox ? s i x) , x ? R . i s n c s n 1

? )的值及f( x)的最大值。 3 (2)求函数f( x)的单调递增区间.
(1)求f(

18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, ∠ DAB=∠ ABC=90o,PA⊥ 底面 ABCD,PA=AB=AD=2,BC=1,E 为 PD 的中点. (1) 求证:CE∥ 平面 PAB; (2) 求 PA 与平面 ACE 所成角的大小; P (3) 求二面角 E-AC-D 的大小.
E

A B C

D

19.(本小题满分 12 分)甲、乙等五名环保志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个 不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
-3-

(1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 ? 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ? 的分布列.

20.(本小题满分 12 分)
x2 y2 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? , 左、右焦点分别为 F1、F2,点 2 a b

P(2, 3) ,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上。
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜 角互补,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标。

21.(本小题满分 12 分)

-4-

x b 2b ? 1 ,其中 a、b 为任 若函数 f A (x) 的定义域为 A ? [a, b), 且f A ( x) ? ( ? ? 1) 2 ? a x a 意正实数,且 a<b。

(1)当 A= [1,4) 时,研究 f A (x) 的单调性(不必证明) ; (2)写出 f A (x) 的单调区间(不必证明) ,并求函数 f A (x) 的最小值、最大值; (3) x1 ? I k ? [k 2 , (k ? 1) 2 ), x2 ? I k ?1 ? [(k ? 1) 2 , (k ? 2) 2 ), 其中 k 是正整数, 若 对一切 正整数 k 不等式 f I k ( x1 ) ? f I k ?1 ( x2 ) ? m 都有解,求 m 的取值范围。

请考生在第(22) (23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第 、 、 一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 如图,AB 是⊙ 的直径,弦 BD、CA 的延长线 O 相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证: (1) ?DEA ? ?DFA; (2)AB2=BE?BD-AE?AC.

-5-

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? .以极点 为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建
? 2 t?m ?x ? ? 2 ? ?y ? 2 t ? 2 立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ( t 是参数).

(1)将曲线 C 的极坐标方程和直线 l 参数方程转化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选修 在 M ? ?x | x ? 1 ? x ? 3 ? 8 ?, P ? x | x 2 ? (a ? 8) x ? 8a ? 0 的前提下,求 a 的一个值,是它成为 M ? P ? ?x | 5 ? x ? 8? 的一个充分但不必要条件。

?

?

-6-

辽宁省五校协作体 2012~2013 学年度高三摸底测试 理科数学参考答案
一.选择题 1. B 2.A 3. B 4. D 5.C 6.A 7. C 8. B 9. C 10 .B 11.B 二.填空题 13.
13 4 4000 3 14. 15. 16. 18 5 3 4

12.C

18.解(1). 证明:取 PA 的中点 F,连结 FE、FB,则 1 FE∥ BC,且 FE=2AD=BC,∴ BCEF 是平行四边形, ∴ CE∥ BF,而 BF?平面 PAB,∴ CE∥ 平面 PAB. (2) 解:取 AD 的中点 G,连结 EG,则 EG∥ AP,问题转为求 EG 与平面 ACE 所 成角的大小.又设点 G 到平面 ACE 的距离为 GH,H 为垂足,连结 EH,则∠ GEH 为直线 EG 与平面 ACE 所成的角.现用等体积法来求 GH. 1 1 ∵ E-AGC=3S△AGC· 3 V EG= 3 又 AE= 2,AC=CE= 5,易求得 S△AEC=2, 1 3 1 2 ∴ G-AEC =3?2?GH=VE-AGC=3,∴ V GH=3 在 Rt△EHG 中,sin∠ GEH= 2 HG 2 =3,即 PA 与平面 ACE 所成的角为 arcsin3. GE

(3) 设二面角 E-AC-D 的大小为?. S△AGC 2 2 由面积射影定理得 cos?= S =3,∴ ?=arccos3,即二面角 E-AC-D 的大小为 △AEC
-7-

2 arccos3.

| →| 2 PQ 2 设 PA 与平面 ACE 所成角为?,则 sin?= → =3,∴ ?=arcsin3. | AP |
4 8 8 ? ??? ? (1, ? 2,2)( ? , , ? ) n ? PQ 9 9 9 4 另解:易得向量 →在 n 上的射影长为 d= ? ? AP =3 3 n

d 2 2 设 PA 与平面 ACE 所成角为?,则 sin?= → =3,∴ =arcsin3. ? | AP | (3) 显然, →为平面 ABCD 的法向量, AP ? ??? ? ? → 4 2 2 n ? AP cos< n , AP > = ? ??? ? 6 = 3 .∴二 面 角 E - AC - D 的 大 小 为 arccos 3 ? n ? AP

-8-

19.解: (1) 记甲、 乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA , 那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
1 . 40

3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

4 A4 1 (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ? 2 4 ? , C5 A4 10

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ?

9 . 10

(3) 随机变量 ? 可能取的值为 1, 事件“ ? ? 2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务, 2. 则 P(? ? 2) ?
3 C52 A3 1 ? . 3 4 C5 A4 4

所以 P (? ? 1) ? 1 ? P(? ? 2) ?

3 , ? 的分布列是 4

[来源:Zxxk.Com]

?
P

1
3 4

3

[来源:学科网]

1 4

20.解: (1)由椭圆 C 的离心率 e ?

2 2

[来源:学科网]



c 2 ,其中 c ? a 2 ? b 2 , ? a 2

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) 又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上

? F1 F2 |?| PF2 |,? (2c) 2 ? ( 3 ) 2 ? (2 ? c) 2 |
解得 c ? 1, a 2 ? 2, b 2 ? 1,
x2 ? 椭圆的方程为 ? y 2 ? 1. 2

(2)由题意,知直线 MN 存在斜率,其方程为 y ? kx ? m.

? x2 ? ? y 2 ? 1, 由? 2 ? y ? kx ? m ?
消去 y, 得(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kmx? 2m 2 ? 2 ? 0.
-9-

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ), 则 x1 ? x2 ? ? 且 k F2 M ?
4km 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

[来源:Z§ k.Com] xx§

kx1 ? m kx ? m , k F2 N ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 kx1 ? m kx2 ? m ? ? 0. x1 ? 1 x2 ? 1

由已知直线 F2M 与 F2N 的倾斜角互补, 得 k F2 M ? k F2 N ? 0,即

化简,得 2kx1 x 2 ? (m ? k )( x1 ? x 2 ? 2m) ? 0
? 2k ? 2m 2 ? 2 4km(m ? k ) ? ? 2m ? 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

整理得 m ? ?2k .

? 直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,
因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0)

(2

b 2b 2b b b ? 1) 2 ? ?1 ? ?4 ? 2 ? 2( ? 1) 2 a a a a a

b 2b b 2 4b b ?1 ? 2 ? ? 1 ? ( ? 1) 2 当 x ? a时f A (x) 有最大值为 ( ) 2 ? a a a a a

(3)当 A=Ik 时 f I k (x) 最小值为 f I k (k (k ? 1)) ?

2 k2

- 10 -

当 A= Ik+1 时 f I k ?1 ( x) 最小值为 f I k ?1 ((k ? 1)(k ? 2)) ? ∴m ?
2 2 ? 2 k (k ? 1) 2
(k ? N *)

2 (k ? 1) 2

设 t? 则

2 2 ? , (k ? N *) 2 k (k ? 1) 2
5 2

t m a x?

∴m ?

5 2

选做题答案:

23.解: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为:

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0
直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m (2) (法一)由(1)知:圆心的坐标为(2,0) ,圆的半径 R=2,

? 圆心到直线 l 的距离 d ? 2 2 ? ( ?
|2?0?m| 2 ? 2 2 ?| m ? 2 |? 1

14 2 2 ) ? , 2 2

?m ? 1或m ? 3
? 2 t?m ?x ? ? 2 (法二)把 ? ( t 是参数)代入方程 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 , 2 ?y ? t ? 2 ?
- 11 -

得 t 2 ? 2(m ? 2)t ? m 2 ? 4m ? 0 ,24.

? t1 ? t 2 ? ? 2(m ? 2), t1 t 2 ? m 2 ? 4m .

? ?m ? 1或m ? 3

| AB |?| t 1 ? t 2 |? (t 1 ? t 2 ) 2 ? 4t 1 t 2 ? [? 2 (m ? 2)]2 ? 4(m 2 ? 4m) ? 14.

- 12 -


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