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2016届广东文科数学高考数列大题选讲汇编

时间:2015-12-04


1.(广州一模)已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70 ,且 a2 ,

a7 , a22 成等比数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; 2.(深圳一模)已知各项为实数的数列 ?an ? 是等比数列, 且 a1 ? 2, a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ). 数 列 ?bn ? 满足:对任意正整数 n ,有 a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 . (1) 求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; 3.(韶关一模)已知函数 f ( x) ? log 列. (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; 4.(惠州一模)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? 1 ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? a1 ,
2

x ,且数列 ? f (an )? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数

b4 ? S3 。 (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;
5.(湛江一模)等差数列 {an } 中, a3 ? 3 ,前 7 项和 S7 ? 28. (1)求该数列的公差 d; (2)等比数列 {bn } 中, b1 ? a2 , b2 ? a4 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn (n ? N * ). 6.(肇庆一模)已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 .(I)求 {an } 的通项 an 和前 n 项和 Sn ; (II)设 cn ?

5 ? an c , bn ? 2 n ,证明数列 {bn } 是等比数列. 2

1

参考答案: 1.(广州一模) (1)解:因为数列 ?an ? 是等差数列, 所以 an ? a1 ? ? n ?1? d , Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d. 2

依题意,有 ?

? ? ? S5 ? 70, ?5a1 ? 10d ? 70, 即 ? 2 2 ? ? a7 ? a2 a22 . ? ?? a1 ? 6d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 21d ? .

解得 a1 ? 6 , d ? 4 . 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 2 ( n ? N ) .
*

2

2.(深圳一模) 解: (1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? R, 由 a5 ? a7 ? 8(a2 ? a4 ), 得 a1q4 (1 ? q2 ) ? 8a1q(1 ? q 2 ), 又 a1 ? 2, q ? 0,1 ? q 2 ? 0, 则 q3 ? 8, q ? 2 , 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n (n ? N? ). ………………………………3 分

由题意有 a1b1 ? (1 ? 1) ? 22 ? 2 ? 2 ,得 b1 ? 1. …………………………………4 分 当 n ? 2 时, anbn ? (a1b1 ? a2b2 ? ??? ? anbn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ??? ? an?1bn?1 )
n ?1 n n ?? ?(n ? 1) ? 2 ? 2? ??? ?(n ? 2) ? 2 ? 2? ? ? n ? 2 ,………………………………5 分

得 bn ? n . 故数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n (n ? N? ). ……………………………………6 分 3.(韶关一模) (1) 证:由题意 f (an ) ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log

2

an ? 2n , ……2分

? an ? 2

an?1 2n?1 ? n ?2. an 2 ∴数列 ?an ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.
2n

? 2n ?

……6分

4.(惠州一模) 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,∴ a1 ? 1 …………1 分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ?1) ? (2an?1 ?1) ? 2an ? 2an?1 , 即

an ?2 an ?1

…………………………………………………………………3 分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ an ? 2n?1, Sn ? 2n ?1 …5 分 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? a1 ? 1 , b4 ? 1 ? 3d ? 7 ,∴ d ? 2 ∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 …………………………………………………8 分 5.(湛江一模)

3

6.(肇庆一模) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解得 a1 ? 3 , d ? ?2 . (4 分) 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (6 分)

?a1 ? d ? 1 , (2 分) ?a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ? n 2 ? 4n . (8 分) 2 5 ? an 5 ? (?2n ? 5) ? ?n (Ⅱ)∵ an ? ?2n ? 5 ,∴ cn ? 2 2 Sn ? na1 ?
∴ bn ? 2 n ? 2n
c

(9 分)



bn ?1 2n ?1 ? n ? 2 (常数) bn 2

∴数列 {bn } 是等比数列. (12 分)

4


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