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【课堂新坐标】高中数学人教版必修二练习:4.1.2圆的一般方程(含答案解析)

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学业分层测评(二十二) (建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.方程 2x2+2y2-4x+8y+10=0 表示的图形是( A.一个点 C.一条直线 B.一个圆 D.不存在 ) 【解析】 方程 2x2+2y2-4x+8y+10=0, 可化为 x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,故方程表示点(1,-2). 【答案】 A 2.方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示的圆过原点且圆心在直线 y=x 上的条件是( A.D=E=0,F≠0 C.D=E≠0,F≠0 B.D=F=0,E≠0 D.D=E≠0,F=0 ) 【解析】 ∵圆过原点,∴F=0,又圆心在 y=x 上,∴D=E≠0. 【答案】 D 1 3.由方程 x2+y2+x+(m-1)y+ m2=0 所确定的圆中,最大面积是( 2 A. 3 π 2 3 B. π 4 D.不存在 ) C.3π 【解析】 所给圆的半径为 r= 1+?m-1?2-2m2 1 = -?m+1?2+3. 2 2 所以当 m=-1 时, 半径 r 取最大值 【答案】 B 4.若圆 x2+y2-2x-4y=0 的圆心到直线 x-y+a=0 的距离为 A.-2 或 2 C.2 或 0 1 3 B. 或 2 2 D.-2 或 0 2 ,则 a 的值为( 2 ) 3 3 ,此时最大面积是 π. 2 4 【解析】 把圆 x2+y2-2x-4y=0 化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,故此圆圆心为 (1,2),圆心到直线 x-y+a=0 的距离为 【答案】 C 2 2 |1-2+a| ,则 = ,解得 a=2,或 a=0.故选 C. 2 2 2 5.(2016· 惠州高一检测)若 Rt△ ABC 的斜边的两端点 A,B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0), 则直角顶点 C 的轨迹方程为( A.x2+y2=25(y≠0) B.x2+y2=25 C.(x-2)2+y2=25(y≠0) D.(x-2)2+y2=25 【解析】 线段 AB 的中点为(2,0),因为△ ABC 为直角三角形,C 为直角顶点,所以 C 1 到点(2,0)的距离为 |AB|=5,所以点 C(x,y)满足 ?x-2?2+y2=5(y≠0), 2 即(x-2)2+y2=25(y≠0). 【答案】 C 二、填空题 6.已知圆 C:x2+y2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的对 称点都在圆 C 上,则 a=________. 【导学号:09960136】 a? a? ? 【解析】 由题意可得圆 C 的圆心? ?-1,-2?在直线 x-y+2=0 上,将?-1,-2?代 a? 入直线方程得-1-? ?-2?+2=0,解得 a=-2. 【答案】 -2 7.当动点 P 在圆 x2+y2=2 上运动时,它与定点 A(3,1)连线中点 Q 的轨迹方程为 ________. 【解析】 设 Q(x,y),P(a,b),由中点坐标公式得 3 , ?x=a+ 2 ? b+1 ?y= 2 , ?a=2x-3, ? 所以? ? ?b=2y-1. ) 点 P(2x-3,2y-1)满足圆 x2+y2=2 的方程,所以(2x-3)2+(2y-1)2=2, 3?2 ? 1?2 1 化简得? ?x-2? +?y-2? =2,即为点 Q 的轨迹方程. 3?2 ? 1?2 1 【答案】 ? ?x-2? +?y-2? =2 三、解答题 8.(2016· 吉林高一检测)已知圆 C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线 x+y-1=0 上, 且圆心在第二象限,半径为 2,求圆的一般方程. D E? 【解】 圆心 C? ?- 2 ,- 2?, 因为圆心在直线 x+y-1=0 上, D E 所以- - -1=0,即 D+E=-2, 2 2 ① ② D2+E2-12 又 r= = 2,所以 D2+E2=20, 2 ? ? ?D=2, ?D=-4, 由①②可得? 或? ?E=-4 ?E=2. ? ? D 又圆心在第二象限,所以- <0,即 D>0, 2 ?D=2, ? 所以? 所以圆的一般方程为: ?E=-4, ? x2+y2+2x-4y+3=0. 9.设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作?MONP,求 点 P 的轨迹方程. 【解】 x y? 如图,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为? ?2,2?,线段 MN 的中点坐标为 ?x0-3,y0+4?. 2 ? ? 2 x x0-3 y y0+4 因为平行四边形的对角线互相平分,故 = , = , 2 2 2 2 ?x0=x+3, ? 则有? 即 N(x+3,y-4). ? ?y0=y-4, 又点 N 在圆 x2+y2=4 上,故(x+3)2+(y-4)2=4. 因此,点 P 的轨迹为圆,其轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4, 9 12? ? 21 28? 但应除去两点? ?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?. [自我挑战] 10.若圆 x2+y2-4x+2y+m=0 与 y 轴交于 A、B 两点,且∠ACB=90° (其中 C 为已知 圆的圆心),则实数 m 等于( ) 【导学号:09960137】 A.1 C.0 B.-3 D.2 【解析】 设 A(0,y1),B(0,y2),在圆方程中令 x=0 得 y2+2y+m=0,y1,y2 即为该 方程的两根, Δ=4-4m>0, ? ? 由根与系数的关系及判别式得?y1+y2=-2, ? y2=m, ?y1· 又由∠ACB=90° ,C(2,-1),知 kAC· kBC=-1, 即 y1+1 y2+1 · =-1, -2 -2 即 y1y2+(y1+y2)+1=-4, 代入上面的结果得 m-2+1=-4, ∴m=-3,符合 m<1 的条件. 【答案】 B

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