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高中数学选修2-2公开课教案1.2.2复合函数的求导法则

时间:2016-01-17


§1.2.2 复合函数的求导法则
教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则. 教学重点 复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导 数乘以中间变量对自变量的导数之积. 教学难点 正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确. 一.创设情景 (一)基本初等函数的导数公式表 函数 导数

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a 1 x

f ' ( x) ?

(二)导数的运算法则 导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
' (2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数)
-1-

二.新课讲授 复合函数的概 念 一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可以

表 示 成 x 的 函 数 , 那 么 称 这 个 函 数 为 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的 复 合 函 数 , 记 作

y ? f ? g ( x) ? 。
复合函数的导数 复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的关

系为 y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)
三.典例分析 2 例 1 求 y =sin(tan x )的导数. 【点评】 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐 层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果. 例2求y =

x?a x 2 ? 2ax

的导数.

【点评】本题练习商的导数和 复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 4 4 例 3 求 y =sin x +cos x 的导数. 【解法一】y =sin x +cos x=(sin x +cos x) -2sin cos x=1- =1-
4 4 2 2 2 2 2

1 2 sin 2 x 2

1 3 1 ( 1-cos 4 x)= + cos 4 x.y ′=-sin 4 x. 4 4 4
4 4 3 3

【解法二】y′=(sin x)′+(cos x)′=4 sin x(sin x)′+4 cos x (cos x )′=4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x)=-2 sin 2 x cos 2 x =-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形 准确.解法二是利用复合函数求导 数,应注意不漏步. 例 4 曲线 y =x(x +1) (2-x)有两条平行于直线 y =x 的切线,求此二切线之间的距离. 3 2 【解】y =-x +x +2 x y′=-3 x 2+2 x +2 令 y′=1 即 3 x -2 x -1=0,解得 x =- 于是切点为 P(1,2) ,Q(-
2

1 或 x =1. 3

1 14 ,- ) , 3 27

过点 P 的切线方 程为,y -2=x -1 即 x -y +1=0.

1 14 |? ? ?1| 16 3 27 2. 显然两切线间的距离等于点 Q 到此切线的距离,故所求距离为 = 27 2

-2-

四.课堂练习 1.求下列函数的导数 2.求 ln(2 x 2 ? 3x ? 1) 的导数 (1) y =sinx +sin 3x; (2) y ?
3 3

sin 2 x ;(3) loga ( x 2 ? 2) 2x ? 1

五.回顾总结

六.布置作业

-3-


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