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1992年全国高中数学联赛试题及解答

时间:2011-11-02


1992 年全国高中数学联赛

冯惠愚

1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 (A)1992 )

1992 1991 1993 (B) 1993 (C) 1993 (D) 1992 2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一 曲线的方程是( ) (A)(x+ 1-y2)(y+ 1-x2)=0 (C)(x+ 1-y2)(y? 1-x2)=0 (B)(x? 1-y2)(y? 1-x2)=0 (D)(x? 1-y2)(y+ 1-x2)=0
?1

y
1 O ?1 1 x

4 3.设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 λ=( Σ Si)/S, i=1 则 λ 一定满足( (D)3.5<λ<5.5 C sinB 4. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别记为 a, b, c(b?1), 且 A, sinA都是方程 log bx=logb(4x -4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z12?2z1z2+z22=0,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5

6. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 且满足下列关系 f(10+x)=f(10?x),f(20?x)=?f(20+x), 则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1. 设 x, y, z 是实数, 3x, 4y, 5z 成等比数列, 且x , , 成等差数列, 则 y z z +x的值是______. 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______. 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线都 是异面直线,则 k 的最大值是_____. z2 4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg(z )3 的值是______. 1 5. 设数列 a1, a2, ?, an, ?满足 a1=a2=1, a3=2, 且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1, 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 6.函数 f(x)= x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值是_____.
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冯惠愚

4 1 三、(20 分)求证:16< Σ <17. i=1 k

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分 7 别作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE=2CF= 10,求 l 与 m 的距离.

xn+1-x-n-1 1 五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)= (x?0,±1),令 y=x+ x. x-x-1 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? ? f (x)=? ? ?
n

n n yn-Cn-1yn-2+…+(-1)iCn-i yn-2i+…+(-1)2,(i=1,2,…, 2,n为偶数) n-1 n-1 1 n-2 i n i 2 y,(i=1,2,…,n-1,n为奇数) y -Cn-1y +…+(-1) Cn-i+…+(-1) 2 C n+1 2 2
1 i

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冯惠愚

第二试 一、 (35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形, H1、 H2、 H3、 H4 依次为⊿A2A3A4、 ⊿A3A4A1、 ⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心 位置.

二、 (35 分) 设集合 Sn={1,2,?,n}. 若 X 是 Sn 的子集, 把 X 中所有数的和称为 X 的“容量”(规 定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和.

三、(35 分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取 6 个格 点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6), (2) 任何三点不在同一条直线上. 试 证:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于 2.

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冯惠愚

1992 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n2+n)x2?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 (A)1992 1992 (B) 1993 )

1991 1993 (C) 1993 (D) 1992 1 1 1992 解:y=((n+1)x-1)(nx-1),∴ |AnBn|=n-n+1,于是|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|=1993, 选 B. 2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一 y 曲线的方程是( ) 1 (A)(x+ 1-y2)(y+ 1-x2)=0 (B)(x? 1-y2)(y? 1-x2)=0 (C)(x+ 1-y2)(y? 1-x2)=0 (D)(x? 1-y2)(y+ 1-x2)=0
?1 O ?1 1 x

解:(x? 1-y2)=0 表示 y 轴右边的半圆,(y+ 1-x2)=0 表示 x 轴下方的半圆,故选 D. 4 3.设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记 λ=( Σ Si)/S, i=1 则 λ 一定满足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5

4 4 4 解: Σ Si≤4S,故 Σ Si≤4,又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时, Σ Si 接近 i=1 i=1 i=1 2S,故选 A. C sinB 4. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别记为 a, b, c(b?1), 且 A, sinA都是方程 log bx=logb(4x -4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 解:x =4x-4.根为 x=2.∴ C=2A,?B=180° -3A,sinB=2sinA.?sin3A=2sinA, 2 ?3-4sin A=2.A=30° ,C=60° ,B=90° .选 B. 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z12?2z1z2+z22=0,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3

2z1 π π 1 3 解: z =cos3±isin3.∴ |z2|=8,z1、z2 的夹角=60° .S=2· 4· 8·2 =8 3.选 A.
2

6. 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 且满足下列关系 f(10+x)=f(10?x),f(20?x)=?f(20+x), 则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x).
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冯惠愚

∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数; ∴ f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选 C. 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1. 设 x, y, z 是实数, 3x, 4y, 5z 成等比数列, 且x , , 成等差数列, 则 y z z +x的值是______. 2xz (x+z)2 64 x z 34 解:16y2=15xz,y=x+z,?16·4x2z2=15xz(x+z)2.由 xz≠0,得 xz =15,?z +x=15. 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是 . 1 解:7x=5x+2kπ,或 7x=-5x+2kπ,(k∈Z)?x=kπ,x=6kπ (k∈Z),共有 7 D' C' 解. A' B' 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线 D 段所在的直线都是异面直线,则 k 的最大值是 . C B 解:正方体共有 8 个顶点,若选出的 k 条线两两异面,则不能共顶点, A 即至多可选出 4 条,又可以选出 4 条两两异面的线(如图),故所求 k 的最大值 =4. z2 4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg(z )3 的值是______. 1 32+52-72 1 解:cos∠OZ1Z3= =-2.即∠OZ1Z3==120° , 2?3?5 z2 π 5π ∴ arg(z )=3或 3 . 1 z2 3 ∴ arg(z ) =π. 1 5.设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1,又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4, 相减,得 anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由 anan+1an+2?1,得 an+4=an. 又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得 a4=4. ∴ a1+a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200. 6.函数 f(x)= 解:f(x)= x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值是_____.
B (0,1)
O x
y
Z2

Z3

Z1

O

x

y

A (3,2)

(x2-2)2+(x-3)2- (x2-1)2+x2,表示点(x,x2)与点

A(3,2)的距离及 B(0,1)距离差的最大值.由于此二点在抛物线两 侧,故过此二点的直线必与抛物线交于两点.对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差大 于|AB|= 10.即所求最小值为 10. 4 1 三、(20 分)求证:16< Σ <17. i=1 k

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冯惠愚

证明: 同时

1 2 2 = < =2( k- k-1), k k+ k k-1+ k

1 2 > =2( k+1- k). k k+1+ k

80 80 1 80 于是得 2 Σ ( k+1- k)< Σ <1+2 Σ ( k- k-1) k=1 k=1 k k=1 80 1 即 16< Σ <1+2( 80-1)<1+2(9-1)=17. k=1 k 四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分 7 别作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE=2CF= 10,求 l 与 m 的距离. 解:过 m 作平面 α∥l,作 AP⊥α 于 P,AP 与 l 确定平面 β,β∩α=l?,l?∩m=K. 作 BQ⊥α, CR⊥α, 垂足为 Q、 R, 则 Q、 R∈l?, 且 AP=BQ=CR=l A C B 与 m 的距离 d. l ? 连 PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知 PD、QE、RF 都⊥m. m R Q P 49 2 2 2 PD= 15-d ,QE= KF 4 -d ,RF= 10-d . l' ? E D 当 D、E、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF, ? 49-4d2= 15-d2+ 10-d2.解之得 d= 6 当 D、E、F 不全在 K 同侧时 2QE=PD-RF,? 49-4d2= 15-d2- 10-d2.无实解. ∴ l 与 m 距离为 6.

xn+1-x-n-1 1 五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)= (x?0,±1),令 y=x+ x. x-x-1 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? ? f (x)=? ? ?
n

n n yn-Cn-1yn-2+…+(-1)iCn-i yn-2i+…+(-1)2,(i=1,2,…, 2,n为偶数) n-1 n-1 1 n-2 i n i 2 y,(i=1,2,…,n-1,n为奇数) y -Cn-1y +…+(-1) Cn-i+…+(-1) 2 C n+1 2 2
1 i

1 (x+ x)(xn+1-x-n-1)-xn+x-n n+2 -n-2 x -x 证明: ⑴ 由 yfn(x)?fn-1(x)= = =fn+1(x).故证. -1 x-x x-x-1

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1 1 ⑵ f1(x)= x+x ,f2(x)=x2+1+x-2=(x+ x)2-1=y2-1.故命题对 n=1,2 成立. 设对于 n≤m(m≥2,m 为正整数),命题成立,现证命题对于 n=m+1 成立. 1. 若 m 为偶数,则 m+1 为奇数.由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有 m m m m - 2 ? 1 2 i 2 m m-2 m-4 i m-2i m 2 fm(x)= y -Cm-1y +C m-2y +…+(-1) Cm-iy +…+(-1) 2 Cm- y ① 2 m-2 m-2 - 1 i 1 2 y fm-1(x)= ym-1-Cm-1ym-3+…+(-1)i-1Cm-iym+1-2i+…+(-1) 2 · C m ② 2 m m m 1 i i-1 m+1-2i 2 2 -m m+1 i ∴ yfm(x)-fm-1(x)=y -…+(-1) (Cm-i+Cm-i)y +…+(-1) 2 (Cm-m+Cm - 2 )y 2 m m 1 i = ym+1-Cm+1-1ym-1+…+(-1)iCm-i+1ym+1-2i+…+(-1) 2 · Cm2 y 2 +1 即命题对 n=m+1 成立. 2.若 m 为奇数,则 m+1 为偶数,由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有 m-1 m-1 1 i 21 y fm(x)= ym - 1 - C m-2 ym - 2+ … +( - 1)i· C m-i ym - 2i+ … +( - 1) 2 · C m- 2 ③ fm - 1(x)= y ④ 用 y 乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为 m-1 m-1 m-1 m+1 m+1 2 2 m - 1 m +1 -(-1) 2 C =-(-1) 2 C =(-1) 2 . 2 2 m+1 m+1 1 m-1 于是得到 yfm(x)-fm-1(x)=y -Cm y +…+(-1) 2 ,即仍有对于 n=m+1,命题成立 综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立. 第二试 一、 (35 分) 设 A1A2A3A4 为⊙O 的内接四边形, H1、 H2、 H3、 H4 依次为⊿A2A3A4、 ⊿A3A4A1、 ⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心.求证:H1、H2、H3、H4 四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心 位置. 证明:连 A2H1,A1H2,取 A3A4 的中点 M,连 OM,由上证知 H H3 M1 4 A1 A2H1∥OM, A2H1=2OM, A1H2∥OM, A1H2=2OM, 从而 H1H2A1A2 A2 是平行四边形,故 H1H2∥A1A2 ,H1H2=A1A2. O1 同理可知,H2H3∥A2A3,H2H3=A2A3; H3H4∥A3A4,H3H4=A3A4; O H4H1∥A4A1,H4H1=A4A1. H2 H1 故 四边形 A1A2A3A4≌四边形 H1H2H3H4. A4 A3 M 由四边形 A1A2A3A4 有外接圆知,四边形 H1H2H3H4 也有外接
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m


1

- C m-2 y

1

m



3

+ … +( - 1)

i



1

C

i-1 m+1 m-i y



2i

m-1 m-1 21 + … +( - 1) 2 C m- 2

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冯惠愚

圆.取 H3H4∥的中点 M1,作 M1O1⊥H3H4,且 M1O1=MO,则点 O1 即为四边形 H1H2H3H4 的 外接圆圆心. 又证:以 O 为坐标原点,⊙O 的半径为长度单位建立直角坐标系,设 OA1、OA2、OA3、 OA4 与 OX 正方向所成的角分别为 α、 β、γ、?,则点 A1、A2、A3、A4 的坐标依次是(cosα,sinα)、 (cosβ,sinβ)、(cosγ,sinγ)、(cos?,sin?). 显然,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的外心都是点 O,而它们的重心依次是 1 1 1 1 (3(cosβ+cosγ+cos?),3(sinβ+sinγ+sin?))、(3(cosγ+cos?+cosα),3(sinα+sin?+sinγ))、 1 1 1 1 (3(cos?+cosα+cosβ),3(sin?+sinα+sinβ))、(3(cosα+cosβ+cosγ),3(sinα+sinβ+sinγ)). 从而,⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3 的垂心依次是 H1(cosβ+cosγ+cos?, sinβ+sinγ+sin?)、H 2 (cosγ+cos?+cosα,sinα+sin?+sinγ)、 H 3 (cos?+cosα+cosβ,sin?+sinα+sinβ)、H 4 (cosα+cosβ+cosγ,sinα+sinβ+sinγ). 而 H1、 H2、 H3、 H4 点与点 O1(cosα+cosβ+cosγ+cos?, sinα+sinβ+sinγ+sin?)的距离都等于 1, 即 H1、H2、H3、H4 四点在以 O1 为圆心,1 为半径的圆上.证毕. 二、 (35 分)设集合 Sn={1,2,?,n}. 若 X 是 Sn 的子集, 把 X 中所有数的和称为 X 的“容量”(规 定空集的容量为 0),若 X 的容量为奇(偶)数,则称 X 为的奇(偶)子集. 1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等. 2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 3.当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和. 证明:⑴ 对于 Sn 的每个奇子集 A,当 1∈A 时,取 B=A\{1},当 1?A 时,取 B=A∪{1}, 则 B 为 Sn 的偶子集.反之,若 B 为 Sn 的偶子集,当 1∈B 时,取 A=B\{1},当 1?B 时,取 A=B ∪{1},于是在 Sn 的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应,故 Sn 的奇子集与偶子集的个 数相等. ⑵ 对于任一 i∈Sn,i>1,含 i 的 Sn 的子集共有 2n-1 个,其中必有一半是奇子集,一半是 偶子集,从而每个数 i,在奇子集的和与偶子集的和中,i 所占的个数是一样的. 而对于元素 1,只要把 Sn 的所有子集按是否含有 3 配对(即在上证中把 1 换成 3 来证),于 是也可知 1 的奇子集与偶子集中占的个数一样,于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集 中占的个数一样.所以 Sn 的所有奇子集的容量的和,与所有偶子集的容量的和相等. ⑶ 由 于 每 个 元 素 在 奇 子 集 中 都 出 现 2n-2 次 , 故 奇 子 集 的 容 量 和 =(1+2+3+ … +n)× 2n-2=n(n+1)× 2n-3. 三、(35 分) 在平面直角坐标系中,任取 6 个格点 Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足: ⑴ |xi|≤2,|yi|≤2(i=1,2,3,4,5,6); ⑵ 任何三点不在一条直线上. 试证明:在以 Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形的面积不 大于 2. 证明 如图,满足条件的格点只能是图中 A、B、…、Y 这 25 个格 y 点中的 6 个. 把这 25 个格点分成三个矩形: 矩形 AEFJ、 KOWU、 MNYX. A B C2 D E 若所取的 6 个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中,则此 F 三点即满足要求. J I H G -2 2 x K L O M N 若三个矩形中均无所取 6 点中的 3 点,则必是每个矩形中有所取 P Q R S T 的 2 个点. -2 U V W X Y ⑴ 若 E、 F、 D、 G、 O、 R、 W 中有所取的点, 则此点与矩形 MNYX
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中的两点满足要求; ⑵ 若上述 7 点均未取,则 A、B、C、H、I、J 中必有两点,此时若 L、K 中有所取的点, 则亦有三点满足要求; ⑶ 若 L、K 亦未取,则必在 P、Q、V、U 中取了 2 点,矩形 ACHJ 中取了 2 点:此时取 P、Q 两点,或 Q、V 两点,或 V、U 两点,或 U、P 两点,或 Q、U 两点,则无论 ACHJ 中 取任一点,与之组成三角形面积均满足要求. 若取 P、V 两点,则矩形 ACHJ 中必有一点异于 C,取此点与 P、V 满足要求. 综上可知,必有满足要求的 3 点存在.

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