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2013年福建省普通高中毕业班质量检查文科

时间:2013-05-14


2013 年福建省普通高中毕业班质量检查


参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s=







锥体体积公式

1

? ( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? ? n?

V=

1 3

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R 2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3

?R 3

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.已知复数 z ? 1 ? i , z 为 z 的共轭复数,则下列结论正确的是 A. z ? ?1 ? i B. z ? ?1+i C. z ? 2 D. z ?

2

2.已知 a ? b, c ? 0 ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? b
2 2

B. ac ? bc D.

C. a ? c ? b ? c

a c

?

b c
D.63

3.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 值为 2,则输出的 x 值为 A.3
2

B.8

C.9

4. x ? 1 ”是“ x ? 1 ? 0 ”的 “ A.充分而不必要条件 5.函数 y ? x cos x ? ?
2

B.必要而充分不条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

?? ? ? ? x ? ? 的图象是 2? ? 2
y
y

π 2

O

π 2

x

π 2

O

π 2

x

A

B

2 6 . 已 知 集 合 M ? ? x | ?2 ? x ? 8? , N ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 , 在 集 合 M 中 任 取 一 个 元 素 x , 则

?

?

“ x ? M ? N ”的概率是 A.

1 10

B.

1 6

C.

3 10

D.

1 2

7.已知 F1 , F2 是椭圆 C 的两个焦点,焦距为 4.若 P 为椭圆 C 上一点,且 ?PF1 F2 的周长为 14,则椭圆 C 的离心率 e 为 A .

1 5

B.

2 5

C.

4 5

D.

21 5

? 3 x ? y ? 1 ? 0, ? 8.若变量 x, y 满足约束条件 ? 3 x ? y ? 11 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? y ? 2, ?
A.4 B.1 C.0 D. ?1

9.设 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是 A.若 m // n, m // ? ,则 n // ? C.若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n D.若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ?

10.已知点 O ? 0, 0 ? , A ?1, 2 ? , B ? 3, 2 ? ,以线段 AB 为直径作圆 C ,则直线 l : x ? y ? 3 ? 0 与圆 C 的位置 关系是 A.相交且过圆心 B.相交但不过圆心 C.相切 D.相离

7 11 . 已 知 点 O ? 0 , 0? , A ? 0 ,1 , nA 6 , 点 A1 , A2 ,? , An ?1 ? n ? N ,n ? 2 ? 是 线 段 A0 An 的 n 等 分 点 , 则 ? ? ? , 0
???? ???? ? ?????? ???? ? OA0 ? OA1+ ? ? OAn ? 1? OAn 等于
A. 5n B. 10n C. 5 ? n ? 1? D. 10 ? n ? 1?

12.定义两个实数间的一种新运算“*” x ? y ? lg 10 ? 10 :
x

?

y

?,

x, y ? R .对任意实数 a , b, c ,给出如下结

论: ① ?a * b ? * c ? a * ?b * c ? ; ② a * b ? b * a ; 其中正确的个数是 A. 0 B.1 C.2 第Ⅱ卷(非选择题 D.3 共 90 分) ③ ? a * b ? ? c ? ? a ? c ? * ?b ? c ? ;

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.一支田径队有男运动员 28 人,女运动员 21 人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取 14 位运动员 进行健康检查,则男运动员应抽取________人. 14.在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c .已知 a ? 3 , b ? 8 , C=

?
3

,则 c =



? 2 x ? a , x ? 0, 15.若函数 f ( x ) ? ? 有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ? ln x , x ? 0
16.观察下列等式:



1 3 7

? ?

2 3 8

? 1; ? 10 ? 11

? 12 ; 3 3 3 3 16 17 19 20 22 23 ? ? ? ? ? ? 39 ; 3 3 3 3 3 3
? 则当 m ? n 且 m, n ? N 表示最后结果.

3n ? 1 3

?

3n ? 2 3

?? ?

3m ? 2 3

?

3m ? 1 3

?

(最后结果用 m, n 表示最后结果) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某工厂生产 A, B 两种元件, 其质量按测试指标划分为: 大于或等于 7. 为正品, 5 小于 7. 为次品. 5 现 从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下:

A B

7 6

7

7.5 8.5

9 8.5

9.5

x

y

由于表格被污损, 数据 x, y 看不清, 统计员只记得 x ? y , A, B 两种元件的检测数据的平均值相等, 且 方差也相等. (Ⅰ)求表格中 x 与 y 的值;

(Ⅱ)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求 2 件都为正品的概率. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? cos x , x ? R . (Ⅰ)求 f ?

?? ? ? 的值; ? 12 ?

(Ⅱ)试写出一个函数 g ? x ? ,使得 g ? x ? f ? x ? ? cos 2 x ,并求 g ? x ? 的单调区间. 19.(本小题满分 12 分) 某几何体 ABC ? A1 B1C1 的三视图和直观图如图所示. (Ⅰ)求证:平面 AB1C1 ? 平面 AA1C1C ; (Ⅱ)若 E 是线段 AB1 上的一点,且满足 V E ? AA1C1 ?

1 9
C1

V ABC ? A1B1C1 ,求 AE 的长.

B1

4

A1

2 正(主)视图

侧(左)视图
A

C
正视方向

B

4

俯视图

20.(本小题满分 12 分) 某工业城市按照“十二五”(2011 年至 2015 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治 污.现以降低 SO2 的年排放量为例,原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨,已知该 城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨, (Ⅰ)按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少万吨? (Ⅱ)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召,决定加大减排力度.在 2012 年刚好 按原计划完成减排任务的条件下,自 2013 年起,SO2 的年排放量每年比上一年减少的百分率为 p ,为使 2020 年这一年的 SO2 年排放量控制在 6 万吨以内,求 p 的取值范围. (参考数据 8

2 2 ? 0 .9505 , 9 ? 0 .9559 ) . 3 3

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? ax ? bx .
x 2

(Ⅰ)当 a ? 0, b ? ?1 时,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)设函数 f ? x ? 在点 P ? t , f ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? 处的切线为 l ,直线 l 与 y 轴相交于点 Q .若点 Q 的纵坐 标恒小于 1,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分 14 分) 某同学用《几何画板》研究抛物线的性质:打开《几何画板》软件,绘制某 抛物线 E : y ? 2 px ,在抛物线上任意画一个点 S ,度量点 S 的坐标 ? xS , y S ? ,
2

如图. (Ⅰ)拖动点 S ,发现当 xS ? 4 时, yS ? 4 ,试求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)设抛物线 E 的顶点为 A ,焦点为 F ,构造直线 SF 交抛物线 E 于不同 两点 S 、 , 构造直线 MT 、 . N NS 经 T 构造直线 AS 、 分别交准线于 M 、 两点, AT 观察得: 沿着抛物线 E , 无论怎样拖动点 S , 恒有 MT / / NS .请你证明这一结论. (Ⅲ)为进一步研究该抛物线 E 的性质,某同学进行了下面的尝试:在(Ⅱ) 中,把“焦点 F ”改变为其它“定点 G ? g , 0 ? ? g ? 0 ? ” ,其余条件不变,发现“ MT 与 NS 不再平行” .是 否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件,使得仍有“ MT / / NS ”成立?如果可以,请写出相应的正确命题; 否则,说明理由.

2013 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法 与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 7.B 2.C 8.A 3.B 9.C 4.A 10.B 5.B 11.C 6.A 12.D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13.8; 14.7; 15. 0 ? a ? 1 ; 16. n ? m .
2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查古典概型、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识, 考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解:(Ⅰ)因为 xA = (7+7+7 ? 5+9+9 ? 5 ) , B = (6+x ? 8 ? 5 ? 8 ? 5 ? y) , =8 x

1

1

5

5

由 xA = xB ,得 x ? y ? 17 . 因为 sA = ( 1+1+0.25+1+2.25 ) , B = =1.1 s
2


2

???????????????2 分

1

1

5

2 2 ? 4+ ( x ? 8)+0.25+0.25+ ( y ? 8)? , ? ? 5

( 由 s A = s B ,得 x ? 8)+( y ? 8)=1 .
2 2

2

2



????????????????4 分

由①②解得 ? 因为 x ? y ,

? x ? 8, ? x ? 9, 或? ? y ? 9, ? y ? 8.

所以 x ? 8 , y ? 9 .

???????????????6 分

(Ⅱ) 记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,其中 B2 , B3 , B4 , B5 为正品, 从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下:

? B1 , B2 ? , ? B1 , B3 ? , ? B1 , B4 ? , ? B1 , B5 ? , ? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? ,
???????????????8 分

记“2 件都为正品”为事件 C ,则事件 C 包含以下 6 个基本事件:

? B2 , B3 ? , ? B2 , B4 ? , ? B2 , B5 ? , ? B3 , B4 ? , ? B3 , B5 ? , ? B4 , B5 ? .???????????10 分
所以 P (C ) ?

6 10

?

3 5

,即 2 件都为正品的概率为

3 5

.

???????????????12 分

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变 换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)因为 f ? x ? ?

2 sin( x ?

?
4

) ,???????????????3 分

所以 f ?

?? ? ?? ? 12 ?

?? ?? 2 sin ? ? ? ? ? 12 4 ?

2 sin

?
3

?

6 2

. ???????????6 分

(Ⅱ) g ? x ? ? cos x ? sin x . ??????????????????????7 分 下面给出证明: 因为 g ? x ? f ? x ? ? (cos x ? sin x )(sin x ? cos x ) ? cos x ? sin x ? cos 2 x,
2 2

所以 g ? x ? ? cos x ? sin x 符合要求.????????????????????9 分 又因为 g ? x ? ? cos x ? sin x ? 由 2 k? ? ? ? x ?

?? ? 2 cos ? x ? ? ,????????????????10 分 4? ?
3? 4 ? x ? 2k? ? 7? 4 ,

?
4

? 2 k? ? 2? , 得 2 k? ?
? ? 3? 4

所以 g ? x ? 的单调递增区间为 ? 2 k ? ? 又由 2 k? ? x ?

2 k? ?

7? ? ? , k ? Z .????????????11 分 4 ?

?
4

? 2 k? ? ? ,得 2 k? ?
? ?

?
4

? x ? 2k? ?

3? 4

,

所以 g ? x ? 的单调递减区间为 ? 2 k ? ?

?
4

,k ? ? 2

3? ? ? , k ? Z .????????????12 分 4 ?

? 解法二:(Ⅰ)因为 ? f ? x ? ? ? 1 ? sin 2 x , 所以 ? f ? ? ?
2

? 3 ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? sin ? ,????????????3 分 6 2 ? 12 ? ?

2

又因为 f ?

6 ?? ? ?? ? .????????????6 分 ? ? 0, 所以 f ? ? ? 2 ? 12 ? ? 12 ?

(Ⅱ)同解法一. 解法三:(Ⅰ) f ?

? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? sin ? cos 12 12 ? 12 ? ?3 4? ?3 4?
? sin
? 3 2

?
3

cos
2 ?

?
4
1

? cos
2 ?

?
3
1

sin
2

?
4
?

? cos
3 2

?
3
2

cos
?

?
4
6

? sin

?
3

sin

?
4

???????3 分

2

2 2

2 2

2

2

. ????????????6 分

(Ⅱ)同解法一. 注:若通过 g ? x ? ?

cos 2 x f ? x?

得到 g ? x ? 或由 g ? x ? f ? x ? ? (cos x ? sin x )(cos x ? sin x ) 两边同时约去

f ? x ? 得到 g ? x ? 不扣分.
19.本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,几何体的体积等基

础知识;考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查函数与方程思想、数形结合思想、化归 与转化思想.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)由三视图可知,几何体 ABC ? A1 B1C1 为三棱柱,侧棱 AA1 ? 底面 A1 B1C1 , B1C1 ? A1C1 , 且 AA1 ? AC ? 4 , BC ? 2 .???????????????2 分

? AA1 ? 平面 A1 B1C1 , B1C1 ? 平面 A1 B1C1 ,? AA1 ? B1C1 , ???????3 分 ? B1C1 ? A1C 1 , AA1 ? A1C1 ? A1 ,? B1C1 ? 平面 A1 ACC 1 .????????5 分
又? B1C1 ? 平面 AB1C1 , ? 平面 AB1C1 ? 平面 AA1C1C .?????????6 分 (Ⅱ)过点 E 作 EF // B1C1 交 AC 1 于 F , 由(Ⅰ)知, EF ? 平面 A1 ACC 1 ,即 EF 为 三棱锥 E ? AA1C 的高. ???7 分

? V E ? AA1C1 ?
?

1 1 V ABC ? A1B1C1 ,? S ?AA1C1 ? EF ? S ?ABC ? AA1 , 9 3 9 1

????????8 分

1 ?1 1 ?1 2 ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? EF ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? 4 ,解得 EF ? .????????9 分 3 ?2 9 ?2 3 ? ?
AC 2 ? BC 2 ? 42 ? 22 ? 2 5 ,

在 Rt?ABC 中, AB ? 在 Rt?ABB1 中, AB1 ? 由

AB 2 ? BB12 ?

?2 5 ?

2

? 4 2 ? 6 ,????????10 分
????????11 分

AE AB1

?

EF B1C 1



得 AE ?

AB1 ? EF B1C 1

6? ? 2

2 3 ? 2.
????????12 分

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)过点 E 作 EF // B1C1 交 AC 1 于 F , 由(Ⅰ)知, EF ? 平面 A1 ACC 1 ,即 EF 为 三棱锥 E ? AA1C 的高. ???7 分

? V ABC ? A1B1C1 ? 3V A ? A1B1C1 ? 3V B1 ? AA1C1 ,

? V E ? AA1C1 ? 1 ? S ?AA1C1 3

1 V ABC ? A1B1C1 ? V B1 ? AA1C1 9 3 1 1 1 ? EF ? ? S ?AA1C1 ? B1C1 , ? EF ? B1C1 , 3 3 3
AC 2 ? BC 2 ? 42 ? 22 ? 2 5 ,

1

???8 分 ???9 分

在 Rt?ABC 中, AB ?

在 Rt ?ABB 1 中, AB1 ? 由

AB 2 ? BB1 ?
2

?2 5 ?

2

? 4 2 ? 6 ,????????10 分
????????11 分

AE AB1

?

EF B1C 1



得 AE ?

1 3

AB1 ? 2 .

????????12 分

20.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力和应用意识,考查函数与方程思 想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设“十二五”期间,该城市共排放 SO2 约 y 万吨, 依题意,2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3 ,公差为 ?0.3 的等差数列,?????3 分 所以 y ? 5 ? 9.3 ?

5 ? ? 5 ? 1? 2

. ? ( ?0.3)=43.5 (万吨)

所以按计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨.????????6 分 (2)由已知得, 2012 年的 SO2 年排放量 9.6 ? 0.3 ? 2=9 (万吨) ,????????7 分 所以 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9,公比为 1 ? p 的等比数列,???????9 分

( 由题意得 9 ? 1 ? p)<6,即 1 ? p < 8
8

2 , 3

所以 1 ? p ? 0.9505 ,解得 p ? 4.95% . 所以 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围 4.95% ? p ? 1 <????????12 分 21.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查分类与整合思 想、数形结合思想、化归与转化思想.满分 12 分. 解: (Ⅰ)当 a ? 0, b ? ?1 时, f ? x ? ? e ? x , f ? ? x ? ? e ? 1 ,????????1 分
x x

所以,当 x ? ( ??, 0) 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? (0, ?? ) 时, f ? ? x ? ? 0 ;????????3 分 所以函数 f ? x ? 的单调递减区间为 ? ?? , 0 ? ,单调递增区间为 (0, ?? ) .????????4 分
x (Ⅱ)因为 f ? ? x ? ? e ? 2 ax ? b ,

所以 P ? t , f ? t ? ? 处切线的斜率 k ? f ? ? t ? ? e ? 2 at ? b ,
t

所以切线 l 的方程为 y ? e ? at ? bt ? e ? 2 at ? b
t 2 t

?

? ?

??x ? t ? ,

令 x ? 0 ,得 y ? ?1 ? t ? e ? at
t

2

? 0 ? t ? 1? .??????????????????5 分

当 0 ? t ? 1 时,要使得点 Q 的纵坐标恒小于 1, 只需 ?1 ? t ? e ? at ? 1 ,即 ? t ? 1? e ? at ? 1 ? 0 ? 0 ? t ? 1? .?????? 6 分
t 2 t 2

令 g ? t ? ? ? t ? 1? e ? at ? 1 ,
t 2

则 g ?(t ) ? t e ? 2 a ,?????????????????????? 7 分
t

?

?

因为 0 ? t ? 1 ,所以 1 ? e ? e ,
t

①若 2a ? ?1 即 a ? ?

1 2

时, e ? 2a ? 0 ,
t

所以,当 t ? ? 0,1? 时, g ?(t ) ? 0 ,即 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递增, 所以 g (t ) ? g (0) ? 0 恒成立,所以 a ? ? ②若 2a ? ?e 即 a ? ?

1 2

满足题意.????????????8 分

e 2

时, e ? 2a ? 0 ,
t

所以,当 t ? ? 0,1? 时, g ?(t ) ? 0 ,即 g ? t ? 在 ? 0,1? 上单调递减, 所以 g (t ) ? g (0) ? 0 ,所以 a ? ? ③若 ?e ? 2a ? ?1 即 ?

e

不满足题意.???????????????9 分

e 2

?a??

2 1 2

时, 0 ? ln( ?2 a ) ? 1 .

则 t 、 g ? ? t ? 、 g ? t ? 的关系如下表:

t
g??t ? g ?t ?

(0, ln( ?2 a ))
?
递减

ln( ?2a )
0 极小值

(ln( ?2a ),1)

?
递增

所以 g ? ln( ?2 a ) ? ? g ? 0 ? ? 0 ,所以 ? 综合①②③,可得,当 a ? ?

e 2

?a??

1 2

不满足题意.????????????11 分

1 2

时, g (t ) ? 0 ? 0 ? t ? 1? 时,此时点 Q 的纵坐标恒小于 1.????12 分

22. 本小题主要考查抛物线的标准方程、 直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、 运算求解能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解法一: (Ⅰ)把 xS ? 4 , yS ? 4 代入 y ? 2 px ,得 4 ? 8 p ,????????2 分
2 2

所以 p ? 2 ,???????????????????????????3 分 因此,抛物线 E 的方程 y ? 4 x .???????????????????4 分
2

(Ⅱ)因为抛物线 E 的焦点为 F ?1, 0 ? ,设 S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y 2 ? , 依题意可设直线 l : my ? x ? 1 ,

? y 2 ? 4 x, ? y1 ? y 2 ? 4 m, 2 由? 得 y ? 4 my ? 4 ? 0 ,则 ? ①????????6 分 ? y1 ? y 2 ? ? 4. ? my ? x ? 1
又因为 l AS : y ?

y1 x1

x , l AT : y ?

? ? y ? y ? x ,所以 M ? ? 1, ? 1 ? , N ? ?1, ? 2 ? , x1 ? x2 ? x2 ? ?

y2

所以 MT ? ? x2 ? 1, y 2 ?

????

? ?

? y1 ? ??? ? y2 ? ? , NS ? ? x1 ? 1, y1 ? ?, x1 ? x2 ? ?

????????7 分

又因为 ? y 2 ?

? ?

? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? 1? ? ? y1 ? ? ? x2 ? 1? ??????????????8 分 x1 ? x2 ? ?

? 4 ?? 1 4 ?? 1 2 ? ? ? ? ? y 2 ? ? ? y12 ? 1 ? ? ? y1 ? ? ? y2 ? 1 ? y1 ? ? 4 y2 ? ? 4 ? ? ? ? ?1 4 ? ?1 4 ? 2 ? ? y12 y 2 ? y 2 ? y1 ? ? ? ? y1 y 2 ? y1 ? y 2 ? ? y1 ? ? 4 y2 ? ?4

?

1 4

y1 y2 ? y1 ? y 2 ? ? 4

y2 ? y1 y1 y2

? y 2 y 2 ? 16 ? ? ? y1 ? y 2 ? ? 1 2 ?, ② ? 4 y1 y 2 ?

2 ? y12 y 2 ? 16 ? 把①代入②,得 ? y1 ? y 2 ? ? ? ? 0 ,???????????????????10 分 ? 4 y1 y 2 ?

即 ? y2 ?

? ?

? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? 1? ? ? y1 ? ? ? x 2 ? 1? ? 0 , x1 ? x2 ? ?

所以 MT / / NS , 又因为 M 、 T 、 N 、 S 四点不共线,所以 MT / / NS .?????????????????11 分
2 (Ⅲ)设抛物线 E : y ? 4 x 的顶点为 A ,定点 G ? g , 0 ?? g ? 0 ? ,过点 G 的直线 l 与抛物线 E 相交于 S 、

????

??? ?

T 两点,直线 AS 、 AT 分别交直线 x ? ? g 于 M 、 N 两点,则 MT / / NS .????????14 分
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为抛物线 E 的焦点为 F ?1, 0 ? ,设 S t1 , 2t1 , T t 2 , 2t 2 ,????????5 分
2 2

?

? ?

?

依题意,可设直线 lST : my ? x ? 1 ,

由?

? y2 ? 4x ? my ? x ? 1

得 y ? 4 my ? 4 ? 0 ,
2

则?

? 2t1 ? 2t 2 ? 4 m , ? 2t1 ? 2t 2 ? ? 4, ? t1 ? t 2 ? 4 m , ? t1 ? t 2 ? ? 1.
??????????????????????????????7 分

所以 ?

又因为 l AS : y ? ?2t 2 x , l AT : y ? ?2t1 x , 所以 M ? ? 1, 2t 2 ? , N ? ? 1, 2t1 ? ,???????????????????????????10 分 所以 k MT ? 0 , k NS ? 0 ,??????????????????????????????10 分 又因为 M 、 T 、 N 、 S 四点不共线,所以 MT / / NS .???????????????????11 分 (Ⅲ)同解法一. 解法三: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为抛物线 E 的焦点为 F ?1, 0 ? ,设 S ? x1 , y1 ? , T ? x2 , y 2 ? , 依题意,设直线 l : my ? x ? 1 ,

由?

? y2 ? 4x ? my ? x ? 1

得 y ? 4 my ? 4 ? 0 ,则 ?
2

? y1 ? y 2 ? 4 m ? y1 ? y 2 ? ? 4

,????????????????6 分

又因为 l AS : y ?

y1 x1

x , l AT : y ?

? ? y ? y ? x ,所以 M ? ? 1, ? 1 ? , N ? ?1, ? 2 ? , x1 ? x2 ? x2 ? ?

y2

又因为 y1 ? ? ?

? ?

y2 ? y2 y y y ?4 4 ? y1 ? 2 ? y1 ? ? 1 2 ? 0 ,??????????????9 分 ? ? y1 ? 2 x2 ? y2 x2 y2 y2 4
,所以 NS 平行于 x 轴;

所以 y1 ? ?

y2 x2

同理可证 MT 平行于 x 轴; 又因为 M 、 T 、 N 、 S 四点不共线,所以 MT / / NS .???????????????????11 分 (Ⅲ)同解法一. ???????????????????14 分


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