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人教版高中数学必修第一册同步讲义第一章 1.2 子集 全集 补集

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1.2 子集、全集、补集 ①课文三点专讲 重点: (1)子集、全集、补集的概念.集合之间包含与相等的含义,识别给定集合的子集; 在具 体情境中,了解全集与空集的含义 (2)注意区别区分 ?,{?}, {0} 间的关系. {?} 表示以空集, ? 为元素的单元素集合,当 把 ? 视为集合时, ? ? {?} 成立;当把 ? 视为元素时, ? ? {?} 也成立. 0 表示元素, {0} 表 示以 0 为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意. 难点: (1)弄清元素与子集、属于与包含之间的区别. 区分 ? 与 ? 符号: ? 表示元素与集合之间的关系,如:1 ? N ,?1 ? N ; ? 表示集合与集 合之间的关系,如 N ? R, ? ? R 等. (2) 有限集合的子集个数 : n 个元素的集合有 2 个子集 ; 有 2 ? 1 个非空子集 ; 有 n n 2 n ? 1 个真子集;有 2 n ? 2 个非空真子集. 考点: (1)求集合的所有子集或子集的个数.此类问题有两种类型:其一是无条件地写出已知 集合的所有子集或所有真子集,其解题关键是正确地进行分类,分别写出含有 1 个元素,2 个 元素,……,n 个元素的子集;其二是有条件地写出适合某条件的所有子集. (2)集合与集合之间的关系考察 .此类问题常以两个集合间元素的属性及它们属性间 的共同点及不同的点 ,来判断元素与集合间的从属关系 ,然后由子集定义得出其间的包含 关系.几何图形可以直观形象地提示集合间的包含关系. (3)补集的求解问题.此类问题需要弄清全集 U 及集合 A 的元素构成,掌握补集的性质 及应用,如 痧 U ? U A ? ? A, 痧 U U ? ?, U ? ? U. ②练功篇 典型试题分析 例 1.满足 ? ? ? A ? {a, b, c, d} 的集合 A 是什么?共有多少个? 分析: ? ? ? A ? {a, b, c, d} 的意义是集合 A 为非空集合,且 A ? {a, b, c, d }. A 可知,集合 A 必为非空集合;又由 A ? {a, b, c, d} 可知,此题即为求集 解析:由 ? ? ? 合 {a, b, c, d } 的所有非空子集。满足条件的集合 A 有 {a},{b}, {c},{d }, {a, b}, {a, c}, {a, d},{b, c},{b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} , {b, c, d} ,{a, b, c, d } 共十五个非空 子集. 4 (此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式 2 ? 1 进行检验, 2 ? 1 ? 15 .) n 例 2. 设 y 表 示 方 程 a 2x ? b ? x0 ?, c U ? { y | a, b, c ? R, a ? 0} , . {x2 ? 2 x ? 1 ? 0, x2 ? x ? 2 ? 0} A ? {y ?U | b 2 ? 4ac ? 0} , 则 有 C U A ? CU A. 分析:集合中的元素是关于一元二次方程, 其全集为所有的二次项系数不为 0 的一元二 次方程, 集合 A 代表也所有的具有两个不等实数根的一元二次方程, 理解了这一信息,此题 即可从二次方程的根的存在性角度求解了. 解析: 由已知可得集合 A 为所有的具有两个不等实数根的一元二次方程的集合, 故其 补集为无实数根或有两个相等实数根的一元二次方程, 即 C U A ? { y ?U | b ? 4ac ? 0} . 2 方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根 x ? 1 , 而方程 x ? x ? 2 ? 0 无实数根 , 故 2 2 得 {x ? 2 x ? 1 ? 0, x ? x ? 2 ? 0} ? 2 2 ? CU A . 基础知识巩固 1. 四个关系式(1) ? ? {0} (2) 0 ??0? (3) ???0? (4) ? ? ?0? ,其中表述正确 的是 ( ) A. (1) (2) B. (1) (3) C. (1) (4) D. (2) (4) 2.设 U 为全集,集合 M、N ? U,且 M ? N ,则下列各式成立的是 ? ( ) A. 痧 UM ? U N B. ? U M ? M C. 痧 UM ? U N D. ? U M ? N 3. 已 知 全 集 U = ? x ?2 ? x ? ,1 A ? ? x ?2 ? x ? 1? , B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0 , ) C. ? U B ? C D. ? U A ? B ) D.4 ? ? C ? ? x ?2 ? x ? 1? ,则 ( A. C ? A B. C ? ?U A 4.已知集合 A ? ?1,2,3,4? ,那么 A 的真子集的个数是( A.15 B.16 C. 3 5. 设集合 M ? x x ? 12a ? 8b, a, b ? Z , N ? y y ? 20c ? 16d , c, d ? Z ,则( A. M ? N B. M ? N C. M ? N D.以上结论都不对 ? ? ? ? ) 6.已知全集 U={1,3,5,7}, 集合 M={1, | a ? 5 |} , M ? U 且 CuM={5,7},则 a 的值为( ) A. 2 或-8 B. -8 或- 2 C. -2 或 8 ( D. 2 或 8 ) B. {( x, y) | y 2 ? ? x 2 , x, y ? R} . 7. 下列四个集合中,是空集的是 A. {x | x ? 3 ? 3} C. {x | x 2 ? 0} D. {x | x 2 ? x ? 1 ? 0} 8.集合 M={1,2,(1,2)}有______个子集,它们是 9

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