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一道高考题的再探究

时间:2015-11-11


2 0 1 5 年第 8 期 

福 建 中学数 学 



而它 的验证恰巧需要很好 的利用第 ( 2 )问生 

j  

个问题还真不是一朝一夕 的事 ,需要反复打磨 ,   细 心 品味 .经过 研究 ,可将 第 ( 3 )问改 写为 :证 明 :  


成 的结 论 e  >   + 1 ,这 一 处理 可 以说 实现 了层层递  
进 ,无 缝对 接 ,解 题 也 是顺 势 而 为 ,直 达 终点 ,给  当  N + 时 ,1 +  +  +. . …+  
2   3   n  n 

.  

人 感 觉 一气 呵成 ,然 而 真 的像 看 到 的这 般 精彩 ? 事 
, . .1 、3  

筒证 由 ( 2 )中结论可知  >  + 1 , 令 =  
则e  >  + 1 :  
n   n  

,  
,  

实上 , 注意 到 要证 不等 式的右 侧表 达式 : I n  
( 3 e ) , .  

对 
qn  

、 / n  

其真数 而 言 :任意 n∈ N   ,( n + 1 )   <( 3 e )   是 显然 成立 
,  . 、   ,  . 、  

, 对 其 两边取 对 数得  >l n  
n  

的 ,也 即是 0 <  
( 3 e )  

<1 ,从而 l n  
( 3 e )  

< 0,而左 

由 此 可 得∑÷> l n ( n + 1 ) , 又由 柯西不 等式 可 得( 1 +  


侧 的算 式之和 显然 为正 数 ,所 以原 命题 也 自然成 立 ,  
由此可 看 出本 问 的原 解答 只 是 为 用上 一 问 的结 论而 

+ . . … +   )   <( 1 + 1 + . . … +1 ) ( 1 +   1 +. .


+  )  

1  

刻 意 为之 的一种 处 理 ,虽符 合 时 下 函数解 答 题命 题 
与 解 题要 领 的主 旨,但 因为 设 计 的 问题存 在 这 样 或 

1  



+  

… 叶 _ )


、 

’  

那 样 的硬 伤 ,留下 遗 憾 也是 在 所 难免 , 因此命 制好  

两者结 合可 得 要证命 题 成立 .  



道 高考题 的再探 究 

黄高 明  

福建省龙岩市新罗区教师进修学校 ( 3 6 5 4 0 0 )  
(I)试 估计 厨余 垃圾 投放 正确 的概 率 ;   ( Ⅱ)试 估计 生活垃圾 投放 错误 额概 率 ;   ( Ⅲ )假设 厨余 垃 圾在 “ 厨余 垃圾 ” 箱 、“ 可 回收  物” 箱 、“ 其他 垃 圾” 箱 的投放 量分 别为 a,b,c,其  中 a>0,   + b + C =6 0 0.当数据 a,b,c的方差 S  
最大 时 ,写 出 a,b,c 的值 ( 结论 不要 求证 明 ) ,并  求此时S 。 的值 .  

前 段 时 间 ,笔 者拜读 了  福 建 中学 数 学  2 0 1 4  

年第 7 、8期 合 刊第 4 4页 由厦 门一 中王 淼 生 、吴 卫  平 、庄 雪 露三 位 老 师合 作 撰 写 的论文  老 师 请 您  自己先研 究透 彻  后 ,深受启 发 .该 文对 2 0 1 2年 北 

京高考文科数学卷第 l 7 题第 ( I I I )问的解答提 出独  到见 解 和 多种 解 法 ,特 别 是 利 用空 间解 析 几 何 知识 
解答 ,真 是巧 妙 .钦佩 之 余 ,笔 者 想 到 , 中学 时期  最经 典 的函 数是 二 次 函数 ,学 生最 熟悉 的 函数 也是 

注S   一 !   ! 二   ! : ± !  二   2 : ± : :  
n 

二次函数 .受其启发 ,能不能用二次函数解决这个  问题 呢? 本文 将呈 现笔 者所 作 的尝试 .   1原题再现  ( 2 0 1 2年 高考 北京卷 ? 文 l 7 )近年来 ,某市 为  了促 进 生活 垃圾 的风 分类 处 理 ,将 生活垃 圾 分 为厨  余垃 圾 、 可 回收和 其他 垃 圾 三 类 ,并 分 别设 置 了相 
应 分垃 圾 箱 ,为调 查 居 民 生活垃 圾 分 类投 放 情 况 ,   现 随机抽 取 了该 市三 类垃圾 箱 中总计 1 0 0 0吨 生活 垃 
圾 ,数据 统 计如 下 ( 单位 :吨 ) :  
“ 厨余垃  “ 可 回收   “ 其他 垃 



其 中 

为 数据 x . ,  

,… … ,  

的平均 数 .  

2问题新解  下 面 给 出 利 用二 次 函数 知 识 求解 第 ( I I I ) 问 的 
过程 .  

因 为   : 半
所 以  2 :— ( a


: 2 o 0 ,  
2 0 0 ) 2 +( 0 ) 2 C - 2 0 0 ) 2   b 20 + (






















_ -



 

: ± 垒 : ± ! : 一 4 0 0 0 o
3  

. 

圾” 箱  厨余垃圾 
可 回 收 物  其 他 垃 圾 

物” 箱  l 0 O  
2 4 0   2 0  

圾” 箱  1 0 0  
3 0   6 0  

4 0 0  
3 0   2 0  

令 f( a ) :a   +6   + c 。.  
因 a>0 ,口 + b +c =6 0 0,   且依 题意 知 6 0 0 >b≥0,6 0 0>c ≥0。  

1 2  
故_ 厂 (   ) =a   + 6   十 c   =a   + 6   + ( 6 0 0 一 a 一 6 )  


福建中学数 学  
3 延伸 拓展 

2 0 1 5 年第 8 期 

2 [ a   +( 6 — 6 0 0 ) a + b   一 6 0 0 b + 1 8 0 0 0 0 】 ?  


若要 求 方差 最 小值 ,除 了利 用老 师 作 品 中提 到  的方 法外 ,也可 利用 二次 函数知识 来解 :   如图 1 所示 ,当 口 :— 6 0 0


所 以函数 , ( 口 ) 对 称轴 为  :下 6 0 0 - b
二 

3 0 0一   .  
Z 






因 a> 0, a + b + C =6 0 0,  

3 0 0 一 鱼,  

/ 

且 依题 意 知 6 0 0 > b  0, 6 0 0 >C ≥0,  
得0 <a   3 0 0.  

即 2   + 6 : 6 0 0 时 ,   厂   ) 有 盍 小 值 .  
又口 + b + C =6 0 0,所 以 a =C.同理 a :b,所 以  a = b=C =2 0 0时 ,方差取 S   最小值 0 .符 合 方 差 的  定义 和性 质 .  

所 以 当 a=6 0 0 时, f ( a 1 有最 大值 1 2 0 0 0 0 .  

即当 a =6 0 0, b :C =0时 ,  
方差 取 S   最 大值 8 0 0 0 0 .  

当然 ,欲 求方差 S   最 小值 ,还可 利 用柯 西 不等  式法 也可 轻松 获解 ,限于 篇幅 ,不再 赘 述 .  

此法简洁明了,学生易懂 .  

谈高三数学试 卷讲评课 的有效性 
陈 贤  林京 榕 

福建省 三 明市尤溪 县 第一 中学 ( 3 6 5 1 0 0 )  

试卷讲评具有总结经验、拓宽思路、揭示规律、   提高能力 的功能 .通过讲评测试 中存在的问题、帮  助 学 生纠 正错 误 ,巩 固知识 ;通 过讲 评 使 学 生和教   师 明 确 在 教 与 学 中 存 在 的 问 题 和 今 后 努 力 的 方  向 .笔者 认 为试 卷 讲评 课 要把 握 好课 前 准 备 、课 上 
要 求、 课后 弥补 三个环 节 .  

的沟 通反 馈 变得 方 便与 直 接 .只 有这 样 ,试 卷 讲 评  课 才会 更具有 互动 性、 针对性 和 实效性 .   1 . 2查 找错误 原 因  统 计 完学 生 的 出错 频率 后 ,下一 步 就 是查 找 每  题 错 误 的类 型和 根 源 .错 误类 型 不难 归纳 .错 误 根 

1课前准备  讲 评 试 卷 的 根 本 目 的不 是 给 学 生 一 个 标 准 答  案 ,而是 要 让 学 生从 这 次考 试 中找 到 自己在 前一 阶  段学 习中存在的问题 ,以便更好地为今后 的学习指  明方 向 .所 以试卷 讲 评课 讲什 么 ,怎 么讲 ,哪 些重 
点 讲 、 多讲 ,哪些 不 讲 或少 讲 ,所 有这 些 教 师都 要  做 到 心 中有 数 ,切 忌 面 面俱 到 ,逐 题讲 评 .这就 要  求教 师首 先对 试卷 作整体 分析 ,通 过“ 一 统、 二查 、  

源需要教师根据每题出现的典型错误揣摩学生的答  题思 路 .有 的学 生 出错 原 因和教 师 所主 观 臆 想 的原  因不相 吻合 ,教 师需要 调查 、访 谈学 生 的真实 想法 ,   要尽 可 能地 多 了解 学 生对 做 错题 的是 怎样 思考 的?   多问几个为什 么学生会在这道题 ( 这类题) 上出错?   找 出学 生在 理解 基本概 念 、基本 规律 上存在 的问题 ,   在 思 维 方 式上 存在 的缺 陷 ,哪 些是 因知识 性 失分 ,   哪些 是 因技 巧性 失分 ;哪些 是普 遍 现 象 ,哪 些是 个 
别现 象 ; 有没 有 出现具 有独 特 的创 新 思路 的解 法 . 教  师 也要 对教 学导 致 学 生产 生 的错误 进 行 反 思 .如 知 
识 的遗 漏 使学 生没有 形 成知 识 链 , 自己 习惯 给 学 生 

三归纳” 的环节来 了解学生的答题情况.   1 . 1统计错误频率  讲评 前 ,教 师首 先 要 了解 考试 类 型 、把 握 试卷  特 点 、分 析试 卷 内容 、统 计答 题 情 况 .统 计做 错 的  具体 同学是谁 、创造性地解答问题的是谁 ,还要细 
致 诊 断学 生 的解 答 过程 ,找 出错 误 的症 结 ,弄清 那  些 题 目错 得 较 多 ,错 在 哪 里 ,学 生 需 要 何 种 帮 助  等 .为 了获 得 更为 准 确深 入 的信 息 ,教 师 可 以编 制 


讲 的某 些 题 型 的解 题思 路 或许 不 够简 要 ;平 时偏 重 
于 算理 ,很 少板 书 计算 ;为 了课 上赶 时 间 ,板 书 随 

意性大等等 ,对这类错误的出现 ,教师除了在讲评  课 或今 后 的教 学 中吸取 教 训及 时弥补 外 ,还要 努 力 
完善 自己的教 学 .  

张 疑难 问题 统计 表 ,要求 每个 学 生把 习题 中做 错 

的题 目和有 疑 难 问题 的题 目统计 上来 ,使 得 师 生 间 

1 . 3归纳错误类型  每 次 阅卷都 会 发现 学 生 在答 题 过程 中 的 “ 常 见  病”和 “ 多发病” ,教师应综合归纳 出共同存在 的  


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