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【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1 第2课时 演绎推理课件 新人教A版选修1-2_图文

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第二章
推理与证明

第二章
2.1 合情推理与演绎推理
第2课时 演绎推理

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

自主预习学案

? 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体 会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本 模式,并能运用它们进行一些简单推理. ? 通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之 间的联系和差异.

? 重点:演绎推理的含义及演绎推理规则. ? 难点:演绎推理的应用.

? 演绎推理 ? 思维导航 ? 日常生活中我们经常接触这样的推理形式: “所有金属都导电,因为铁是金属,所以铁 导电”,它是合情推理吗?这种推理形式正 确吗?

? 新知导学 ? 1.演绎推理 某个特殊 ? 从_______________ 出发,推出__________ 情况 一般性的原理 下的结论,我们把这种推理称为演绎推理,简言之, 一般到特殊的推理. 演绎推理是由____________ ? 2.三段论 ? “三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 一般原理 ? (1)大前提——已知的__________ ; 特殊情况 ? (2)小前提——所研究的__________ ; ? (3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的 判断 . _______

? ? ? ? ?

其一般推理形式为 大前提:M是P. 小前提:S是M. S是P 结 论:________. 利用集合知识说明“三段论”:若集合M的所有元素都具有 性质P,S是M的一个子集,那么 S中所有元素也都具有性质P ________________________. ? 3.在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要 结论 前提是真实的,推理的形式是正确的,那么________ 必定 是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具,而合情 不一定 推理的结论_________ 正确.

? 牛刀小试 ? 1.“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P),某奇 数(S)是9的倍数(M),故某奇数(S)是3的倍数 (P).”上述推理( ) ? A.完全正确 ? B.推理形式不正确 ? C.错误,因为大小前提不一致 ? D.错误,因为大前提错误 ? [答案] A

? ? ? ? ? ?

2.演绎推理是( ) A.部分到整体,个别到一般的推理 B.特殊到特殊的推理 C.一般到特殊的推理 D.一般到一般的推理 [答案] C

? ? ? ? ? ? ? ?

3.给出下列结论: ①演绎推理的特征为,前提为真时,结论一定为真; ②演绎推理的特征为,前提为真时,结论可能为真; ③由合情推理得到的结论一定为真; ④演绎推理和合情推理都可以用于证明; ⑤合情推理不能用于证明,演绎推理可用于证明. 其中正确结论的序号为________. [答案] ①⑤

? 4.判断下列推理是否正确?为什么? ? “因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大 前提),而A、B、C为空间三点(小前提),所 以过A、B、C三点只能确定一个平面(结 论).” ? [解析] 不正确,因为大前提中的“三点”不 共线,而小前提中的“三点”没有不共线的 限制条件.

典例探究学案

指出下列推理中的大前提,小前提、结论.

? 演绎推理的基本形式——三段 论

(1)一次函数是单调函数, 函数 y=2x-1 是一次函数, 所以 y=2x-1 是单调函数; (2)∵∠AOD 与∠BOC 是对顶角,∴∠AOD=∠BOC; (3)711 能被 3 整除.

? [分析] 在使用三段论推理的过程中,有时为 了简便,略去大前提或小前提,分析推理过 程时,要明确其大前提、小前提是什么.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

[解析] (1)大前提:一次函数都是单调函数; 小前提:函数y=2x-1是一次函数; 结论:y=2x-1是单调函数. (2)大前提,对顶角相等 小前提,∠AOD与∠BOC是对顶角, 结论:∠AOD=∠BOC. (3)大前提:各位数字的和能被3整除的整数,能被3整除 小前提:711的各位数字的和能被3整除 结论711能被3整除.

? [方法规律总结] 1.分析演绎推理的构成时,要正确区分大 前提、小前提、结论,省略大前提的要补出来. ? 2.判断演绎推理是否正确的方法 ? (1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理,只有由一般到 特殊的推理才是演绎推理,这是最易出错的地方; ? (2)看大前提是否正确,大前提往往是定义、定理、性质等, 注意其中有无前提条件; ? (3)看小前提是否正确,注意小前提必须在大前提范围之内; ? (4)看推理过程是否正确,即看由大前提,小前提得到的结 论是否正确.

? (1)判断下面推理是否正确?为什么? ? ∵奇数3,5,7,11是质数,9是奇数,∴9是质 数. ? (2)将下列推理写成“三段论”的形式: ? ①向量是既有大小又有方向的量,故零向量 也有大小和方向; ? ②矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以 正方形的对角线相等.

? [解析] (1)错误.推理形式错误,演绎推理 是由一般到特殊的推理,3,5,7,11只是奇数的 一部分,是特殊事例. ? (2)①向量是既有大小又有方向的量,大前提 ? 零向量是向量,小前提 ? 所以零向量也有大小和方向.结论 ? ②每一个矩形的对角线相等,大前提 ? 正方形是矩形,小前提 ? 正方形的对角线相等.结论

? 三段论在证明几何问题中的应 用
已知在梯形 ABCD 中(如图), DC=DA, AD∥BC.

求证:AC 平分∠BCD.(用三段论证明)

[解析] ∵等腰三角形两底角相等,大前提 △ADC 是等腰三角形,∠1 和∠2 是两个底角,小前提 ∴∠1=∠2.结论 ∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,大前提 ∠1 和∠3 是平行线 AD、BC 被 AC 截得的内错角,小前提 ∴∠1=∠3.结论 ∵等于同一个角的两个角相等,大前提 ∠2=∠1,∠3=∠1,小前提 ∴∠2=∠3,即 AC 平分∠BCD.结论

? [方法规律总结] 应用演绎推理证明时,必须 确切知道每一步推理的依据(大前提),验证 条件是否满足(小前提),然后得出结论.

? 用三段论分析下题的证明过程. ? 如图,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点, ∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.

? ? ? ?

证明过程如下: ∵∠BFD=∠A,∴FD∥AE, 又∵DE∥BA,∴四边形AFDE是平行四边形, ∴ED=AF.

? [解析] 上述推理过程应用了三次三段论.第 一次省略大前提和小前提的部分内容;第二 次省略大前提并承前省了其中一组对边平行 的条件;第三次省略了大前提并承前省略了 小前提,其完整演绎推理过程如下: ? 因为同位角相等,两条直线平行,大前提 ? ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,小 前提 ? 所以FD∥AE.结论

? 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边 形,大前提 ? DE∥BA,且FD∥AE,小前提 ? 所以四边形AFDE为平行四边形.结论 ? 因为平行四边形的对边相等,大前提 ? ED和AF为平行四边形AFDE的对边,小前提 ? 所以ED=AF.结论

? 演绎推理在代数问题中的应用
1 证明 f(x)=x2在(0,+∞)上为减函数.

[分析] 解答本题所依据的大前提是“在区间(a,b)内,若 1 f′(x)<0,则 y=f(x)在(a,b)内是减函数.”小前提是“f(x)=x2 在(0,+∞)上满足 f′(x)<0”. 写解题过程的关键环节就是验证 f′(x)<0 在(0,+∞)上成 立.

[解析] ∵f

? 1 ?′ 2 ? ? ′(x)= x2 =-x3, ? ?

又 x∈(0,+∞),∴f ′(x)<0. ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.

? [方法规律总结] 在几何、代数证题过程中, 如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁 琐,也不必要.因此实际证题中,那些公认 的简单事实,已知的公理、定理等大前提条 件可以省略,那些前面证得的结论也可省略, 但必须要保证证题过程的严密规范.

a 已知函数 f(x)=x+bx,其中 a>0,b>0,x∈(0,+∞),确 定 f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性. [解析] 设 0<x1<x2,则 ?a ? ?a ? f(x1)-f(x2)=?x +bx1?-?x +bx2? ? 1 ? ? 2 ? ? a ? =(x2-x1)?x x -b?, ? 1 2 ?

a 当 0<x1<x2≤ b时,则 a a x2-x1>0,0<x1x2<b,x x >b, 1 2

∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),
? ∴f(x)在? ?0, ?

a? ? 上是减函数. b? ? a b时,则

当 x 2 >x1 ≥

a a x2-x1>0,x1x2>b,x x <b, 1 2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),
? ∴f(x)在? ? ? ? a ? 上是增函数. b,+∞? ?

(2013· 郑州高二检测 ) 已知定义域为 [0,1] 的函数 f(x)同时满足以下三个条件: ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若“当 x1≥0,x2≥0 且 x1+x2≤1 时,有 f(x1+x2)≥f(x1) +f(x2)成立”,则称 f(x)为“友谊函数”.

? (1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值. ? (2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函 数”?并给出理由. ? (3)已知f(x)为“友谊函数”,且0≤x1<x2≤1,求证: f(x1)≤f(x2). ? [解题思路探究] 第一步,审题. ? 审条件,挖掘解题信息. ? ①定义域[0,1],在研究函数过程中不能超出这个范 围; ? ②“友谊函数”新定义包含三个条件,尤其条件③ 需严格证明后才能确定.

? 审结论,明确解题目标. ? 第(1)问已知f(x)为友谊函数,求f(0)可用赋值法求解; ? 第(2)问给出f(x)解析式和定义区间,判断f(x)是否为 友谊函数,需紧扣定义验证f(x)是否满足三个条件. ? 第(3)问要证f(x1)≤f(x2),需依据条件③进行变换,注 意条件①在变形中的应用. ? 第二步,建联系,确定解题步骤. ? 先用赋值法求第(1)问,再依次验证(2)中函数满足友 谊函数的三个条件,最后,利用恒等变换技巧借助 条件①③推证第(3)问. ? 第三步,规范解答.

? ? ? ? ? ? ? ?

[解析] (1)取x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0), 又由f(0)≥0,得f(0)=0. (2)显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足①g(x)≥0; ②g(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1, 则有g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)] =2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)] =(2x1-1)(2x2-1)≥0.

? ? ? ?

故g(x)=2x-1满足条件①②③, 所以g(x)=2x-1为“友谊函数”. (3)因为0≤x1<x2≤1,则0<x2-x1≤1, 所以f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+ f(x1)≥f(x1).

不要张冠李戴 如图所示,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证∠ACD>∠BCD.

? [错解] 在△ABC中,因为AC>BC,CD⊥AB,所以AD> BD,所以∠ACD>∠BCD. ? [辨析] 错误的原因在于虽然运用的大前提正确,即在同一 个三角形中,大边对大角,但AD与BD并不是在同一个三角 形内的两条边,即小前提不成立,所以推理过程错误. ? [正解] 因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠BDC=90°, ? 所以∠A+ACD=∠B+∠BCD=90°, ? 在△ABC中,AC>BC,∴∠B>∠A, ? ∴∠ACD>∠BCD.


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