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高中高一数学必修1各章知识点总结

时间:2016-12-25


高中高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一 个对象叫元素. 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象 或者是或者不是这个给定的集合的元素. (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象 归入一个集合时,仅算一个元素. (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样, 仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样. (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性. 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法. 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如: a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上. 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来 ,写在大括号内表示集 合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法. ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法: 例: 不等式 x-3>2 的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集合. 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集.AíA ②真子集:如果 AíB,且 A1 B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A

B(或 B A) ③如果 AíB, BíC ,那么 AíC ④ 如果 AíB 同时 BíA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集. 三、集合的运算 1. 交集的定义: 一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组 成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x ∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ = A ,A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中所有 不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作: CSA 即 CSA ={x | x?S 且 x?A} S

CsA

A

(2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这 个集合就可以看作一个全集.通常用 U 来表示. (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关 系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数 的值域. 注意:2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定 义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义域、值 域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义 域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方 根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对 数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值

组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域.) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于 值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对 应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函 数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 ,而与表示自变量 和函数值的字母无关.相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义 域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数 的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指 数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础. 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的 每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行

与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成. (2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表, 以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这 些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (3)作用: 1、直观的看出函数的性质;2、 利用数形结合的方法分析解题的思路. 提高解题的速度. 发现解题中的错误. 4.快去了解区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射.记作 “f:A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应, 那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射 ,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B

及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于映 射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中 对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象. 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等 等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据; 2 解析法:必须注明 函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域; 化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有 代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值.列表法:便于查出函数值.图象法: 便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.在不同的范围里 求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能 写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数 是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是 各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数

如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f、g 的 复合函数. 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1) 7.函数单调性 (1).增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意 两个自变量 x1,x2,当 x1


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