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2016年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)

时间:2016-05-07


2016 年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?惠州模拟)已知集合 M={5,a ﹣3a+5},N={1,3},若 M∩N≠?,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.1 或 2 2. (5 分) (2016?惠州模拟)复数 z= A.1+2i B.i﹣1 C.1﹣i D.1﹣2i 3. (5 分) (2016?惠州模拟)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 定义域是( ) A.[0,1)∪(1,2] B.[0,1)∪(1,4] C.[0,1) D. (1,4] 4. (5 分) (2016?惠州模拟)已知 sinθ+cosθ= , ( A. ) B.﹣ C. D.﹣
2 2 2

+i (i 为虚数单位)的共轭复数为(

3





,则 sinθ﹣cosθ 的值为

5. (5 分) (2016?惠州模拟)已知圆 O:x +y =4 上到直线 l:x+y=a 的距离等于 1 的点至少 有 2 个,则 a 的取值范围为( ) A. (﹣3 ,3 ) B. (﹣∞,﹣3 )∪(3 ,+∞) C. (﹣2 ,2 ) D.[﹣3 ,3 ] 6. (5 分) (2016?惠州模拟)甲、乙等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70 周年阅 兵庆典后,在天安门广场排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻的排法有( )种. A.24 B.48 C.72 D.120 7. (5 分) (2016?惠州模拟)已知向量 =(sinA, )与向量 =(3,sinA+ 其中 A 是△ ABC 的内角,则角 A 的大小为( A. B. C. D. ) ) cosA)共线,

8. (5 分) (2016?惠州模拟)某程序框图如图所示.该程序运行后输出的 S 的值是(

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A.1007 B.2015 C.2016 D.3204 9. (5 分) (2016?惠州模拟)若双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)与直线 y=2x 无交点,则离

心率 e 的取值范围是( ) A. (1,2) B. (1,2] C. (1, ) D. ( 1, ] 10. (5 分) (2016?惠州模拟)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为 ( )

A.2

B.4

C.2

D.2

11. (5 分) (2016?惠州模拟)设 x,y 满足条件

,若目标函数 z=ax+by(a

>0,b>0)的最大值为 12,则 A. B. C. D.4

的最小值为(



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12. (5 分) (2016?惠州模拟)若函数 f(x)满足:在定义域 D 内存在实数 x0,使得 f(x0+1) =f(x0)+f(1)成立,则称函数 f(x)为“1 的饱和函数”.给出下列四个函数:①f(x) = ;②f(x)=2 ;③f(x)=lg(x +2) ;④f(x)=cos(πx) .其中是“1 的饱和函数”的所 有函数的序号为( ) A.①③ B.②④ C.①②
x 2

D.③④

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分) (2016?惠州模拟)已知 a=﹣2 系数为 . ) , =(3,m) .若向量 在 方向上的 sinxdx,则二项式(x + ) 的展开式中 x 的
2 5

14. (5 分) (2016?惠州模拟)已知向量 =(1,

投影为 3,则实数 m= . 15. (5 分) (2016?惠州模拟)设数列{an}的 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为 等差数列,则{an}的通项公式 an= . 16. (5 分) (2016?惠州模拟)设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ| 的最小值为 .
x

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016?浙江模拟) 如图所示, 在四边形 ABCD 中, ∠D=2∠B, 且 AD=1, CD=3, cos∠B= (1)求△ ACD 的面积; (2)若 BC=2 ,求 AB 的长.

18. (12 分) (2016?惠州模拟)某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知 该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望. 19. (12 分) (2016?惠州模拟)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥ 平面 ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1)证明:AE⊥平面 PAD; (2)取 AB=2,若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 角 E﹣AF﹣C 的余弦值. ,求二面

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20. (12 分) (2016?惠州模拟)已知中心在原点的椭圆 C:

+

=1 的一个焦点为 F1(0,

3) ,M(x,4) (x>0)为椭圆 C 上一点,△ MOF1 的面积为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. x 2 21. (12 分) (2016?郴州三模)已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1) . (Ⅰ)求函数 f(x)单调区间; (Ⅱ)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数) ,求实 数 a 的取值范围. 【选修 4-1:几何证明选讲】请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.答题时请写清题 号并将相应信息点涂黑. 22. (10 分) (2016?惠州模拟)如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 CF 并延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:|AE|=|EB|; (Ⅱ)求|EF|?|FC|的值.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2016?惠州模拟)已知曲线 C 的参数方程是 标方程为 ρsin(θ+ )= (θ 为参数) ,直线 l 的极坐

. (其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与

直角坐标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同. ) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点,N 是曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?株洲一模)已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|
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(1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围.

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2016 年广东省惠州市高考数学三调试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?惠州模拟)已知集合 M={5,a ﹣3a+5},N={1,3},若 M∩N≠?,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.1 或 2 2 2 【解答】解:由题意得,a ﹣3a+5=1 或 a ﹣3a+5=3, 2 2 即 a ﹣3a+4=0 或 a ﹣3a+2=0; 2 解 a ﹣3a+4=0 得,此方程无解; 2 解 a ﹣3a+2=0 得,a=1 或 a=2; 综上,a 的值为 1 或 2. 故选:D. 2. (5 分) (2016?惠州模拟)复数 z= A.1+2i B.i﹣1 C.1﹣i D.1﹣2i 【解答】解:z= 其共轭复数为 1+2i, 故选:A. 3. (5 分) (2016?惠州模拟)若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 定义域是( ) A.[0,1)∪(1,2] B.[0,1)∪(1,4] C.[0,1) D. (1,4] 【解答】解:根据题意有: 所以 , , 的 +i =
3 2

+i (i 为虚数单位)的共轭复数为(

3



﹣i=﹣(i﹣1)﹣i=1﹣2i,

即 0≤x<1; 所以 g(x)的定义域为[0,1) . 故选:C. 4. (5 分) (2016?惠州模拟)已知 sinθ+cosθ= , ( A. ) B.﹣ C. D.﹣ , 可得 1>cosθ>sinθ>0, 1+2sinθcosθ=
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,则 sinθ﹣cosθ 的值为

【解答】 解: 由 sinθ+cosθ= ,



∴2sinθcosθ= . ∴sinθ﹣cosθ=﹣ 故选:B. 5. (5 分) (2016?惠州模拟)已知圆 O:x +y =4 上到直线 l:x+y=a 的距离等于 1 的点至少 有 2 个,则 a 的取值范围为( ) A. (﹣3 ,3 ) B. (﹣∞,﹣3 )∪(3 ,+∞) C. (﹣2 ,2 ) D.[﹣3 ,3 ] 【解答】解:由圆的方程可知圆心为(0,0) ,半径为 2. 因为圆上的点到直线 l 的距离等于 1 的点至少有 2 个,所以圆心到直线 l 的距离 d<r+1=3, 即 d= 故选:A. 6. (5 分) (2016?惠州模拟)甲、乙等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70 周年阅 兵庆典后,在天安门广场排成一排拍照留念,甲和乙必须相邻的排法有( )种. A.24 B.48 C.72 D.120 2 4 【解答】解:由题意,利用捆绑法,甲、乙两人必须相邻的方法数为 A2 ?A4 =48 种. 故选:B. 7. (5 分) (2016?惠州模拟)已知向量 =(sinA, )与向量 =(3,sinA+ 其中 A 是△ ABC 的内角,则角 A 的大小为( A. B. C. , cosA)﹣ =0, D. ) cosA)共线, <3,解得﹣3 <a<3 .
2 2

=﹣

=﹣



【解答】解:∵ ∴sinA(sinA+
2

∴2sin A+2 sinAcosA=3, 化为 1﹣cos2A+ sin2A=3, ∴ ∵A∈(0,π) ,∴ ∴ 故选:C. 8. (5 分) (2016?惠州模拟)某程序框图如图所示.该程序运行后输出的 S 的值是( ) = ,解得 A= . =1, ∈ .

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A.1007 B.2015 C.2016 D.3204 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式: S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016 =(0+1)+(﹣2+1)+(0+1)+(4+1)+…+(0+1)+(﹣2014+1)+(0+1)+(2016+1) =6+…+6=6× =3024;

所以该程序运行后输出的 S 值是 3024. 故选:D.

9. (5 分) (2016?惠州模拟)若双曲线 心率 e 的取值范围是( A. (1,2) B. (1,2] 【解答】解:∵双曲线 ) C. (1, ﹣



=1(a>0,b>0)与直线 y=2x 无交点,则离



D. ( 1,

]

=1(a>0,b>0)与直线 y=2x 无交点,

∴由题意可得, ≤2, ∴e= , ].

又∵e>1,∴离心率 e 的取值范围是(1, 故选:D.

10. (5 分) (2016?惠州模拟)某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的四个面中面积最大的为 ( )

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A.2 B.4 C.2 D.2 【解答】 解: 由三视图知该几何体为棱锥 S﹣ABD, 其中 SC⊥平面 ABCD; 四面体 S﹣ABD 的四个面中 SBD 面的面积最大,三角形 SBD 是边长为 2 的等边三角形,

所以此四面体的四个面中面积最大的为 故选:C.

=2



11. (5 分) (2016?惠州模拟)设 x,y 满足条件

,若目标函数 z=ax+by(a

>0,b>0)的最大值为 12,则 A. B. C. D.4

的最小值为(



【解答】解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0)过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时,目 标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, ∴4a+6b=12,即 2a+3b=6, ∴ =( )× = (12+ )≥4
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当且仅当 故选 D.

时,

的最小值为 4

12. (5 分) (2016?惠州模拟)若函数 f(x)满足:在定义域 D 内存在实数 x0,使得 f(x0+1) =f(x0)+f(1)成立,则称函数 f(x)为“1 的饱和函数”.给出下列四个函数:①f(x) = ;②f(x)=2 ;③f(x)=lg(x +2) ;④f(x)=cos(πx) .其中是“1 的饱和函数”的所 有函数的序号为( ) A.①③ B.②④ C.①② 则 ,所以
x 2

D.③④ ,

【解答】解:对于①,若存在实数 x0,满足 f(x0+1)=f(x0)+f(1) ,

该方程无实根,因此①不是“1 的饱和函数”; 对于②,若存在实数 x0,满足 f(x0+1)=f(x0)+f(1) , 则 ,解得 x0=1,因此②是“1 的饱和函数”;

对于③,若存在实数 x0,满足 f(x0+1)=f(x0)+f(1) , 则 化简得 对于④,注意到 即 f( )=f( )+f(1) , , =0,该方程无实根,因此③不是“1 的饱和函数”; ,f( )+f(1)= ,

因此是“1 的饱和函数”, 综上可知,其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号是②④. 故选:B.

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二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分) (2016?惠州模拟)已知 a=﹣2 系数为 ﹣640 . 【解答】解:∵a=﹣2 ∴二项式(x +
2 5

sinxdx,则二项式(x + ) 的展开式中 x 的

2

5

sinxdx=2

=2(cosπ﹣cos0)=﹣4,

) 的展开式中通项公式为

Tr+1=

?x

2(5﹣r)

?

=(﹣4) ?

r

?x

10﹣3r



令 10﹣3r=1, 解得 r=3, ∴展开式中 x 的系数为(﹣4) ? 故答案为:﹣640.
3

=﹣640.

14. (5 分) (2016?惠州模拟)已知向量 =(1, 投影为 3,则实数 m= . 【解答】解:根据投影的概念: ; ∴ . 故答案为:

) , =(3,m) .若向量 在 方向上的



15. (5 分) (2016?惠州模拟)设数列{an}的 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1,{nSn+(n+2)an}为 等差数列,则{an}的通项公式 an= 【解答】解:设 bn=nSn+(n+2)an, ∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=a2=1, ∴b1=4,b2=8, ∴bn=b1+(n﹣1)×(8﹣4)=4n, 即 bn=nSn+(n+2)an=4n 当 n≥2 时,Sn﹣Sn﹣1+(1+ )an﹣(1+ ∴ = , )an﹣1=0 .

即 2?



∴{

}是以 为公比,1 为首项的等比数列,
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∴ ∴

= .



16. (5 分) (2016?惠州模拟)设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ| 的最小值为
x

x



【解答】解:∵函数 y= e 与函数 y=ln(2x)互为反函数,图象关于 y=x 对称

函数 y= e 上的点 P(x, e )到直线 y=x 的距离为 d= 设 g(x)= e ﹣x, (x>0)则 g′(x)= e ﹣1 由 g′(x)= e ﹣1≥0 可得 x≥ln2, 由 g′(x)= e ﹣1<0 可得 0<x<ln2 ∴函数 g(x)在(0,ln2)单调递减,在[ln2,+∞)单调递增 ∴当 x=ln2 时,函数 g(x)min=1﹣ln2,dmin= 由图象关于 y=x 对称得:|PQ|最小值为 2dmin= 故答案为: . .
x x x x

x

x

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016?浙江模拟) 如图所示, 在四边形 ABCD 中, ∠D=2∠B, 且 AD=1, CD=3, cos∠B= (1)求△ ACD 的面积; (2)若 BC=2 ,求 AB 的长.

【解答】解: (1)因为∠D=2∠B,cos∠B= 所以 cosD=cos2B=2cos B﹣1=﹣ .…(3 分) 因为∠D∈(0,π) ,
2



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所以 sinD=

.…(5 分)

因为 AD=1,CD=3, 所以△ ACD 的面积 S=
2 2 2

=

=

.…(7 分)

(2)在△ ACD 中,AC =AD +DC ﹣2AD?DC?cosD=12. 所以 AC=2 .…(9 分) 因为 BC=2 所以 , = ,…(11 分) .

所以 AB=4.…(13 分) 18. (12 分) (2016?惠州模拟)某商场一号电梯从 1 层出发后可以在 2、3、4 层停靠.已知 该电梯在 1 层载有 4 位乘客,假设每位乘客在 2、3、4 层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的概率; (Ⅱ) 用 X 表示 4 名乘客在第 4 层下电梯的人数,求 X 的分布列和数学期望. 【解答】解: (Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A,…(1 分) 由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 ,…(3 分) 则 .…(6 分)

(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,…(7 分) 由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 ,且每个人下电梯互不影响, 所以, X P 0 1 .…(9 分) 2 3 4

…(11 分)

.…(13 分)

19. (12 分) (2016?惠州模拟)如图,已知四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥ 平面 ABCD,∠ABC=60°,E,F 分别是 BC,PC 的中点. (1)证明:AE⊥平面 PAD; (2)取 AB=2,若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 角 E﹣AF﹣C 的余弦值. ,求二面

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【解答】 (本小题满分 13 分) (1)证明:∵四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°, ∴△ABC 为正三角形,∵E 为 BC 的中点, ∴AE⊥BC…(1 分) 又∵BC∥AD,∴AE⊥AD…(2 分) ∵PA⊥平面 ABCD,AE?平面 ABCD, ∴PA⊥AE…(3 分) 而 PA?平面 PAD,AD?平面 PAD,PA∩AD=A, ∴AE⊥平面 PAD.…(5 分) (2)解法一:H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH, 由(1)知 AE⊥平面 PAD,则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角,…(6 分) 在 RT△ EAH 中, , ∴当 AH 最短时,即当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大.…(7 分) 此时 ,∴ ,

又∵AD=2,∴∠ADH=45°,∴PA=2…(8 分) ∵PA⊥平面 ABCD,PA?平面 PAC, ∴平面 PAC⊥平面 ABCD, 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E﹣AF﹣C 的平面角,…(10 分) 在 RT△ AOE 中, 又 F 是 PC 的中点,在 RT△ ASO 中, 又 在 RT△ ESO 中, 即所求二面角的余弦值为 .…(13 分) ,…(11 分) , ,

(2)解法二:由(1)可知 AE,AD,AP 两两垂直, 以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 设 AP=a,则 A(0,0,0) ,B( P(0,0,a) ,E( (6 分) ∴ ,
第 14 页(共 20 页)

,﹣1,0) ,C(

) ,D(0,2,0) ,

,0,0) ,F(

, , ) ,H(0,2﹣2λ,aλ) (其中 λ∈[0,1]) ,…

面 PAD 的法向量为





∵EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ∴
2 2

…(7 分)

的最大值为 ,

即 f(a)=(a +4)λ ﹣8λ+7 在 λ∈[0,1]的最小值为 5, ∵函数 f(a)对称轴 ∴f(a)min= ∴ =( ,0,0) , , ,解得 a=2…(9 分) =( , ,1)

设平面 AEF 的一个法向量为 =(x1,y1,z1 ) ,则



,取 z1=﹣1,则 =(0,2,﹣1)…(11 分)

为平面 AFC 的一个法向量.…(12 分)



∴所求二面角的余弦值为

…(13 分)

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20. (12 分) (2016?惠州模拟)已知中心在原点的椭圆 C:

+

=1 的一个焦点为 F1(0,

3) ,M(x,4) (x>0)为椭圆 C 上一点,△ MOF1 的面积为 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OM 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【解答】 解: (1) 因为椭圆 C 的焦点为 F( 3) , ∴b =a +9, 则椭圆 C 的方程为 1 0, ∵M(x,4) (x>0)椭圆 C 上一点,△ MOF1 的面积为 ∴ ,∴x=1,∴M(1,4)
2 2

代入椭圆 C 的方程 ∴a ﹣8a ﹣9=0 2 ∴a =9 ∴椭圆 C 的方程为 ;
4 2

,可得

(2)假设存在符合题意的直线 l 存在,设直线方程为 y=4x+m,代入椭圆方程,消去 y,可 得 18x +8mx+m ﹣18=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,
2 2

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过原点,所以 ∴x1x2+y1y2=0. 2 ∴x1x2+16x1x2+4m(x1+x2)+m =0 ∴17× ﹣4m× +m =0
2

∴ 2 2 此时△ =64m ﹣72(m ﹣18)>0 ∴直线方程为 y=4x . 21. (12 分) (2016?郴州三模)已知函数 f(x)=a +x ﹣xlna(a>0,a≠1) . (Ⅰ)求函数 f(x)单调区间; (Ⅱ)若存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e 是自然对数的底数) ,求实 数 a 的取值范围. x x 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 R,f'(x)=a lna+2x﹣lna=2x+(a ﹣1)lna.
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x 2

令 h(x)=f'(x)=2x+(a ﹣1)lna,h'(x)=2+a ln a, 当 a>0,a≠1 时,h'(x)>0,所以 h(x)在 R 上是增函数,…(2 分) 又 h(0)=f'(0)=0,所以,f'(x)>0 的解集为(0,+∞) ,f'(x)<0 的解集为(﹣∞, 0) , 故函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞) ,单调减区间为(﹣∞,0)…(4 分) (Ⅱ)因为存在 x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1 成立, 而当 x∈[﹣1,1]时|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min, 所以只要 f(x)max﹣f(x)min≥e﹣1…(6 分) 又因为 x,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表所示: x (﹣∞,0)0 (0,+∞) 0 + f'(x)﹣ f(x) 减函数 极小值增函数 所以 f(x)在[﹣1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数, 所以当 x∈[﹣1,1]时,f(x)的最小值 f(x)min=f(0)=1, f(x)的最大值 f(x)max 为 f(﹣1)和 f(1)中的最大值.…(8 分) 因为 令 所以 ,因为 在 a∈(0,+∞)上是增函数. , ,

x

x 2

而 g(1)=0,故当 a>1 时,g(a)>0,即 f(1)>f(﹣1) ; 当 0<a<1 时,g(a)<0,即 f(1)<f(﹣1)…(10 分) 所以,当 a>1 时,f(1)﹣f(0)≥e﹣1,即 a﹣lna≥e﹣1, 而函数 y=a﹣lna 在 a∈(1,+∞)上是增函数,解得 a≥e; 当 0<a<1 时,f(﹣1)﹣f(0)≥e﹣1,即 上是减函数,解得 . .…(12 分) ,函数 在 a∈(0,1)

综上可知,所求 a 的取值范围为

【选修 4-1:几何证明选讲】请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答.答题时请写清题 号并将相应信息点涂黑. 22. (10 分) (2016?惠州模拟)如图,正方形 ABCD 边长为 2,以 D 为圆心、DA 为半径的 圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 F,连结 CF 并延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:|AE|=|EB|; (Ⅱ)求|EF|?|FC|的值.

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【解答】 (本小题满分 10 分) 证明: (Ⅰ)由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形, ∴EA 为圆 D 的切线 …(1 分) 2 依据切割线定理得 EA =EF?EC,…(2 分) 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线,…(3 分) 2 同样依据切割线定理得 EB =EF?EC,…(4 分) 故|AE|=|EB|.…(5 分) 解: (Ⅱ)连结 BF,∵BC 为圆 O 直径,∴BF⊥EC,…(6 分) 由 = ,得 BF= =
2

,…(8 分)

又在 Rt△ BCE 中,由射影定理得 EF?FC=BF = .…(10 分)

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2016?惠州模拟)已知曲线 C 的参数方程是 标方程为 ρsin(θ+ )= (θ 为参数) ,直线 l 的极坐

. (其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合,极轴与

直角坐标系 x 轴正半轴重合,单位长度相同. ) (Ⅰ)将曲线 C 的参数方程化为普通方程,把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是直线 l 与 x 轴的交点,N 是曲线 C 上一动点,求|MN|的最大值. 2 2 2 【解答】解: (Ⅰ)利用 cos θ+sin θ=1,可把曲线 C 的参数方程可化为(x﹣1) +(y﹣2) 2 =1, 直线 l 的方程为 ρsin(θ+ )= .可化为 = ,

可得:直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣2=0. (Ⅱ)令 y=0,得 x=2,即 M 点的坐标为(2,0) . 又曲线 c 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,2) ,半径 r=1,则|MC|= ∴|MN|≤|MC|+r= +1, ∴|MN|的最大值为 1.



选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?株洲一模)已知函数 f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1| (1)解不等式 f(x)≥﹣2; (2)对任意 x∈[a,+∞) ,都有 f(x)≤x﹣a 成立,求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=|x+2|﹣2|x﹣1|≥﹣2, 当 x≤﹣2 时,x﹣4≥﹣2,即 x≥2,∴x∈?;
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当﹣2<x<1 时,3x≥﹣2,即 x≥﹣ ,∴ ﹣≤x≤1; 当 x≥1 时,﹣x+4≥﹣2,即 x≤6,∴1≤x≤6; 综上,不等式 f(x)≥﹣2 的解集为:{x|﹣ ≤x≤6} …(5 分)

(2)



函数 f(x)的图象如图所示:

令 y=x﹣a,﹣a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,﹣a=2; ∴当﹣a≥2,即 a≤﹣2 时成立;…(8 分) 当﹣a<2,即 a>﹣2 时,令﹣x+4=x﹣a,得 x=2+ , ∴a≥2+ ,即 a≥4 时成立, 综上 a≤﹣2 或 a≥4.…(10 分)

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参与本试卷答题和审题的老师有: 742048; 沂蒙松; caoqz; 刘长柏; whgcn; zlzhan; wkl197822; sxs123;涨停;wfy814(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 27 日

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