nbhkdz.com冰点文库

三角函数及解直角三角形知识点

时间:2011-08-07


《三角函数及解直角三角形》 三角函数及解直角三角形》
1.三角函数定义:如图 Rt△ABC 中,∠C=90° 正弦: sin A = 余弦: cos A =

∠A的对边 a ; sin A = 斜边 c
b c a b

∠A的邻边 ; cos A = 斜边 ∠A的对边 正切: tan A = ; tan A = ∠A的邻边

根据定义,写出∠B 的三个三角函数值

sin B = ___________; cos B = ____________; tan B = _______________;

B c

a

A

b

C

2.三角函数之间关系 (1)同角三角函数关系

tan A =

sin A 2 2 ; sin A + cos A = 1 cos A
2 2

模仿写出: tan B = ____________; sin B + cos B = 1 (2)互余角三角函数关系(A+B=90)

sin A = cos B ; cos A = sin B
一个角的正弦等于它余角的余弦;一个角的余弦等于它的余角的正弦

3.特殊角的三角函数值 0°、30°、45°、60°、90° 三角函数 30° 45° 60°

sin α

cos α
tan α
4.会设计并根据三角函数关系计算 15°、75°角的三角函数

B

C

A

D

5.根据表格中数据总结正弦、余弦、正切的增减性 当 0°≤ α ≤90°时, sin α 随 α 的增大而_______;cos α 随 α 的增大而_______;tan α 随 α 的增大而_______ 6.已知一个三角函数值,求其他三角函数值。 (根据三角函数关系) 例题:sinA=

2 ,求 cosA、tanA 5

注意: (1)正弦、余弦、正切、都是在直角三角形中给出的,要避免应用时对任意的三角 注意: 形随便套用定义;

(2)sinA不是sin与A的乘积,是三角形函数记号,是一个整体。 “sinA”表 示一个比值,其他三个三角函数记号也是一样的; (3)锐角三角函数值与三角形三边长短无关,只与锐角的大小有关。 (4)当0°≤α≤90°时,0≤sinα≤1,0≤cosα≤1。 7.解直角三角形的定义及应用 (1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
视铅 仰仰 俯仰 水水铅

铅铅铅

视铅

(2)坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度(坡比)。用字母 i 表示,即 i =

h 。坡度一 l

般写成 1: m 的形式,如 i = 1: 5 等。把坡面与水平面的夹角记作 α (叫做坡角),那么

i=

h = tan α 。 l

(3)指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90°的水平角,叫做方向角。如图,OA、 OB、OC、OD 的方向角分别是:北偏东 45°(东北方向) , 南偏西 45°(西南方向) , 北偏西 45°(西北方向) 。 南偏东 45°(东南方向) ,

(4)解非直角三角形的方法

对于非直角三角形,往往要通过作辅助线构造直角三角形来解,作辅助线的一般思路是: 作垂线构成直角三角形;利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 (5)解直角三角形的实际应用的步骤 审题 ①分析题意,理解实际问题的意义,看懂题目给出的示意图或自己画出的示意图,找出要 解的直角三角形; ②把实际问题中的数量关系,转移到直角三角形的各元素上,找出已知元素和未知元素; ③根据已知元素和未知元素之间的关系,选择合适的三角函数关系式。 解题注意精确度 答注意答的完整及注明单位 (6)解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中) 正弦定理:

a b c = = =2R. sin A sin B sin C
2 2 2 2 2

(R 是△ABC 外接圆半径).
2 2 2 2

余弦定理: c =a +b -2abcosC; b =c +a -2cacosB; a =c +b -2bccosA. 如图,在△ABC 中,证明上面公式中的一个即可

C

A

B

三角形的三角函数计算面积: S ?ABC =

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2

在下面图形中证明上面面积公式中的一个即可

C

A

B

(7)解直角三角形应用常见基本图形
A

A 2 B 1 3 2 30° C
B 45° 3 D 6 3 2

45° 1 D

60° C 1

A

2 30° 45° C

2

1

B

3 -1

1

D

A

A

6 2

3

2 3 2 3

45° B 3 1

60°

-

C

1

D

B

30° 2 C

60° 1 D

例题讲解 例题 1:计算

(1)

2 1 -1 0 sin45°+sin60°-2cos45°; (2)(1+ 2 ) -|1-sin30°|1+( ) ; 2 2

(3)sin60°+

1 ; 1 ? tan 60°

(4)2 -( 2 003 +π) -cos60°-

-3

0

1 . 1? 2

例题 2:已知 sinα+cosα=

5 ,求 sinα·cosα 的值 4

例题 3:α 为锐角,若 sinα<

3 ,求 α 的范围 2

α 为锐角,若 cosα<

3 ,求 α 的范围 2

例题 4:已知 45°<α<90°,化简 1 ? 2 sin α ? cos α

例题 5: 如图所示, B 两城市相距 100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 A、 (即 线段 AB) ,经测量,森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向 上. 已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内. 请问:计划修筑 的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么? (结果保留根号)

例题 6:如图,AB,DC 分别表示甲、乙两建筑物的高,AB⊥BC,DC⊥BC,从点 B 测得点 D 的仰角α为 60°,从点 A 测得点 D 的仰角β为 30°,已知甲建筑物高 AB=36m。 (1)求乙建筑物的高 DC; (2)求甲、乙两建筑物之间的距离 BC(结果保留根号) 。

例题 7:如图,点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点,△BCE 沿 BE 折叠为△BFE,点 F 落在 AD 上. (1)求证:△ABE∽△DFE (2)若 sin∠DFE=

1 ,求 tan∠EBC 的值. 3
D E

A

F

B

C

例题 8:已知:四边形 ABCD 中,∠A=60 o ,CB⊥AB,CD⊥AD,CB=2,CD=1.求:AC 的长.

D C

A

B

例题 9:已知:如图,要测量山 AB 的高,在和 B 同一直线上的 C,D 处,分别测得对 A 的仰 角的度数为 n 和 m,CD=a. 试写出表示 AB 的算式.

例题 10:已知:△ABC 中,∠A=45 o ,AB= 6 ,BC=2,求 AC 及∠ACB.(福建省初中数 学联赛题)

例题 11:已知:二次方程 mx -(m-2)x+

2

1 (m-1)=0 两个不相等的实数根,恰好是直角 4

三角形两个锐角的正弦值.求:这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.

练习试题

1.如图,△ABC 中,cosB=

2 3 ,sinC= ,则△ABC 的面积是【 2 5



A.

21 2

B.12

C.14

D.21

2.如图所示,河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1: 3 ,堤高 BC=5m,则坡面 AB 的长度 是【 】

A.10m

B.10 3 m

C.15m
2 ,则下列最确切的结论是【 2

D.5 3 m 】

3.如果△ABC 中,sinA=cosB=
A. △ABC 是直角三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形

B. △ABC 是等腰三角形 D. △ABC 是锐角三角形

4.在△ABC 中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则 sin B 的值是【



A.

5 7 14

B.

3 5

C.

21 7

D.

21 14

5.如图,是一张宽 m 的矩形台球桌 ABCD ,一球从点 M (点 M 在长边 CD 上)出发沿

虚线 MN 射向边 BC , 然后反弹到边 AB 上的 P 点. 如果 MC = n , CMN = α .那么 P 点 ∠ 与 B 点的距离为
.

6.在一次夏令营活动中,小明同学从营地 A 出发,要到 A 地的北偏东 60°方向的 C 处,

他先沿正东方向走了 200m 到达 B 地,再沿北偏东 30°方向走,恰能到达目的地 C (如图),

那么,由此可知, B、C 两地相距

m.

7.如图,以 O 为圆心,任意长为半径画弧,与射线 OM 交于点 A,再以 A 为圆心,AO 长为半径画弧,两弧交于点 B,画射线 OB,则 cos∠AOB 的值等于_________.

8. 如图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D.若 AC= 5 ,BC=2,则 sin∠ACD 的 值为【 】

A.

5 3

B.

2 5 5

C.

5 2

D.

2 3

9.如图,某高速公路建设中需要确定隧道 AB 的长度.已知在离地面 1500m 高度 C 处的 飞机上,测量人员测得正前方 A、B 两点处的俯角分别为 60°和 45°.求隧道 AB 的长. (参考数据: 3=1.73)

10.一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠E =45°,∠A=60°,AC=10,试求 CD 的长.


《三角函数及解直角三角形》知识点总结.doc

三角函数及解直角三角形知识点总结 - 初三精品资料 付国教案 《三角函数及解直角三角形知识点总结 Ⅰ、本章知识结构框图: 1、正弦、余弦、正切、余切的...

解直角三角形的知识点总结.doc

解直角三角形的知识点总结 - 1 解直角三角形 一、锐角三角函数 (一) 、锐角三角函数定义 在直角三角形 ABC 中,∠C=900,设 BC=a,CA=b,AB=c, 锐角 A ...

解直角三角形知识点及典型例题.doc

特殊角的三角函数值α 30° 45° 60° sinα cosα 3 2 tanα 3 3 1 2 2 2 2 2 1 2 1 3 2 3 三、解直角三角形解直角三角形的知识在生活和...

《三角函数及解直角三角形》知识点总结.doc

三角函数及解直角三角形知识点总结 - 《三角函数及解直角三角形知识点总结

解直角三角形知识点归纳.doc

解直角三角形知识点归纳_数学_初中教育_教育专区。解直角三角形知识点归纳 一、锐角三角函数的定义 如图,在 Rt ?ABC 中 正弦: sin A ? ?A的对边 斜边 ?A...

解直角三角形的知识点总结.doc

解直角三角形的知识点总结 - 解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余。 表示为:∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°...

《三角函数及解直角三角形》知识点总结.doc

三角函数及解直角三角形知识点总结 - 《三角函数及解直角三角形》 Ⅰ、本章知

中考解直角三角形知识点整理复习.doc

中考解直角三角形知识点整理复习 - 中考解直角三角形 考点一、直角三角性质 1、直角三角两个锐角互余:可表示如下:∠C=90° ? ∠A+∠B=90° 2、...

《解直角三角形》知识点总结.doc

《解直角三角形》知识点总结 - 《三角函数及解直角三角形知识点总结 Ⅰ、本章知

解直角三角形知识点总结.doc

解直角三角形知识点总结 - 解直角三角形 直角三角性质 1、直角三角两个锐角互余 几何表示:∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角...

解直角三角形的知识点总结.doc

解直角三角形的知识点总结_初三数学_数学_初中教育_教育专区。最全知识点总结。...cotA ? 2、锐角 A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、...

三角函数及解直角三角形知识点总结.doc

三角函数及解直角三角形知识点总结 - 初三精品资料 付国教案 《三角函数及解直角

《三角函数及解直角三角形》知识点总结.txt

三角函数及解直角三角形知识点总结 - 《三角函数及解直角三角形知识点总结 Ⅰ、本章知识结构框图: Ⅱ、本章知识点: 1、正弦、余弦、正切、余切的概念 ...

中考解直角三角形知识点整理复习.doc

中考解直角三角形知识点整理复习 - 中考解直角三角形 考点一、直角三角性质 1、直角三角两个锐角互余:可表示如下:∠C=90° ? ∠A+∠B=90° 2、...

人教版--解直角三角形知识点总结与例题.doc

人教版--解直角三角形知识点总结与例题 - 知识点总结: 一、锐角三角函数的定义

解直角三角形知识点.doc

解直角三角形知识点 - 一、直角三角形的性质: 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° A 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ...

直角三角形知识点总结.doc

直角三角形知识点总结_数学_初中教育_教育专区。直角三角形边角关系知识点考点...三角函数及解直角三角形... 暂无评价 5页 8.00 数学知识点中考数学试卷...

锐角三角形28.2解直角三角形知识点整理复习.doc

锐角三角形28.2解直角三角形知识点整理复习 - 中考解直角三角形 考点一、直角三角性质 1、直角三角两个锐角互余:可表示如下:∠C=90° ? ∠A+∠B...

2018中考数学(通用版)知识点梳理:解直角三角形_图文.pdf

2018中考数学(通用版)知识点梳理:解直角三角形 - 第 18 讲 解直角三角形 一、 知识清单梳理 知识点一:锐角三角函数的定义 正弦: sin A= ∠A 的对边 a =...

直角三角形的边角关系--知识点.doc

直角三角形的边角关系--知识点 - 直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 知识讲解 1.锐角三角函数的概念 如图,在 ABC 中,∠C 为直角,则锐角 A 的各三角...