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3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学(理):专题4.2+等差数列与等比数列(解析版)

时间:2017-06-29


2017 年高考备考之 3 年高考 2 年模拟 1 年原创

【三年高考】 1. 【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列 ?an ? 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? ( (A)100 【答案】C (B)99 (C)98 (D)97 )

2. 【2016 年高考四川理数】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,则该 公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30) ( A)2018 年 (B)2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 【答案】B 【解析】设第 n 年的研发投资资金为 an , a1 ? 130 ,则 an ? 130 ?1.12
n?1

)

,由题意,需

an ? 130 ?1.12n?1 ? 200 ,解得 n ? 5 ,故从 2019 年该公司全年的投入的研发资金超过 200
万,选 B. 3. 【2016 年高考北京理数】已知 {an } 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 6 ,a3 ? a5 ? 0 , 则 S6 = _______.. 【答案】6 【解析】∵ {an } 是等差数列,∴ a3 ? a5 ? 2a4 ? 0 , a4 ? 0 , a4 ? a1 ? 3d ? ?6 , d ? ?2 , ∴ S6 ? 6a1 ? 15d ? 6 ? 6 ? 15 ? (?2) ? 6 ,故填:6.

4. 【2016 高考新课标 1 卷】设等比数列 ?an ? 满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2 …an 的最大值 为 【答案】 64 .

2 5. 【2016 高考江苏卷】已知 {an } 是等差数列,{Sn } 是其前项和.若 a1 ? a2 ? ?3,S5 =10 ,则 a 9 的

值是

.

【答案】 20. 【解析】由 S5 ? 10 得 a3 ? 2 ,因此 2 ? 2d ? (2 ? d)2 ? ?3 ? d ? 3, a9 ? 2 ? 3 ? 6 ? 20. 6. 【2015 高考重庆,理 2】在等差数列 ?an ? 中,若 a2 =4, a4 =2,则 a6 =( A、-1 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得 a6 ? 2a4 ? a2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ,选 B. 7. 【2015 高考安徽, 理 14】 已知数列 {an } 是递增的等比数列, 则数列 {an } a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? 8 , 的前项和等于
n 【答案】 2 ? 1

) D、6

B、0

C、1

.

【解析】由题意, ?

?a1 ? a4 ? 9 ,解得 a1 ? 1, a4 ? 8 或者 a1 ? 8, a4 ? 1 ,而数列 {an } 是 ?a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 8
a4 ? 8 ,所以 q ? 2 ,因而数列 {an } 的前项和 a1

递增的等比数列,所以 a1 ? 1, a4 ? 8 ,即 q3 ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 2n Sn ? ? ? 2n ? 1 . 1? q 1? 2
8.【2015 江苏高考,20】设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d ( d ? 0) 的等差数列 (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次成等比数列;
a a a a

(2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a22 , a33 , a44 依次成等比数列,并说明理由;
n n? k n? 2 k n?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次成等比数列,并说明理由. , a2 , a3 , a4

(3)假设存在 a1 , d 及正整数, ,使得 a1 , a2

n

n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列,则
2 ? n ?2 k ?

a1n ? a1 ? 2d ?

n?2k

? ? a1 ? d ?
2 n?k ?

2? n ? k ?

,且 ? a1 ? d ?

n?k

? a1 ? 3d ?

n ?3k

? ? a1 ? 2d ?

.分别在两个

等式的两边同除以 a1 ?

及 a1 ?

2 n?2k ?

,并令 t ?
n?k

d 1 (t ? ? ,t ? 0) ,则 a1 3
n ?3k

?1 ? 2t ?

n?2k

? ?1 ? t ?

2? n ? k ?

,且 ?1 ? t ?

?1 ? 3t ?

? ?1 ? 2t ?

2? n ? 2 k ?

.将上述两个等式两边取

对数,得 ? n ? 2k ? ln ?1 ? 2t ? ? 2 ? n ? k ? ln ?1 ? t ? ,且

? n ? k ? ln ?1? t ? ? ? n ? 3k ? ln ?1? 3t ? ? 2 ? n ? 2k ? ln ?1? 2t ? .化简得
2k ? ?ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ? 2 ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 2t ? ? ? ,且 3k ? ?ln ?1 ? 3t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? ? n? ?3ln ?1 ? t ? ? ln ?1 ? 3t ? ? ? .再将这两式相除,化简得

ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1 ? 2t ? ln ?1 ? t ? ? 4ln ?1 ? 3t ? ln ?1 ? t ? ( ?? ) .令 g ?t ? ? 4ln ?1? 3t ? ln ?1? t ? ? ln ?1? 3t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3ln ?1? 2t ? ln ?1 ? t ? ,则
2 2 2 2 ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ?? ? ? .令 g? ?t ? ? ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?

? ? t ? ? ?1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 3 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? 3 ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ,则
2 2 2

?? ?t ? ? 6 ? ??1 ? 3t ? ln ?1 ? 3t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln ?1 ? 2t ? ? ?1 ? t ? ln ?1 ? t ? ? ? .令 ?1 ?t ? ? ?? ?t ? ,则

? ?t ? ,则 ?1? ? t ? ? 6 ? ?3ln ?1 ? 3t ? ? 4 ln ?1 ? 2t ? ? ln ?1 ? t ? ? ? .令 ?2 ?t ? ? ?1
? ?t ? ? ?2 12 ?0. ?1 ? t ??1 ? 2t ??1 ? 3t ?
? 1 ? 3 ? ?

? ?t ? ? 0 , ?2 ?1 ? t ? ,? ? t ? ,g ? t ? 在 ? ? , 0 ? 由 g ? 0? ? ? ? 0? ? ?1 ? 0? ? ?2 ? 0? ? 0 , 知 ?2 ?t ? ,
和 ? 0, ??? 上均单调.故 g ? t ? 只有唯一零点 t ? 0 ,即方程( ?? )只有唯一解 t ? 0 ,故假设 不成立.所以不存在 a1 , d 及正整数, ,使得 a1 , a2 9.【2015 高考天津,理 18】已知数列 {an } 满足
n n?k

, a3

n?2k

, a4

n ?3k

依次构成等比数列.

an?2 ? qan (q为实数,且q ? 1),n ? N *, a1 ? 1, a2 ? 2 ,且 a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5 成等差数
列. (I)求的值和 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

log 2 a2 n , n ? N * ,求数列 {bn } 的前项和. a2 n?1

(II) 由(I)得 bn ?

log 2 a2 n n ? n ?1 ,设数列 ?bn ? 的前项和为 Sn ,则 a2 n ?1 2

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 , Sn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? n 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 n 1 ? 2n n 2 n 两式相减得 Sn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? ? n ? 2 ? n ? n ,整理得 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 Sn ? 4 ? n ?1 2 n?2 所以数列 ?bn ? 的前项和为 4 ? n ?1 , n ? N * . 2
10. 【2014 高考广东卷理第 13 题】 若等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e 5 , 则 ln a1 ? ln a2 ? ?? ? ln a20 ? 【答案】 50 . 【解析】由题意知 a10a11 ? a9a12 ? 2a10a11 ? 2e5 ,所以 a10 a11 ? e5 , 因此 a1 ? a2 ??? a20 ? ? a1a20 ? ? ? a2 ? a19 ? ??? ? a10 a11 ? ? ? a10 a11 ? ? e5
10

.

????? ? ?????? ?
10 对

? ?

10

? e50 ,

因此 ln a1 ? ln a2 ???? ln a20 ? ln ? a1 ? a2 ??? a20 ? ? ln e

50

? 50 .

11. 【2014 高考安徽卷理第 12 题】数列 {an } 是等差数列,若 a1 ? 1, a3 ? 3, a5 的等比数列,则 q ? ________. 【答案】

? 5 构成公比为

12. 【2014 高考四川第 16 题】设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , bn) 在函数 f ( x) ? 2 的图
x

象上( n ? N ).
*

(1)若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x ) 的图象上,求数列 {an } 的前项和 Sn ; (2) 若 a1 ? 1 , 函数 f ( x ) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在轴上的截距为 2 ? 的前项和 Tn . 【解析】据题设可得 bn ? 2 n .(1) b7 ? 2 7 ? 2?2?6d ,?4 ? 2?2?6d ? 2?2?7 d , d ? 2 ,所以
a a

1 a , 求数列 { n } ln 2 bn

Sn ? ?2n ? n(n ?1) ? n(n ? 3) .

【三年高考命题回顾】 纵观前三年各地高考试题, 对等差数列和等比数列的考查,主要以等差数列和等比数列为素 材,围绕着等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式和前 n 项和公式的运用设计试题, 而等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性,是高考必考内容,着重考查等差、等 比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法,题型不仅有选择题、填空题、还有解答题, 题目难度中等. 【2017 年高考复习建议与高考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出 ,对于等差与等比数列的综合考查也频频出现. 考查的目的 在于测试考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上.在解答题中,有的 考查等差数列、等比数列通项公式和求和知识,属于中档题,有的与函数、不等式、解析几 何等知识结合考查,难度较大.等差数列和等比数列的判定,可能会在解答题中的第一问, 或者渗透在解题过程中.等差数列、等比数列的通项公式,以小题形式或者在解答题中考查, 是解决等差数列和等比数列的瓶颈,要熟练掌握.等差数列和等比数列性质的运用,主要以选 择或者填空的形式考查,难度较低.对等差数列、等比数列前 n 项和的考查,直接考查或者 通过转化为等差数列、等比数列后的考查.在 2017 年对数列的复习,除了加强“三基”训练, 同时要紧密注意与函数、不等式、解析几何结合的解答题. 故预测 2017 年高考可能以等差数列与等比数列的基本性质为主要考查点,重点考查学生基本 运算能力以及转化与化归能力,试题难度中等.

【2017 年高考考点定位】 高考对等差数列和等比数列的考查有四种主要形式:一是考察等差数列和等比数列的判定, 主要以定义为主;二是考察通项公式,直接求或者转化为等差数列和等比数列后再求;三是

对等差数列和等比数列的性质的考查;第四是求和. 【考点 1】等差数列和等比数列的判定 【备考知识梳理】 1.等差数列的判定: ① an ? an?1 ? d ( d 为常数) ;② 2an ? an?1 ? an?1 ;③ an ? pn ? q ( p, q 为常数) ;④ .其中用来证明方法的有①②. Sn ? an2 ? bn ( a , b 为常数) 2.等比数列的判定:①

an ;② an2 ? an?1an?1 ( an ? 0 ) ;③ ? q ( an ? 0, q ? 0 ) an ?1

an ? abn (a ? 0, b ? 0) ;

?a ? bn ? a, (a ? 0, b ? 0, b ? 1), ④ Sn ? ? 其中用来证明方法的有①②. ?na, (a ? 0)
【规律方法技巧】 判断等差数列和等差数列的判断方法: 判断等差数列和等比数列,可以先计算特殊的几项,观察其特征,归纳出等差数列或者等比 数列的结论,证明应该首先考虑其通项公式,利用定义或者等差中项、等比中项来证明,利 用通项公式和前 n 项和只是作为判断方法,而不是证明方法,把对数列特征的判定渗透在解 题过程中,可以帮助拓展思维和理思路. 【考点针对训练】 1. 【2016 年安徽淮北高三考前质量检测】如图,已知点 D 为 ?ABC 的边 BC 上一点,

??? ? ???? ???? ? 1 ???? ? ???? ? BD ? 3DC , En (n ? N? ) 为边 AC 的一列点,满足 En A ? an ?1 En B ? (3an ? 2) En D ,其中 4
实数列 {an } 中 an ? 0, a1 ? 1,则 {an } 的通项公式为( A.3 ? 2
n ?1

) D.2 ? 3
n ?1

?2

B.2 ? 1
n

n C.3 ? 2

?1

【答案】D 【解析】因为 BD ? 3DC ,所以 EnC ?

???? ? ???? ? ? 2 ???? ? 1 ???? En B ? En D ,设 mEnC ? En A ,因为 3 3 ???? ? 1 ???? ? ???? ? 1 1 2 En A ? an ?1 En B ? (3an ? 2) En D ,所以 m ? an ?1 , m ? ?(3an ? 2) ,所以 4 3 4 3 1 1 1 an ?1 ? (3an ? 2) ,所以 an ?1 ? ? (3an ? 2) ,所以 an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? 2 ,所 4 2 2
??? ? ????
???? ?

以数列 ?an ?1 ? 表示首项为,公比为的等比数列,所以 an ?1 ? 2 ? 3n?1 ,故选 D. 2. 【2016 届石家庄市高三二模】设 S n 是数列 ?a n ?的前项和,且 a1 ? 1, an?1 ? ?Sn Sn?1 ,则使
2 nSn 取得最大值时的值为( 2 1 ? 10S n



A. 【答案】D

B.

C.

D.

【考点 2】等差数列和等比数列的通项公式与前 n 项和 【备考知识梳理】

1.等差数列的通项公式:

, an ? am ? (n ? m)d an ? a 1) d 1 ?( n ?

2.等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 , an ? amqn?m 3.等差数列前 n 项和公式:Sn= na1 ?

n(n ? 1) d 2

Sn=

n( a1 ? a n ) 2

4.等比数列前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 当 q≠1 时,Sn=

(是关于 n 的正比例式);

a1 (1 ? q n ) 1? q

Sn=

a1 ? a n q 1? q

5.当公差 d ? 0 时,等差数列递增;当 d ? 0 时,等差数列递减;当 d ? 0 时,等差数列为常 数列 6. 对于等比数列:an=a1qn 1.可用指数函数的性质来理解. 当 a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列是递增数列; 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0,q>1 时,等比数列{an}是递减数列. 当 q=1 时,是一个常数列. 当 q<0 时,无法判断数列的单调性,它是一个摆动数列. 【规律方法技巧】 1. 等差数列和等比数列通项公式有两个,一个表示的是项 an 与首项 a1 关系


an ? a1 ? (n ?1)d 和 an ? a1qn?1 ;另一个表示的是数列任意两项的关系 an ? am ? (n ? m)d 和
an ? amqn?m ,有时候选择后组,可以很快求出答案.
2. 满足 an ? pn ? q 或者 Sn ? an2 ? bn 的数列为等差数列;满足 an ? abn (a ? 0, b ? 0) 或者

?a ? bn ? a, (a ? 0, b ? 0, b ? 1), 的数列为等比数列. Sn ? ? ?na, (a ? 0)
3. 等差(或等比)数列的通项公式、前 n 项和公式中有五个元素 a1、d (或) 、 、an 、Sn ,“知 三求二”是等差(等比)的基本题型,通过解方程的方法达到解题的目的. 【考点针对训练】 1. 【2016 年河南郑州高三第二次联考】设数列 ?an ?满足 a1 ? 1, a2 ? 3 ,且

2nan ? (n ?1)an?1 ? (n ? 1)an?1 ,则 a20 的值是( )

A. 4

1 5

B. 4

2 5

C. 4

3 5

D. 4

4 5

【答案】D.

2. 【2016 届淮南市高三.二模】 已知数列 {an } 满足: an?1 ? 2an ? 0 ,且 a2 ? 2 ,则 {an } 前 10 项和等于( A. ) B. ?

1 ? 210 3

1 ? 210 3

C. 2 ? 1
10

D. 1 ? 2

10

【答案】B 【解析】 由题意得,an?1 ? 2an ? 0 , 则

an?1 即数列为公比为 ?2 的等比数列, 又 a2 ? 2 , ? ?2 , an

所以 a1 ? ?1 ,所以 {an } 前 10 项和等于 S10 ? 【考点 3】等差数列和等比数列的性质 【备考知识梳理】

a1 (1 ? q10 ) 1 ? 210 ,故选 B. ?? 1? q 3

1 等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq 2 等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? a p ? aq 3 等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m ? Sm、S3m ? S2m、S4m ? S3m 、 ……仍 为等差数列 4 等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m ? Sm、S3m ? S2m、S4m ? S3m ……仍为 等比数列(当 m 为偶数且公比为-1 的情况除外) 5 两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列 6 两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、 ?

? an ? ? 1 ? ? 、 ? ? 仍为等比数列 ? bn ? ? b n ?

7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 8 等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列

9.等差中项公式:A=

a?b 2

(有唯一的值) (ab>0,有两个值)

10. 等比中项公式:G= ? ab 【规律方法技巧】

1. 等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念,通项公式,前 n 项和公式的引申.应用等 差等比数列的性质解题,往往可以回避求其首项和公差或公比,使问题得到整体地解决,能 够在运算时达到运算灵活,方便快捷的目的. 2. 在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 3. “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目 标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往 能取得与“巧用性质”解题相同的效果. 【考点针对训练】 1. 【2016 届河北省衡水中学高三下练习五】在等比数列 ?an ? 中,若

3 5 1 1 1 1 a2 a5 ? ? , a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ,则 ? ? ? ? ( 4 4 a2 a3 a4 a5
A. 【答案】C B. ?



3 4

C. ?

5 3

D. ?

4 3

2. 【2016 届福建福州三中高三最后模拟】在等比数列 {an } 中, a3 ? a5 ? 20, a4 ? 8 ,则

a2 ? a6 ? ( )
A.18 【答案】D 【解析】设等比数列 {an } 的公比为,因为 a3 ? a5 ? 20, a4 ? 8 ,所以 B.24 C.32 D.34

a4 a 1 1 ? a4 q ? 20, ? 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ? q ? 或;若 q ? ,则 a2 ? a6 ? 4 ? a4 q 2 ? 34 ;若 2 q 2 q2
q ? 2 ,则 a2 ? a6 ?
【应试技巧点拨】 1.等差、等比数列的判定与证明方法: (1)定义法: an?1 ? an ? d ( d 为常数)? {an } 是等差数列; 等比数列; (2)利用中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N )? {an } 是等差数列; an?1 ? an an?2
?

a4 ? a4 q 2 ? 34 ,故选 D. 2 q

an ?1 ? q (为非零常数)? {an } 是 an

2

( n ? N ? )? {an } 是等比数列(注意等比数列的 an ? 0 , q ? 0 ); (3)通项公式法: an ? pn ? q ( p, q 为常数)? {an } 是等差数列; an ? cqn ( c , q 为非零常数)?

{an } 是等比数列;
(4)前项和公式法:Sn ? An2 ? Bn ( A, B 为常数)? {an } 是等差数列;Sn ? mqn ? m ( m 为常 数, q ? 0 )? {an } 是等比数列; (5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列,只需用 a1 , a2 , a3 验证即可. 2.等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含 a1 , d (或), n, an 与 Sn 这五个量,如果已知 其中的三个,就可以求其余的两个.其中 a1 , d (或)是两个基本量,所以等差数列与等比数列 的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程 组,通过解方程组求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现. 易错提示] 等差(比)数列的基本运算中, 容易出现的问题主要有两个方面: 一是忽视题中的条 件限制,如公差与公比的符号、大小等,导致增解;二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性 质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量. 3.等差数列前项和的最值问题 对于等差数列前项和的最值问题,取决于首项和公差的正负即: a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最 大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最小值.常用下面两个方法去解决: (1)若已知 Sn ,可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ;

(2)若已知 an ,则 Sn 最值时的值( n ? N ? )可如下确定 ? 4.利用等比数列求和公式注意的问题

? an ? 0 ? an ? 0 或? . ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

在利用等比数列前 n 项和公式求和时,如果公比未知,且需要利用求和公式列方程时,一定 要对公比分 q ? 1和q ? 1 两种情况进行讨论.

1. 【2016 届邯郸市一中高三十研】已知等比数列 ?an ? 的前项和为 Sn , a1 ? a3 ?

5 ,且 2

a2 ? a4 ?
A. 4
n ?1

5 S ,则 n ? ( 4 an
B. 4 ? 1
n



C. 2

n ?1

D. 2 ? 1
n

【答案】D

2. 【2016 年九江市三模】 设 Sn 是等差数列 ?an ?的前项和, 若 S1009 ? S1007 ? 2 ,则 S 2 0 1 6 ?( ) A. 1008 【答案】C 【解析】由 S1009 ? S1007 ? 2 ,得 a1008 ?a1009 ? 2 ,∴ B. 1009 C. 2016 D. 2017

2016 ? (a1 ? a2016 ) 2016 ? (a1008 ? a1009 ) ? ? 2016 . 2 2 3. 【2016 届高三●江西师大附中、鹰潭一中联考】设 {an } 为等差数列,公差 d=2, S n 为其前 S 2016 ?
n 项和,若 S10 ? S11 ,则 a1 ? ( ) A.18 【答案】B 【解析】由 S10 ? S11 得 a11 ? 0 ,即 a1 ? 10d ? 0 .由于 d ? ?2 ,所以 a1 ? 20 .故 B 正确. 4. 【2016 河南省八市重点高中质检】5 个数依次组成等比数列,且公比为-2,则其中奇数项 B.20 C.22 D.24

和与偶数项和的比值为( A. ?

) C. ?

21 20

B.-2

21 10

D. ?

21 5

【答案】C

? 2a, 4a, ? 8a, 16a, 【解析】由题意可设这 5 个数分别为 a, 故奇数项和与偶数项和的比值为
a ? 4a ? 16a 21 ? ? .故选 C ?2 a ? 8 a 10
5. 【2016 河北省石家庄市高三二模】设 S n 为等差数列 ?a n ?的前项和,若 a1 ? 1 ,公差

d ? 2, Sn?1 ? Sn ? 15 ,则的值为(
A. 【答案】C B.

) C. D.

? 6. 【2016 年安庆市高三二模】数列 ?an ? 满足: an?1 ? ?an ?1 ( n ? Ν , ? ? R 且 ? ? 0 ),

若数列 ?an ?1 ? 是等比数列,则 ? 的值等于( A. 【答案】D B. ? 1

) C.

1 2 2

D.

【解析】由 an?1 ? ?an ?1 ,得 an ?1 ? 1 ? ? an ? 2 ? ? (an ? 以

?

) .由于数列 {an ?1} 是等比数列,所

2

?

? 1,

得 ? ? 2 .故选 D. 7. 【2016 年河南六校高三联考】已知正项数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,若 ?an ? 和 差数列,且公差相等,则 a6 ? ( A. )

? S ? 都是等
n

11 4

B.

3 2

C.

7 2

D.1

【答案】A. 【解析】 由题意得, Sn ?

na1 ?

n(n ? 1) d 2 d d? n ? (a1 ? )n ,又∵ { Sn } 是等差数列, 2 2 2

? 1 d ? d? d? ? ? 1 5 11 ? 2 2 ?? 且公差相同,∴ ? ,∴ a6 ? a1 ? 5d ? ? ? ,∴故选 A. ? 4 2 4 ?a ? d ? 0 ?a ? 1 1 1 ? ? ? 4 ? 2
8. 【河南商丘市高 2016 年高三三模】在等差数列 ?an ?中,首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 ,若

ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a7 ,则 k ? (
A. 22 【答案】A B. 23 C. 24

) D. 25

【解析】 ak ? a1 ? ? k ?1? d ? ? k ?1? d , a1 ? a2 ? a3 ???? ? a7 ? 7a4 ? 7a1 ? 21d ? 21d ,所以

k ? 1 ? 21, k ? 22 .
9. 【2016 年江西九江市高三三模】已知数列 ?an ?满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3, n ? N ? . (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 3?是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?nan ?的前项和 Sn .

10. 【2016 届广东省华南师大附中高三 5 月测试】 已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn , 公差为, 且 a1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

2 ( n ? ?? ) ,求数列 ?bn ? 的前项和 ?n . an ? an ?1

11. 【2015 届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】各项均为正数的等差数列 {an } 中,

a4a9 ? 36 ,则前 12 项和 S12 的最小值为(
(A) 78 【答案】D 【解析】因为 S12 ? (B) 48 (C) 60 (D) 72



12(a1 ? a12 ) ? 6(a4 ? a9 ) ? 12 a4 a9 ? 72 ,当且仅当 a4 ? a9 ? 6 时取等 2

号,所以 S12 的最小值为 72 ,选 D. 12.【2015 届北京市西城区高三二模】数列 {an } 为等差数列,满足 a2 ? a4 ? ??? ? a20 ? 10 ,则 数列 {an } 前 21 项的和等于( )

21 A. 2
【答案】B.

B.21

C.42

D.84

【解析】∵等差数列 {an } ,∴ a2 ? a20 ? a4 ? a18 ? ??? ? a10 ? a12 ,∴ a2 ? a20 ? 2 , ∴ S 21 ?

(a1 ? a21 ) ? 21 (a2 ? a20 ) ? 21 ? ? 21 ,故选 B. 2 2

13.【2015 届福建省泉州五中高三模拟】已知数列 {an } 为递增等比数列,其前项和为 Sn .若

a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an?1 ? 5an (n ? 2) ,则 S5 ?
A.

31 16

B.

31 32

C. 31

D. 15

【答案】C

【解析】由于数列 ?a n ?是递增的等比数列, an ? an?1 ? q , an?1 ? an?1 ? q 2 ,代入得

2an?1 ? q 2 ? 2an?1 ? 5an?1 ? q ,整理得 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,数列 ?an ?是递增的等比数列? q ? 2 ,
? S5 ? a1 1 ? 25 ? 31 ,故答案为 C. 1? 2

?

?

14.【2015 届浙江省余姚市高三第三次模拟】设等差数列 {an } 的前项和为 Sn ,且满足

S2014 ? 0, S2015 ? 0 ,对任意正整数,都有 | an |?| ak | ,则的值为(
A.1006 【答案】C B.1007 C.1008 D.1009

)

15.【2015 届山东省实验中学高三 6 月份模拟】数列 ?an ? 的前 n 项和记为

Sn , a1 ? 2, an?1 ? Sn ? n ,等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 9 ,又 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列.
(Ⅰ)求

?an ? , ?bn ? 的通项公式;
1 1 1 4 ? 2 ? ??? ? 2 ? 2 5 b1 b2 bn

(Ⅱ)求证:当 n 2 时,

【解析】 (Ⅰ)由 an ?1 ? Sn ? n ,得 an ? Sn ?1 ? (n ? 1) (n ? 2) ,两式相减得

an ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? an ? 1 ,所以 an ?1 ? 2an ? 1 ,所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) (n ? 2)



又 a2 ? 3, 所以 an ? 1 ? 2n ? 2 (a2 ? 1) ? 2n , 从而 an ? 2n ? 1 (n ? 2) , 而 a1 ? 2 , 不符合上式, 所以 an ? ?

?2 ,

n ?1

n ?2 ? 1, n ? 2

,因为 {bn } 为等差数列,且前三项的和 T3 ? 9 ,所以 b2 ? 3 ,可设

b1 ? 3 ? d , b3 ? 3 ? d ,由于 a1 ? 2, a2 ? 3, a3 ? 7 ,于是 a1 ? b1 ? 5 ? d , a2 ? b2 ? 6, a3 ? b3 ? 10 ? d ,因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以

,所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 (5 ? d )(10 ? d ) ? 36 , d ? 2 或 d ? ?7 (舍) (Ⅱ)因为

1 1 1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ,所以,当 n ? 2 时 2 2 2 (2k ? 1) (2k ? 1) ? 1 2k (2k ? 2) 4 ? k ? 1 k ? bk

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 1 3 (2n ? 1)2 b1 b2 bn
1 5 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1? ? 1 ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 4 4 4 ? n? 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n ? 1 n ??
.

【一年原创真预测】 1.已知在等差数列 {an } 中,前项的和为 Sn , a2 = A.

3 ,且 S8 = 4S4 ,则 a6 = ( 2



13 2

B.

C. D.

11 2

【答案】D

【入选理由】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识,意在考查学生的分析 问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试题要求,故选此 题. 2.在等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 82 , a3 ? an?2 ? 81,且数列 {an } 的前项和 Sn ? 121,则此数 列的项数等于( A.4 【答案】B 【解析】 在等比数列 {an } 中有 a3 ? an?2 ? a1 ? an ? 81, 又 a1 ? an ? 82 , ∴? B.5 ) C.6 D.7

?a1 ? 1 ?a1 ? 81 或? . ?an ? 81 ?an ? 1

当 a1 ? 1, an ? 81时,S n ?

1 ? 81q ? 121,得 q ? 3 ,再由 an ? a1q n?1 得 81 ? 3n?1 ,解得 n ? 5 . 1? q

当 a1 ? 81 , an ? 1 时,同理可得 n ? 5 . 【入选理由】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式,等比数列的性质等基础知识,意

在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考 试题要求,故选此题. 3. 设公差不为零的等差数列 ?an ? 的前项和为 S n ,若 a4 ? 2(a2 ? a3 ) ,则

S7 ?( a4



A.

7 4

B.

14 5

C.7

D.14

【答案】C. 【解析】根据等差数列的性质, a4 ? 2(a2 ? a3 ) ? a1 ? 3d ? 2(a1 ? d ? a1 ? 2d ) ,化简得

7?6 S7 7 a1 ? 2 d 14d a1 ? ?d ,∴ ? ? ? 7 ,故选 C. a4 a1 ? 3d 2d
【入选理由】本题考查等差数列的通项公式及其前项和, ,等差数列的性质等基础知识,意在 考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试 题要求,故选此题. 4.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn?2 ? 4Sn ? 3 ,且 S3 ? 0 ,则 a2 的值为

_______.
【答案】 6

【入选理由】本题考查等比数列的通项公式及其前项和, ,等比数列的性质等基础知识,意在 考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符合高考试 题要求,故选此题. 5. 已知数列{ an }中, a1 ? a2 ? 1 , an ? 2 ? ? 和为 . 【答案】1123 【解析】由题知数列{ a2 n }是首项为 1,公比为 2 的等比数列,数列 {a2 n?1} 是首项为 1,公差

? ?an ? 2, n是奇数 (n ? N* ) ,则数列{ an }的前 20 项 ? ?2an , n是偶数

( 1 1 ? 210 ) 10 ? 9 ? 10 ?1 ? ? 2 =1123. 为 2 的等差数列,故数列{ an }的前 20 项和为 1? 2 2
【入选理由】本题主要考查等比数列、等差数列的定义与前 n 项和公式及分组求和等基础知 识,意在考查学生的分析问题解决问题的能力、以及运算求解能力.本题是一个常规题,符 合高考试题要求,故选此题. 6.已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? n(n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)若 bn = log2 (?an ? 1) ,求数列{

1 }的前 n 项和 Tn . bnbn ? 2

【入选理由】本题主要考查等比数列的概念、构造法求数列通项公式、裂项相消法求和等基 础知识, 意在考查学生的学生运算能力, 观察分析, 解决问题的能力, 以及转化与化归思想. 本 题考查知识基础,难度适中,故选此题. 7.已知数列 ?

?1? 1 ? 是等差数列,且 a2 a4 ? a2 a6 ? a4 a6 ? 1, a2 a4 a6 ? . 6 ? an ?

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;
? (Ⅱ)若 bn ? an an ?1 n ? N ,数列 ?bn ? 的前项和为 S n ,对于整数 m,恒有 Sn ? m 成立,

?

?

求 m 的最小值.

【入选理由】本题主要考查等差数列的通项公式、裂项相消法求和等基础知识,考查学生分 析问题、解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用数列 ?

?1? ? 是等差数列, 求出 ? an ?

公差和首项,再求出数列 ?

?1? ? 的通项公式,从而得出 ?an ? 的通项公式;第二问,将第一问 ? an ?

的结论代入 bn 中, 利用裂项相消法求和,求出 S n ,本题考查知识基础,难度适中,故选此 题. 8.已知数列 {an } 的前项和为 Sn ? n2 ? n ,数列 {bn } 为公比大于 1 的等比数列,且 b3 ? 4 ,

S3 ? 7 .
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? (cos n? ( ) a n ? 2)bn ,求数列 {cn } 的前项和 Tn . 【解析】 (1)对于数列 {an } :当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ; 当 n ? 2 时,

a n ? Sn ? Sn ?1 ? (n2 ? n) ? [(n ?1)2 ? (n ?1)] ? 2n ,当 n ? 1 时也满足此式. 所以 a n ? 2n .
?b3 ? b 1 q 2 ? 4, 2 ? ? ?q ? ? 3 对于数列 {bn } : 设其公比为 q(q ? 1 ) , 由已知条件得:? 解得 ? 3 b 1 (1 ? q ) S ? ? 7, 3 ? ? b ? 9 1? q ? 1 ?
或?

?q ? 2 ?b1 ? 1

又因为数列 {bn } 的公比大于 1,所以 ?

?q ? 2 ,从而得 bn ? 2n?1 . b ? 1 ?1
n? 1 n ?( ? 1) (n ? 1)2 n

n (2)由(1)得 cn ? (cosn ?)a nb n ?( ? 1) ( a n ?2 ) b n ?( ? 1) n (2n ?2)2

当为偶数时:

Tn ? ?2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ? 5 ? 24 ??????? ?n ? 2n?1 ? (n+1) ? 2n

? (? 2 ? 2 ? 3? 22)( + ? 4 ? 23 ? 5 ? 24)( + -6 ? 25 ? 8 ? 26 )+ ??????+[-n ? 2n-1 ? (n ? 1) ? 2n ] ? (? 2 ? 3? 2) ? 2+(? 4 ? 5 ? 2) ? 23 +(? 6 ? 7 ? 2) ? 25 + ??????+[ ? n ? (n+1) ? 2]? 2n?1
? 4 ? 2+6 ? 23 +8 ? 25 + ??????+(n+2) ? 2n?1
① ②

22 Tn ?

4 ? 23 +6 ? 25 +8 ? 27 + ??????+(n+2) ? 2n?1
3 5 n?1

① -②得: ?3Tn ? 4 ? 2+2 ? 2 +2 ? 2 + ??????+2 ?2

-(n ? 2) ?2 n?1
3 n?2 2

? 8+2 ? (23 +25 + ??????+2n?1 )-(n ? 2) ? 2n?1 ? 8+2 ?
8 ? 2n?3 ? 3n ? 2n ?1 , 3
所以 Tn ?

2 (1 ? 4 1? 4

)

-(n ? 2) ? 2n ?1 =

3n ? 2n ?1 ? 2n ?3 ? 8 9

【入选理由】本题主要考查由已知 Sn 求 an 、等比数列的基本运算与性质以及错位相减法求和 等,考查基本的运算能力以及转化与化归思想、函数与方程思想等.本题求和时需分类讨论, 从而求和,有一定的新意,故选此题.


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