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必修4三角函数的图像与性质

时间:2016-12-08


§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
学习目标:1.能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点:运用“五点法”作图 学习难点:借助于三角函数线画 y=sinx 的图象 学习过程: 一、情境设置 遇到一个新的函数, 画出它的图象, 通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本 方法,那么,一般采用什么方法画图象? 二、探究研究 问题 1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分,分别画出对应角的正弦线.

.三、例题精讲 例 1:用“五点法”画下列函数的简图 (1) y=1+sinx ,x∈ ?0,2? ? (2) y=-cosx, x∈ ?0,2? ?

思考: (1)从函数图象变换的角度出发,由 y=sinx,x∈ ?0,2? ? 的图象怎样得到 y=1+sinx ,x∈ ?0,2? ? 的图像?由 y=cosx,x∈ ?0,2? ? 的图象怎样得到 y=-cosx, ,x∈ ?0,2? ? 的图像? 四、巩固练习

1、在[0,2 ? ]上,满足 sin x ? A. ?0, ? ? ? ? 6? ?
问题 2. 在相应坐标系内,在 x 轴表示 12 个角(实数表示) ,把单位圆中 12 个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点(x0,sinx0),把一系列点用光滑曲线连结起来,能得到什么? 问题 4. 观察所得函数的图象,五个点在确定形状是起关键作用,哪五个点?

1 的 x 取值范围是( 2
? ?6 3 ? ?

).

B. ? ? , 5? ?
? ?6 6 ? ?

C. ? ? , 2? ?

D. ? 5? , ? ? ? ? ? 6 ?

2、 用五点法作) y=1-cosx, x∈ ?0,2? ? 的图象.

问题 5. 如何作 y=sinx,x∈R 的图象(即正弦曲线)? 3、 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.

问题 6. 用诱导公式 cosx=________(用正弦式表示) ,y=cosx 的图象(即余弦曲线)怎样得到? 五、课堂小结 在区间 [0,2? ] 上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点 (平衡点).函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 1、观察正弦函数的图象,以下 4 个命题: (1)关于原点对称 (2)关于 x 轴对称 (3)关于 y 轴对称 (4)有无数条对称轴 其中正确的是 A、 (1) 、 (2) B、 (1) 、 (3) C、 (1) 、 (4) D、 (2) 、 (3) ( )

问题 7. 关键五个点

2、对于下列判断: (1)正弦函数曲线与函数 y ? cos(

(2)向左、右平移 2? 个单位后,图象都不变的函数一定是正弦函数; (3)直线 x ? ? (4)点 (?

3? ? x ) 的图象是同一曲线; 2

?
2

3? 是正弦函数图象的一条对称轴; 2

,0) 是余弦函数的一个对称中心.
A、 (1) B、 (2) C、 (3) D、 ( 4) 对称; 对称.

其中不正确的是





3、 (1) y ? sin x 的图象与 y ? ? sin x 的图象关于 (2) y ? cos x 的图象与 y ? ? cos x 的图象关于

4、(1)把余弦曲线向

平移

个单位就可以得到正弦曲线;

(2)把正弦曲线向

平移

个单位就可以得到余弦曲线.

5、画出 y ? 3 cos x ? 1 的简图,并说明它与余弦曲线的区别与联系.

七、课后作业 教材 P46 A 组 第 1 题

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性
学习目标:1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期. 学习重点:周期函数的定义,最小正周期的求法. 学习难点:周期函数的概念及应用. 学习过程: 一、情境设置 自然界存在许多周而复始的现象,如地球自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动,圆周运 动等.数学中从正弦函数,余弦函数的定义知,角 ? 的终边每转一周又会与原来的终边重合,也具有 周而复始的变化规律,为定量描述这种变化规律,引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、探究研究 问题 1:观察下列图表 x sinx - 2? 0 3? 2

变式训练: 1. ⑴求
f (x) ? cos(?2x)

⑵ g ( x) ? 2 sin(?

x ? ? ) 2 6

的周期

问题 5:观察以上周期的值与解析式中 x 的系数有何关系?

? Asin(?x ? ?)(? >0)的周期为 结论:函数 f(x)
四、巩固练习

1、求下列函数的周期: (1)函数 y ? 3sinx 的周期是___________________________. (2)函数 y ? 3 ? sinx 的周期是_________________________. (3)函数 y ? cos2x 的周期是___________________________.

-? 0

? 2

0 0

? 2

?

3? 2

2?

1

-1

1

0

-1

0

从中发现什么规律?是否具有周期性? 问题 1:.如何给周期函数下定义?

周期函数的定义
问题 2:判断下列问题: (1)对于函数 y=sinx x∈R 有 sin(
?
4 ?

?
2

) ? sin

?
4

成立,能说

? 2

是正弦函数 y=sinx 的周期?

(2) f ( x) ? x 2 是周期函数吗?为什么? (3)若 T 为 f ( x) 的周期,则对于非零整数 k , kT (k ? Z ) 也是 f ( x) 的周期吗?

1 ? 的周期是______________________. y ? 2cos( x - ) 2 6 (5).函数 y ? sin(? x ? x ) 的周期是________________________. 2 4

(4).函数

2.函数 y ? Asin(? x ? ? )或y ? Acos(? x ? ? ) 的周期与解析式中的____无关,其周期为_____. 3. 函数 f(x) ? sin (?x ?

?
4

)( ? ? 0) 的周期是

2? 则 ? =____________ 3

问题 3:一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?

4.若函数 f(x) 是以
问题 4:最小正周期的含义;求 f ( x) ? sin x, f ( x) ? cos x 的最小正周期?

? 为周期的函数,且 ? 17 f( ) ? 1则f( ? ) ? 2 3 6

5.画出函数 f(x) ? sinx 的图像并判断是不是周期函数?若是,则它的周期是多少?

三、例题精讲 例 1: 求下列函数的最小正周期: (1) f (x) ? cos2x ;
x ? (2) g ( x) ? 2 sin( 2 ? 6 )

五、小结反思

对周期函数概念的理解注意以下几个方面:
(1) f ( x ? T ) ? f ( x) 是定义域内的恒等式, 即对定义域内的每一个 x 值,x ? T 仍在定义域内且使等 式成立. (2)周期 T 是常数,且使函数值重复出现的自变量 x 的增加值.

(3)周期函数并不仅仅局限于三角函数,一般的周期是指它的最小正周期.

六、当堂测评:
1、设 a ? 0 ,则函数 y ? sin(ax ? 3) 的最小正周期为 A、 ( )

七、课后作业 教材 P46 A 组 第 3、10 题

? a

B、 ? |a|
4 3

C、

2? a

D、 2? |a| )

2、函数 f ( x) ? 2 cos( k? ? ? ) ? 1 的周期不大于 2,则正整数 k 的最小值是( A、13 B、12 C、11 D、10

3、求下列函数的最小正周期:

? ?x (1) y ? sin( ? ), T ? 3 2 ? (2) y ? cos(2 x? ? ), T ?
6 3

. . .

? ? 4、已知函数 y ? 2 sin( ?x ? ) 的最小正周期为 ,则 ? ?
3
5、求函数的周期: (1) y ? 1 cos x
2

周期为: 周期为: 周期为: 周期为:

. . . .

(2) y ? sin 3 x
4

(3) y ? 2 cos 4 x (4) y ? 3 sin 2 x
4

6、试画出函数 y=sin x 的图像,函数 y=sin x 是周期函数吗?如果是,则周期是多少?

7、已知函数 y ? ?3 sin(

k ? x ? ) ? 1, (k ? 0) ,求最小正整数 k ,使函数周期不大于 2; 3 6

x (1) y ? cos 3

(2) y ? 2 ? sin 2x

§1.4.3

正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性

练习 1: (1)若 y ? cos(?

x ) 呢? 3

(2)若 y ? 2? | sin 2x | 呢?

学习目标:1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用. 2.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题. 学习重点:三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点:求三角函数的单调区间,根据图象求值. 学习过程: 一、情境设置 在已学过的内容中,我们要研究一个函数,往往从哪些方面入手? 二、探究研究 问题 1.观察 y=sinx, y=cosx (x∈R)的图象,你能得到一些什么性质? 问题 2.分别列出 y=sinx, y=cosx (x∈R)的图象与性质

例 2:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小

? (1) sin( ? ? ) 与 sin( ? ) 10 18

17? (2) cos ( ? 23? ) 与 cos ( ? ) 5 5

函数
图象

y ? sin x

y ? cos x

练习 2:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小 (1) sin 2500 与 sin 2600 定义域 值域
17? (2) cos ( ? 23? ) 与 cos ( ? ) 5 5

最值

当x? 当x?

时, ymax = 时, ymin =

当x? 当x?

时, ymax = 时, ymin =

(3) cos5150 与 cos5300

(4) sin( ? 54? ) 与 sin( ?
7

63? ) 8

最小正周期

奇偶性 单调性

在 上,都是增函数; 在 上,都是减函数;

在 都是增函数; 在 都是减函数;

上, 上,

例 3:判断下列函数奇偶性 (1)f(x)=1-cosx

(2)g(x)=x-sinx

对称轴方程 对称中心 三、例题精讲 例 1:求下列函数的最大值及取得最大值时 x 的集合

练习 3:判断下列函数的奇偶性: ⑴

f ( x) ?| sin x | ? cos x :
3



⑵ f ( x) ? tan x ? x :



f ( x) ? x ? cos x :
.求 y ? sin(

.

5、函数 y ? ?

2 cosx, x ? ?0,2? ?,其增区间为 3

.减区间为

.

例4

1 ? x ? ) , x ? ?? 2? ,2? ?的单调增区间 2 3

五、小结反思: ⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地 反映出来,所以正、余弦函数的图象十分重要. ⑵结合图象解题是数学中常用的方法. 六、当堂测评: 1、设 k ? z ,则三角函数 y ? sin 2 x 的定义域是( )

练习 4: (1)求 y ? cos(2 x ? 3 ) , x ? ?0,2? ? 的单调增区间

?

A、 2k? ? x ? 2k? ? ?

B、 k? ? x ? k? ?

?
2

C、 2k? ? x ? 2k? ?


?
2

D、 k? ? x ? k? ? ?

2、在 [ ?? , ? ] 上是增函数,又是奇函数的是( A、 y ? sin

x 2

B、 y ? cos

1 x 2

C、 y ? ? sin

x 4

D、 y ? sin 2 x


3、 已知函数 y ? 1 ? cos x , 则其单调增区间是 (2)求 y ? sin(?2 x ? 3 ) 的单调增区间

; 单调减区间是

?

4、 求下列函数的单调增区间: (1) y ? 2 sin( ? 2 x)

?

4

(2)

y ? cos 2x

四、巩固练习
1、.函数 y=sinx,当 y ? 1 时自变量 x 的集合是_________________.
2

七、课后作业 教材 P46 A 组 第 2、4、5 题

2、.把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________
4 sin ? , 5

5 ? cos ? , 4

sin

32 ?, 5

cos

5 ? 12

3、.函数 y ? 2sin2x 的奇偶数性为( A.奇函数 B.偶函数

). D. 非奇非偶函数
).

C.既奇又偶函数

4、下列四个函数中,既是(0, ? ) 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是(

2

A. y ? sinx

B. y= sin2x

C.

y ? cosx

D. y ? cos2 x

(4)单调性
三、例题精讲 例 1:求 y ? tan(

§1.4.3 正切函数的图象与性质
学习目标:1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题. 2.能借助正切函数的图象探求其性质. 学习重点:运用三角函数的图象与性质解题 学习难点:正切函数的单调性 学习过程: 一、 情境设置

?

x ? ) 的定义域、周期和单调区间 2 3

?

变式训练: (1)求 y ? tan 3 x 的定义域、周期和单调区间

问题 1. 在单位圆中如何定义正切线的? 问题 2. 回忆 y ? sin x 图象的由来,你能通过正切线作 y ? tan x 二、探究研究 新知 1:正切曲线
? ? ?? x ? ? ? , ? 的图象吗? ? 2 2?

(2)、函数 y ? tan(ax ? A.

?
6

)(a ? 0) 的周期为(
C.

).

2? a

B.

2? a

? a

D.

? a

例 2、根据正切函数图象,写出满足下列条件的 x 的范围 ① tan x ? 0 ② tan x ? 0 ③ tan x ? 0 ④ tan x ? 3

四、巩固练习
1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调性为(
B.在每一个开区间 (?

).

A.在整个定义域上为增函数 问题 3. 观察 y ? tan x 的图象,你能得到 y ? tan x 的一些怎样性质? 新知 2:正切函数的性质 C.在整个定义域上为减函数 2、下列各式正确的是( A. tan(? 13 ? ) ? tan(? 17 ? )
4 5

?
2

? k? ,

?
2
2

? k? )(k ? Z ) 上为增函数

D.在每一个开区间 (? ? ? 2k? , ? ? 2k? )( k ? Z ) 上为增函数
2

). B. tan(? 13 ? ) ? tan(? 17 ? ) C. tan(? 13 ? ) ? tan(? 17 ? ) 4 5 4 5 D.大小关系不确定

(1)定义域 (2)值域 (3)最小正周期

3 、直线 y ? a (a 为常数 )与正切曲线 y ? tan ? x(? 为常数,且 ? ? 0) 相交的两相邻点间的距离为 ( ).

A. ?

B.

2? ?

C.

4、与函数 y ? tan(2 x ? A. x ?

?
4

? ?
? 8

D.与 a 值有关 ).

7、求函数 y ? tan( ?

x ? ) 的单调区间。 2 6

)的 图象不相交的一条直线是(
D. y ?

? 2

B. y ?

? 2

C. x ?

? 8

五、小结反思: (1)作正切曲线简图的方法: “三点两线”法,即 (0,0), ( ? 直线 x ? ?

8、确定函数 y ? tan(

?
3

? 2 x ) 的单调区间.

?

?
2

及x ?

?
2

,?1), ( ,1) 和 4 4

?

,然后根据周期性左右两边扩展.

(2)正切函数的定义域是 {x | x ? k? ?

?
2

, k ? z} ,所以它的递增区间为

(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

), k ? z

六、课后作业: 1、函数 y ? tan3?x 的最小正周期是( A、 )

1 3

B、

2、函数 y ? tan(

?
4

2 3

C、

6

?


D、

3

?
3? } 4

? x) 的定义域是(

A、{ x | x ? R 且 x ? ?

?
4

}

B、{ x | x ? R 且 x ?
4 ,k ? z}
).

C、{ x | x ? R 且 x ? k? ?

?

D、{ x | x ? R 且 x ? k? ?

3? ,k ? z } 4

3、下列函数不等式中正确的是( A. tan

4 3 2 3 ? ? tan ? B. tan ? ? tan ? 7 7 5 5 13 15 13 12 C. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) D. tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 7 8 4 5
4、在下列函数中,同时满足:①在 ? 0, A. y ? tan x
?

? ?

??

? 上递增;②以 2? 为周期;③是奇函数的是( 2?
C. y ? tan

).

B. y ? cos x
? ?

x 2

D. y ? ? tan x

5、函数 tan224 , sin 136 , cos310 的大小关系是(用不等号连接) : . 6、函数 y ?

tan x 的定义域是

.

§1.5.1 函数 y ? Asin(?x ? ?) 的图象与性质(1)
学习目标: 1.了解 y ? Asin(?x ? ?) 的实际意义,会用五点法画出函数 y ? Asin(?x ? ?) 的简图. 2.会对函数 y ? sin x 进行振幅变换,周期变换,相位变换,领会“由简单到复杂,从特殊到 一般”的化归思想. 学习重点:五点法画 y ? Asin(?x ? ?) 的简图和对函数 y ? sin x 的三种变换. 学习难点:函数 y ? sin x 的三种变换. 学习过程: 一、情境设置 1.物体作简谐运动时,位移 s 与时间 t 的关系为 s ? Asin(?x ? ?) ( A ? 0,? ? 0) ,其中振幅是 周期是 ,频率是 ,相位为 ,初相是 2. 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与 二、探究研究 1. 在同一坐标系中,画出 y ? sin x , y ? sin(x ?
?
4 ) , y ? sin(x ? ? ) 的简图.
4

问题 3. y ? sin 2 x, y ? sin

1 x 与 y ? sin x 的图象有什么关系? 2

结论 3: 一般地,函数 y ? sin?x(? ? 0, ? ? 1) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的横坐 , 标变为原来的 而得到的.

y ? sin x 有何关系?

?x ? ?) ( A ? 0,? ? 0) 的图像可由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变化得来? 问题 4.函数 y ? Asin(
例 1: 作函数y ? 3sin(2 x ?

?
3

)的简图 .

问题 1. y ? sin(x ?

?
4

)与

y ? sin x 的图象有什么关系?

结论 4:函数 y ? Asin(?x ? ?) ( A ? 0,? ? 0) 的图像,可由函数 y ? sin x 的图像用下面的步骤变化得到: 平 第一步 第三步 三、教学精讲 例 2: 叙述 第二步 第四步

结论 1:一般地,函数 y ? sin(x ? ?) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点向 移 个单位长度而得到的.
1 sin x 与 3

问题 2. y ? 3 sin x, y ?

y ? sin x 的图象有什么关系?

y ? sin x 到 y ? 2 sin(x ? ? ) 的变化过程.
4
1 2

例 3: 叙述 y ? sin x 到 y ? sin 2 x 的变化过程.

练习 1: ① y ? sin(x ?

?
3

) 向_______平移_______个单位得到

y ? sin x
3

? ② y ? sin(x ? ) 向_______平移_______个单位得到 y ? sin(x ? )

?

结论 2: 一般地,函数 y ? Asin x( A ? 0, A ? 1) 的图象可以看做将函数 y ? sin x 的图象上所有的点的纵坐 标变为原来的 而得到的.

3

③ y ? f (x) 向右平移

? 2

个单位得到 y ? sin(x ? ) ,求
4

?

f ( x)

例 4:求函数 y ? sin(2 x ? ) 的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象
6

?

六、自我测评:
x 1、将函数 y ? 2 sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到新的函数图象, 2 那么新函数的解析式为 ( )

A、 y ? 4 sin

x 2

B、 y ? sin

x 2

C、 y ? 2 sin

x 4

D、 y ? sin 2 x

2.把 y=sinx 的图象上各点向右平移

? 单位,再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大 3

到原来的 4 倍,则所得的图象的解析式是(

).

四、巩固练习 1、 把函数 f ( x ) ?

1 sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,而横坐标不变,可得 g ( x) 的 3
A、 1 sin x
9

A. y ? 4 sin( 1 x ? ? ) B. y ? 4 sin(2x ? ? ) C.y ? 4 sin(1 x ? ? ) D. y ? 4 sin(2x ? ? ) 3 2 3 3 2 3 ? ?x+?) 3.已知函数 y ? ?sin( ,在一个周期内,当 时,取得最大值 2,当 x?

图象,则 g ( x) ?

1 x B、 sin 3 3

C、 sin 3 x

1 3

D、 sin x





2.下列命题正确的是(

).
?
2 得y ? sinx 的图象

A. y ? cosx的图象向左平移 B. y ? sinx 的图象向右平移
?
2

12 7? 时取得最小值-2,那么( ). x? 12 ? 1 ? A. y ? 2sin(x ? ? ) B. y ? 2sin(2x? ? ) C. y ? 2sin(2x? 6 ) D. y ? 2 sin(x? 3 ) 2 6 3 ? 4. 将 函 数 y ? sin(?x) 的 图 象 向 右 平 移 个单位,所得到的函数图象的解析式是 3 ____________________;将函数 y ? cos(?2x) 的图象向左平移? 个单位,所得到的函数图象的解 6

得y ? cosx 的图象

析是____________________.
5、将函数 y ? 应的函数值域是

C. 当 ? <0 时, y ? sinx 向左平移 ? 个单位可得 y ? sin(x? ? ) 的图象

3 4 1 sin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,那么新图象对 4 3 2
,周期是 .

? D. y ? sin(2x ? )的图象由y ? sin2x 的图象向左平移 个单位得到 3 6
?

3.函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换而得到(
3

?

).

1 ? 6、函数 y ? sin( 3 x ? ) 的定义域是 5 3

,值域是
.



A.向右平移 B.向左平移

? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2

周期 ,振幅 ,频率 ,初相 7、用“五点法”列表作出下列函数一个周期的图象:

? 1 C. 向右平移 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

? (1) y ? cos( 2 x ? ) ; 4

2 ? (2) y ? 2 cos( x ? ) 3 3

D.向左平移

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3

五、小结反思: 平移变换 y ? sin(x ? ? ) 函数 y ? sin x 的图象 振幅变换 y ? A sin x 周期变换 y ? sin?x
y ? A sin( ?x ? ? )

§1.5.2 函数

y ? Asin(?x ? ?) 的图象与性质(2)

练习 1: 若函数 y ? Asin(?x ? ?)( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的最小值为-2, 周期为 求此函数的表达式。

2? 3

, 且它的图象过点 (0,?

2

) ,

学习目标: 1.熟练掌握由 y ? sin x 到 y ? Asin(?x ? ?) ? K 的图象的变换过程. 2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式. 学习重点: 图象的变换过程. 学习难点: 作出振幅变换,相位变换,周期变换相结合的图形,并求出解析式. 学习过程: 一、情境设置 函数 y ? 2 sin(2 x ?
?
3 ) ? 1 的图象可以由

y ? sin x 经过变换得到吗?
四、巩固练习

二、探究研究
? 在同一直角坐标系中用五点法作 y ? sin 2x 与 y ? sin(2 x ? ) 的一个周期图象.
3

? 1.函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象可看作是函数 y ? 3sin2x 的图象,经过如下平移得到的,其中正确的
3

是(

2

). ? A.向右平移 个单位
3

B.向左平移

? 个单位 3

C.向右平移

? 个单位 6

D.向左平移

? 个单位 6
3

? 2? ?x ? ? )(A>0,? >0,0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( , 2.已知函数 y ? Asin( , 2 )和( , ?2)
6

则这个函数的解析式为____________________. 3. 下列命题正确的是( ).
问题 1.它们两个图象的关系是什么?

A. y ? cosx的图象向左平移 B. y ? sinx 的图象向右平移
?
2

?
2

得y ? sinx 的图象

得y ? cosx 的图象

?x ? ? )(? ? 0, ? ? 0) 的图象和 y ? sin?x 的图象有怎样的关系。 问题 2:函数 y ? sin(

C. 当 ? <0 时, y ? sinx 向左平移 ? 个单位可得 y ? sin(x? ? ) 的图象

三、教学精讲 例 1: (1)将函数 移
? 3

y ? cos x 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的 3 倍,再将所得图象向左平

? ? D. y ? sin(2x ? )的图象由y ? sin2x 的图象向左平移 个单位得到
3

6

? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 4.已知函数 y ? Asin(
_. 个单位得到 y ? f (x) 的图象,则 f (x) ? __________

2? ,最小值是-2,且图象经过点 3

(2)把函数 y ? cos(3x ?

?
3


) 的图象向_____平移_______个单位可得到

y ? sin(?3x) 的图象

5? ,求这个函数的解析式. , 0) 9

例 2:已知函数 y ? Asin(?x ? ?)( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 图象的一个最高点(2,3)与这个最高点相邻的最低 点为(8,-3) ,求该函数的解析式.

五、小结反思 :

5.函数 y ? sin(2x ?

5? ) 的图象的对称轴方程为____________________. 2

y ? sin x

6.函数 f(x) ? 3sin(2x ? 5Q) 的图象关于 y 轴对称,则 Q 的最小值为________________.

?x ? ? ) ? k 的变换流程图. 到 y ? A sin(
? ? ?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象最高点为 ? ,3? ,由此最高点到相邻最低点 6、已知函数 y ? A sin( ?3 ?
? 的,图象与 x 轴的交点为 ? ? ,0 ? 。求此函数的一个表达式. ?2 ?

?

y ? sin x ? y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin( ?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin(?x ? ? ) ? k

?

六、自我测评:
1、把函数 y ? sin x 的图象向下平移 1 个单位,再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的 3 倍,然后 再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的 3 倍,最后再把所得的图象向左平移 象对应的函数是
x ? A、 y ? 3 sin( ? ) ?1 3 9

? 个单位,则所得图 3




3 9

x ? B、 y ? 3 sin( ? ) ? 3

? C、 y ? 3 sin(3x ? ) ? 1
3

? D、 y ? 3 sin(3x ? ) ? 3
9

2、要得到 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? sin( x ? ) 的图象
3

1 2

1 2

?

7、设函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? b( A ? 0, | ? |? ). 在同一周期内,当 x ? (
2? 3

?


x?

2

5? 7 时,y 有最大值为 ;当 3 3

11 ? 2 ,y 有最小值 ? 。求此函数解析式. 3 3

A、向左平移

? 3
3

B、向右平移

? 3

C、向左平移

2? 3

D、向右平移

? 3.函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换而得到(

).

A.向右平移 B.向左平移

? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 3 2

C. 向右平移 D.向左平移

? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

8、函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点和最低点横坐

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3 1 2
3 ? , 初相是 , 2? 6

标差是 3? ,又图象过点(0,1) ,求这个函数的解析式.

?t ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 表示一个振动量, 4、 函数 S ? A sin( 其中振幅是 , 频率是

则这个函数为



⑴求物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系。 ? ? ⑵求该物体在 t=5s 时的位置。 O A

§1.6.1 三角函数的应用(1) 总第 14 课时 执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日 学习目标:1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期现象的 重要数学模型。 2、熟悉数学建模的方法与步骤. 学习重点:函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。 学习难点:建立三角函数的模型。 学习过程: 一、情境设置 三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

例 2. 某城市一年中 12 个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。 已知 6 月份的月平均气温最高,为 29.45℃,12 月份的月平均气温最低,为 18.3℃。求出这个三角 函数的表达式,并画出该函数的图象。

四、巩固练习
1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.

二、探究研究 问题 1 一半径为 3cm 的水轮如图所示,水轮圆心 o 距离水面 2m,设角 ? (? 边,op0 为终边的角,求 ? 。 解析:设 p0 ( x0 ,?2).r ? 3 ∴ sin? ? ∵?
y
?
2 ? ? ? 0) 是以

ox 为始

2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线. 3、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

y p

?

??

2 3

?? ? 0 2 ∴ ? ? ?0.73

?

O

?
p0

x

y

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

问题 2. 已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中 P0)开始计算时间, 将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数。

?t

6 ?t , t ? [0, 24] C. y ? 12 ? 3sin 12
问题 3. 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间?

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(

?t

五、小结反思
三、教学精讲 例 1:在图中,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已 知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。 实际问题 实际问题 问题

1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉 y ? A sin(wx ? ? ) ? k 的性质。
抽象, 概括

数学问题 实际问题 问题

2、

还原

⑵写出这段曲线的函数解析式。

30

六、自我测评: 1、受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐。在通常情况下,船在涨潮时驶进航道, 靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ? t ? 24, 单位:时)的函数, 记作 y ? f (t ) ,下面是该港口在某季节每天水深的数据:

20

t(时) y(米)

0 10.0

3 13.0

6 9.9

9 7.0

12 10.0

15 13.0

18 10.1

21 7.0

24 `10.0 ∴

10

O

6 810 12 14 x时间(时)

经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看做函数 y ? A sin?t ? k 的图象。
⑴根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 近似表达式。

3、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品的出厂价格是 在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4

⑵一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 或 5m 以上时认为是安全的 (船舶停靠时,船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(航底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船想在同一天内安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港 所需的时间)?

元, 而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动的, 并已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月售完,请估计哪个月 盈利最大?并说明理由.

?x ? ? ) ? b 2、 如图所示, 某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(
y温度(?C )

的图象。 ⑴求这段时间的最大温差;

§1.6.2 三角函数的应用(2) 总第 15 课时 执笔: 王计文 王振华 罗鹏旺 授课时间; 年 月 日 学习目标:1、能准确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,来解决实 际问题. 2、体会生活即数学的意义. 学习重点:用三角函数模型刻画潮汐变化规律,用函数思想解决具有周期变化规律的实际问题. 学习难点:实际问题中陌生的背景,复杂的数据处理. 学习过程: 一、情境设置 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常 情况下,船在涨潮时驶进航区,靠近船坞,卸货后落潮时返回海洋.常用三角函数去模拟相关函数.

二、探究研究 问题 1. 观察下表的数据,作出散点图,观察图形,你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的 规律? 给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深: 时刻 0:00 3:00 6:00 水深 (m) 5.0 7.5 5.0 时刻 9:00 12:00 15:00 水深 (m) 2.5 5.0 7.5 时刻 18:00 21:00 24:00 水深 (m) 5.0 2.5 5.0

四、巩固练习 1、课本第 65 页练习

问题 2. 根据所得的函数模型,求出整点时的水深。 问题 3 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m,安全条例规定至少要有 1.5m 的安全 间隙(船底与海底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口待多久?

问题 4 若船的吃水深度为 4m, 安全间隙为 1.5m, 该船在 2:00 开始卸货, 吃水深度以每小时 0.3m 的速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

三、教学精讲 例 1:某港口相邻两次高潮发生时间间隔 12h20min,低潮时入口处水的深度为 2.8m,高潮时为 8.4m,一次高潮发生在 10 月 3 日 2:00。 (1)若从 10 月 3 日 0:00 开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述这 个港口的水深 d(m)和时间 t(h)之间的函数关系; (2)求 10 月 5 日 4:00 水的深度; (3)求 10 月 3 日吃水深度为 5m 的轮船能进入港口的时间。

例 2. 电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I ? Asin?t , t ? ?o,?? ? ,设 ? ? 100? ,A=5。 ⑴求电流 I 变化的周期和频率; ⑵当 t ? 0,

1 1 3 1 , , , 时,求电流 I。 200 100 200 50

⑶画出电流 I(A)随时间 t(s)变化的函数图象。


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