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10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合_图文

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栏目索引 高考数学(北京专用) 专题十 10.1 计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 栏目索引 考点清单 考点 考向基础 1.两个计数原理的联系与区别 原理 联系 区别一 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 计数原理、排列与组合 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 每类方法都能独立完成这件事,它是独立的、 每一步得到的只是中间结果,任何一 一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种 方法就可完成这件事 步都不能独立完成这件事,只有各步 骤都完成了,才能完成这件事 各步之间是相互依存的,并且既不能 重复也不能遗漏 区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 栏目索引 2.排列与排列数 (1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的① 顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个 数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作? . 注意 易混淆排列与排列数,排列是一个具体的排法,不是数而是一件 事,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数. 3.组合与组合数 (1)组合:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. 栏目索引 (2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个 Cn . 数,叫做A n .从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作? m m 注意 易混淆排列与组合问题,区分的关键是看选出的元素是否与顺序 有关,排列问题与顺序有关,组合问题与顺序无关. 4.排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)? =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=② ? m An n! (n ? m)! ; (n,m∈N ,且m≤n). * (2)? =? =? C m n m An m Am n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) m! =③ n! m!(n ? m)! ? 性质 C =n!. (1)0!=1;? 0 n m A =④ C (2)? ? n n n C Cn C ;? =? +? n?m n m n ?1 m 栏目索引 考向突破 考向 计数原理、排列与组合的综合应用 例 (2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数 字,一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 2 1 1 C3 ? C3 ? C5 A3 解析 含有数字0的没有重复数字的四位数共有? ? 3 =540个,不含 2 2 C5 C3 ? A4 有数字0的没有重复数字的四位数共有? ? 4 =720个,故一共可以组成 540+720=1 260个没有重复数字的四位数. 答案 1 260 易错警示 数字排成数时,容易出错的地方: (1)数字是否可以重复; (2)数字0不能排首位. 栏目索引 方法1 排列问题的常见解法 方法技巧 (1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算. (2)优先法:优先安排特殊元素或特殊位置. (3)捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆 绑元素的内部排列. (4)插空法:对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的 元素插在前面元素排列的空档中. (5)先整体后局部:“小集团”排列问题中,先整体后局部. (6)定序问题除法处理:对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除 以定序元素的全排列. (7)间接法:正难则反,等价转化的方法. 栏目索引 例1 有4名男生、5名女生,全体排成一行,下列情形中各有多少种不同 的排法? (1)甲不在中间也不在两端; (2)甲、乙两人必须排在两端; (3)男女相间. 栏目索引 A8 解析 (1)解法一(元素分析法):先排甲有6种排法,再排其余人有? 8 种排 8 A 法,故共有6· ? 8 =241 920种排法. 3 解法二(位置分析法):中间和两端有? 种排法,包括甲在内的其余6人有 A8 3 6 A8 A6 A ? · ? 6 种排法,故共有? 6 =336×720=241 920种排法. 解法三(等机会法):9个人全排列有? 种排法,因为甲排在每一个位置的 A9 9 机会都是均等的,则甲不在中间及两端的排法总数是? ×? =241 920. A9 9 8 8 解法四:间接法.? -3· ? =6A ? =241 920(种). A9 A 9 8 8 6 9 (2)先排甲、乙,再排其余7人. 7 共有? · ? =10 080种排法. A2 2 A7 5 (3)插空法.先排4名男生,有? 种排法 , 再将 5 名女生插空 , 有 ? 种排法,故 A A4 5 4 5 =2 880种排法. 共有? · ? A A4 5 4 栏目索引 方法2 组合问题的常见解法 组合问题的常见类型及处理方法: (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元 素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下 的元素中选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须重视 “至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法 和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接 法处理. 栏目索引 例2 现有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出 比赛.下列情形中各有多少种选法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)队长中至少有1人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员. 栏目索引 解析 C3 (1)第一步:选3名男运动员,有? 6 种选法. C2 第二步:选2名女运动员,有? 4 种选法. 2 故共有? ? C3 C

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