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初高中数学衔接教材(学生)

时间:2018-07-01

初高中数学衔接教材

一:数与式 1. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? ab ? 2 b) ? 3 a? ; b 2 2 3 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b ? b) ? a? ; b 2 2 2 2 (3)三数和平方公式 (a ? b ? c ) ? a ?b ?c 2 ? ( a b? b c ?; )a c 3 3 2 2 3 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ; b 3 3 2 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? .b 2 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

例2

已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值.




1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3 )
2 2 2 2

1.填空: ) ;

); ).
( )

(a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 1 2 (4)若 x ? mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2

2.根式
一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方 的 式 子 称 为 无理式 . 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a 2 ? b2 等是无理式 , 而 2 x 2 ?
2 x ?1 , 2

x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式.
1.分母(子)有理化 2.二次根式 a2 的意义 a 2 ? a ? ? 例1
?a, a ? 0, ?? a, a ? 0.

将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ; (3) 4 x 6 y ( x ? 0) .

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) . .

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例 3 试比较两数的大小: .

1 2?

1和 1 11 ? 10 ;




(1)

1.填空:

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

3.分式
1.分式的意义 形如

A A A 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: B B B A A?M ? . B B?M

A A? M ? ; B B?M

a m?n? p 2.繁分式:像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p 5x ? 4 A B ? ? 例1 若 ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2

例 2 计算:

1 1 1 ? ?? ? ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10

练 习
1.填空题:对任意的正整数 n, 2.若

1 ? ( n(n ? 2)




2x ? y 2 x ? ,则 = ( x? y 3 y

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100
2

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二.因式分解
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应 了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法 例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

练习
一、填空题: 1、把下列各式分解因式: (1) x ? 5 x ? 6 ? ______________。
2
2

(2) x ? 5 x ? 6 ? ______________。
2
2

(3) x ? 5 x ? 6 ? ______________。 2、 x2 ? 4x ?

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? _________ 。

(4) x ? 5 x ? 6 ? ______________。 (6) x ? 11x ? 18 ? ____________。
2

3、若 x 2 ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?

? ? x ? 3?? x ?

?
,b ? 。

2.提取公因式法 例 2 分解因式: (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b?

(2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x

课堂练习:
一、填空题: 1、多项式 6 x y ? 2 xy ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。
2 2

2、 m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________。
2 2 2

3、 m?x ? y? ? n? y ? x? ? ?x ? y? ? ____________________。

4、 m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________。 5、 m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________。 6、 ? 13ab x ? 39a b x 分解因式得_____________________。
2 6 3 2 5

7.计算 99 ? 99 =
2

3:公式法
分解因式: (1) ? a 4 ? 16 2 2 (2) ?3x ? 2 y ? ? ?x ? y ? 课堂练习 2 2 2 2 3 3 一、 a ? 2ab ? b , a ? b , a ? b 的公因式是______________ 例3
二、把下列各式分解 1、 ? 9?m ? n? ? ?m ? n?
2 2

2、 3 x ?
2

1 3
2

3、 4 ? x 2 ? 4 x ? 4

?

?

2

4、 x ? 2 x ? 1
4

3

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4.分组分解法
例4 (1) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x

课堂练习:用分组分解法分解多项式 (1) x 2 ? y 2 ? a 2 ? b2 ? 2ax ? 2by

5.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、x2 , 则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例 5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 1;




多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 ( (C) x ? 3 y (D) x ? 5 y ) (B) x ? 3 y

1.选择题: (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式:

(1)x2+6x+8;

(2)8a3-b3;

(3)x2-2x-1;

4


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