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椭圆与双曲线的重要性质归纳总结

时间:2019-05-14

1.

椭圆与双曲线的对偶性质
椭 圆

AB 是椭圆

x2 y 2 b2 ( x , y ) 的不平行于对称轴的弦, M 为 AB 的中点,则 , k ? k ? ? ? ? 1 0 0 OM AB a2 a 2 b2
b 2 x0 。 a 2 y0

点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除 去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

即 K AB ? ?

若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ? 2 ? 2 ? 2 . ? ? 1 a2 b a b a 2 b2

若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 ? ? 1 a 2 b2 a b a 2 b2

双曲线
点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除

x0 x y0 y x2 y 2 若P ? 2 ? 1. 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 0 的椭圆的切线方程是 a b a2 b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 直线方程是

x y ? 2 ? 1外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的 2 a b

2

2

去长轴的两个端点. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1 PF2 ? ? ,则椭 a 2 b2
2

圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b tan 椭圆

?
2

.

x0 x y0 y x2 y2 若P ? 2 ?1. 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上,则过 P 0 的双曲线的切线方程是 a b a2 b
若P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的焦半径公式: a 2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2, a 2 b2

| MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).
设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交 相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

则切点弦 P1P2 的直线方程是

x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b

双曲线

x2 y2 ? ?1 (a>0,b>o) 的左右焦点分别为 F1, F 2, 点 P 为双曲线上任意一点 ?F1 PF2 ? ? , a 2 b2
2

则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b co t 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 双曲线

?
2

.

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) a 2 b2

当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a .

当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两 a 2 b2
b 2 x0 (常数). a 2 y0

点,则直线 BC 有定向且 k BC ?

若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , ?PF1F2 ? ? , a 2 b2

?PF2 F1 ? ? ,则
设椭圆

AB 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a> 0,b > 0 )的不平行于对称轴的弦, M ( x0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 a 2 b2
b 2 x0 b 2 x0 K ? ,即 。 AB a 2 y0 a 2 y0

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△ a 2 b2
sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a

K OM ? K AB ?

PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

若P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a 2 b2

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 时, a 2 b2

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线

可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2

P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b

2a ? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a ? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
椭 圆

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组

( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 ? ?1 与 直 线 A x ? a2 b2

B? y

0 ? C有 公 共 点 的 充 要 条 件 是

A2 a 2 ? B 2b 2 ? ( Ax0 ? By0 ? C )2 .
已知椭圆





x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) ,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且 OP ? OQ .(1) a 2 b2

x2 y 2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 a b
时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 S ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ; ( 3 ) 的最小值是 . ?OPQ a2 ? b2 a2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2
过椭圆

x2 y2 ? ? 1. a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分 a 2 b2

线交 x 轴于 P,则

| PF | e ? . | MN | 2

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
已知椭圆

x y ? 2 ? 1( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 2 a b
a 2 ? b2 a 2 ? b2 . ? x0 ? a a

2

2

高三数学备课组

于点 P ( x0 , 0) , 则 ?

双曲线
双曲线

设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? , a 2 b2
2b 2 ? 2 .(2) S?PF1F2 ? b tan . 1 ? cos ? 2

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是

则(1) | PF1 || PF2 |?

设 A 、 B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 )的长轴两端点, P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2
2ab 2 | cos ? | .(2) a 2 ? c 2 co s 2 ?

x2 y2 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 a b
B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ? ?

?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c 、 e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有 (1) | PA |?

b 2 x0 (常数). a 2 y0

tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ?

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

若 P 为双曲线

x2 y2 ? ?1 (a>0,b>0) 右 (或左) 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1 F2 ? ? , a 2 b2

?PF2 F1 ? ? ,则
设双曲线

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆 a b
相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与 切线垂直. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, a 2 b2
sin ? c ? ? e. ?(sin ? ? sin ? ) a

在△PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,则有

若双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤ 2 ? 1 a 2 b2

时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. P 为双曲 线

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上任一 点 ,F1,F2 为 二 焦点 , A 为双曲 线内一 定点 ,则 a 2 b2

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.

双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a 2 b2
2 2 2

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直.

A a ?B b ?C .
2 2

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 已知双曲线

x y ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . ? 2 ? 1 (b>a >0) 2 a b

2

2

直. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

(1)

4a 2b 2 a 2b 2 1 1 1 1 2 2 S ( ; 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ( ; 3 ) 的最小值是 . ? ? ? ?OPQ b2 ? a 2 b2 ? a 2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 x y ? 2 ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂 2 a b | PF | e ? . | MN | 2
2 2

过双曲线

双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

直平分线交 x 轴于 P,则

已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相 a 2 b2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 或 x0 ? ? . a a

交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ?

x2 y2 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记 ?F1 PF2 ? ? , a b
则(1) | PF1 || PF2 |?

2b2 ? 2 .(2) S?PF1F2 ? b cot . 1 ? cos ? 2

设 A、B 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2
2ab 2 | cos ? | . | a 2 ? c 2co s 2 ? |

?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |?

(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ?PAB ?
2

2a 2 b 2 cot ? . b2 ? a 2

已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与 a 2 b2

双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点.


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