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新课标高三文科数学综合测试题与参考答案(八)

时间:2013-02-19


新课程高三年级文科数学综合测试题与参考答案(八)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 4 ? 3i ,则 z= A 2?i B 2?i C 1? 2i ( D )

1? 2i
( )

2、如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为 A

1 9

B

1 6

C

2 3

D

1 3
( )

3.已知回归直线斜率的估计值为 1.23,样本点的 中心为(4,5) ,则回归直线方程为

? A. y ? 1.23 x ? 4 ? C. y ? 1.23 x ? 0.08

? B. y ? 1.23 x ? 5 ? D. y ? 0.08 x ? 1.23
( )

4.在 ?ABC中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, A ? 60?,b ? 16 ,面积 S ? 220 3 ,则 a 等于 A 49 5.程序框图如下: B

75

C

10 6

D

51

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入( ). A. k ? 10? B. k ? 10? C. k ? 11? 6.若 a ? 2 ,则方程
1 3 x ? ax2 ? 1 ? 0 在(0,2)上根的个数恰好是( 3

D. k ? 11? )

A.0 B.1 C.2 D.3 7.从 1、2、3、4 中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 20 的概率为 ( ) A.

3 4

B.

3 5

C.

1 2

D.

5 6

8.命题 p : 若a, b ? R, 则 a ? b ? 1是 a ? b ? 1 的充分不必要条件 命题 q : y ?

x ? 1 ? 2的定义域是(? ?,3? ? ?1, ? ?,则 ? ?
B.“p 或 q”为假 D. p 假,q 真

(

)

A.“p 且 q” 为真 C. p 真,q 假

1

9. 设 ?、?、? 中 三 个 不 同 的 平 面 , m 、 n 是 两 条 不 同 的 直 线 。 在 命 题 “ ? ? ? ? m, n ? ? , 且 ,则 m//n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题。 ① ? // ? , n ? ? ;② m // ? , n // ? ;③ n // ? , m ? ? 。 可以填入的条件有 A.①或② B.②或③ ( D.①或②或③ )

C.①或③

10.椭圆 ax2 ? by2 ? 1与直线 ? 1 ? x交于 , B两点 过原点与线段 中点的直线的 y A , AB

斜率为
A. 3
2

3 a , 则 的值为 2 b
B. 2 3
3

( D. 2 3
27



C. 9 3
2

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,其中 11-13 为必做题,14-15 为选做题,14-15 题只需 选做 2 小题.共 20 分. ) 11.等差数列 {an } 的前n 项和为 Sn , 且S4 ? 20, Sn?4 ? 60, Sn ? 120 则n = , 12.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 为实常数,等号右边的运算是通常意义 的加,乘运算,现已知 1? 2 ? 3, 2*3 ? 4 ,且有一个非零实数 m ,使得对任意实数 x ,都有 x ? m ? x ,则

m?
13. 给出下列命题:

。 ①样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。 ②若随机变量 X~N(0.43,0.182) ,则此正态曲线 x=0.43 处达到峰值。 ③在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越差。 ④市政府调查江北水城市民收入与市民旅游欲望的关系时,抽查了 3000 人。经过计算发现 K2=6.023, 则根据这一数据查阅下表,市政府有 97.5%的把握认为市民收入与旅游欲望有关系。 P(K2≥k) k ? ? 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.888

其中正确命题的序号是

(注:把你认为正确的命题的序号都填上。 )

(选做题,考生从下面两道题中任选一道题作答,若两题都做,则按第一题计分) 14.把参数方程 ?

? x ? sin ? ? cos ? ( ? 为参数)化为普通方程是 ? y ? sin 2?
D P C B O

A

15.如图, AC 为⊙O 的直径,BD⊥AC 于 P,PC=2,PA=8 则 CD 的长为

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 OM ? ? cos ? ,sin ? ? , ON ? ? cos x,sin x ? , PQ ? ? cos x, ? sin x ? (1)当 cos ? ?

???? ?

????

???? ??? ? 4 时,求函数 y ? ON ? PQ 的最小正周期; 5sin x ? ???? ???? 12 ???? ??? ? ? (2)当 OM ? ON ? , OM ∥ PQ, ? ? x, ? ? x都是锐角 时,求 cos 2? 的值。 13

??? ? ? ?

4 ? ? 5cos ? ?

17.(本小题满分 12 分) 一项”过关游戏”规则规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所出现的点数之和大于 n 就 算过关.问: (1)某人在这项游戏中最多能连过几关? (2)他连过前 2 关的概率是多少?
2

18. (本小题满分 14 分)
2 2 已知动圆 P 与定圆 B: x ? y ? 2 5 x ? 31 ? 0 内切,且动圆 P 经过一定点 A( 5 ,0) ,

(Ⅰ)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若已知点 D(0,3) ,M、N 在动点 P 的轨迹上,且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围.

3

19.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD,AB= 2 AD,E 是线 段 PD 上的点,F 是线段 AB 上的点,且

PE BF ? ? ? (? ? 0). ED FA

(I)判断 EF 与平面 PBC 的关系,并证明; (II)当λ 为何值时,DF⊥平面 PAC?并证明.

20. (本小题满分 14 分) 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 <x<1 ) ,则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆 车的投入成本)×年销售量. (Ⅰ)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? (Ⅱ)年销售量关于 x 的函数为 y ? 3240 ? x 2 ? 2 x ? ) ,则当 x 为何值时,本年度的年利润最大?最 ( 大利润为多少?

5 3

21. (本小题满分 14 分) 已知定义在 R 上的函数 f (x ) ,满足条件:① f ( x) ? f (? x) ? 2 ,②对非零实数 x ,都有

1 1 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x ? ? 3 . x x
(1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)设函数 g( x) ?

f 2 ( x) ? 2x ( x ? 0) ,直线 y ? 2 n ? x 分别与函数 y ? g (x) , y ? g ?1 ( x) 交于

? (其中 n ? N ) ;设 an ?| An Bn | , S n 为数列 {an } 的前 n 项和,求证:当 n ? 2 时, An 、 B n 两点,

S n ? 2(
2

S S 2 S3 ? ? ?? n ) . 2 3 n

4

参考答案
一.选择题 ADCAA 二.填空题 11、12 BADCA 14、 x ? 1 ? y, x ? ?? 2, 2 ?
2

12、4

13、①②④

?

?

15、 2 5

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4 5sin x 4sin x 1 ? cos 2 x 1 1 ? y ? cos2 x ? sin 2 x ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? cos 2 x ? 5cos? 2 2 2 5分 ? 该函数的最小正周期是 ? ???? ???? ? 12 (2)? OM ? ON ? cos ? cos x ? sin ? sin x ? cos ?? ? x ? ? 6分 13 5 7分 1 s ?? ? x 是锐角 ?s i n? ? x ? ? ? c2o?? ? x ? ? ? 13 ? ???? ??? ? 4 4 9分 ? OM ∥ PQ ?? cos ? sin x ? ? sin ? cos x ? 0 ,即 sin ?? ? x ? ? 5 5 3 ? ? ? x 是锐角 ? cos ?? ? x ? ? 1 ? sin 2 ?? ? x ? ? 10 分 5
16.解: (1)? cos ? ?

4分

? cos 2? ? cos ??? ? x ? ? ?? ? x ? ? ? cos ?? ? x ? cos ?? ? x ? ? sin ?? ? x ? sin ?? ? x ? ? ? 3 12 4 5 16 16 ? ? ? ? ? ,即cos2? = 5 13 5 13 65 65 (12分)

17 . 解 : ⑴ ? 点 数 最 大 为

6 , 抛 掷 n 次 点 数 之 和 的 最 大 值 为 6n ,

6 ? 4 ? 42 ,6 ? 5 ? 52 ,6 ? 6 ? 62 ,6 ? 7 ? 72 ,?,当 n ? 6 时,点数之和不可能大于 n 2 ,即过关的概率为
0.

? 最多能连过 5 关.
n

( 5 分)

⑵记第 n 次过关为事件 An ,基本事件总数为 6 . 第一关:?12 ? 1,?只要点数不小于 2,? P ? A ? ? 1

5 ; 6

(7 分)

第二关: 2=4,A2 即 2 “不能过第二关” 设第一次抛掷出现的点数为 x , , 设第一次抛掷出现的点数为 y , 且 x ? y ? a ,要使此人“不能过第二关” a 的可能取值是 2、3 或 4, , 当 a ? 2 时, x ? 1 , y ? 1 , ?P ? 1 当 a ? 3 时, ? (8 分)

1 1 ? , 2 36 6

?x ? 1 ?x ? 2 2 2 或 ? , ? P2 ? 2 ? , 36 6 ?y ? 2 ?y ? 1 ?x ? 1 ?x ? 3 ?x ? 2 3 3 或 ? ,或 ? ? P3 ? 2 ? , 36 6 ?y ? 3 ?y ? 1 ?y ? 2
(10 分)

当 a ? 4 时, ?

5

1 2 3 1 5 ? ? ? , ? P( A2 ) ? 1 ? P( A2 ) ? 36 36 36 6 6 5 5 25 所以,此人连过 2 关的概率 P ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? 。 (12 分) 6 6 36
? P( A2 ) ? P ? P2 ? P3 ? 1

18.解: (I)定圆 B 的圆心坐标 B(- 5 ,0) ,半径 r=6, 因为动圆 P 与定圆 B 内切,所以|PA|+|PB|=6. 所以动圆圆心 P 的轨迹是以 B、A 为焦点,长轴长为 6 的椭圆. ??????2 分

x2 y2 设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b
则 2a=6,a=3,c= 5 ∴b2=a2-c2=4. ∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 .????????4 分 9 4

(II)设 M(x1,y1),N(x2,y2) , 则由 DM ? ? DN, 可得( x1 , y1 ? 3) ? ? ( x2 , y 2 ? 3), 故?

?x1 ? ?x2 ? y1 ? ? ( y2 ? 3) ? 3

? (?x 2 ) 2 (?y 2 ? 3 ? 3? ) 2 ? ?1 2 ? (?y 2 ? 3 ? 3? ) 2 ? ?2 y 2 ? 9 4 ?? 2 消去 x2 , 得 : ? 1 ? ?2 2 4 ? x2 ? y 2 ? 1 ?9 4 ? 13? ? 5 解得 y 2 ? (? ? 1)或? ? 1???????????9分 6?
(1)当λ =1 时,M 与 N 重合, DM ? DN. ,满足条件。 (2)当 ? ? 1 ,? y 2 |? 2,? 时 | |

13? ? 5 1 |? 2, 解得 ? ? ? 5, 且? ? 1 . 6? 5 1 ,5].????????????12 分 5

综合可得λ 的取值范围是[

19.解: (I) 作 FG∥BC 交 CD 于 G,连结 EG,则

BF CG ??????????1 分 ? FA GD PE BF PE CG ∴ ? ? ?? ? ED FA ED GD
6

∴PC∥EG????????????3 分 又 FG∥BC,BC∩PC=C,FG∩GE=G. ∴平面 PBC∥平面 EFG. 又 EF ? 平面 EFG ∴EF∥平面 PBC????????????????????????6 分 (II)当λ =1 时,DF⊥平面 PAC. 证明如下: ∵λ =1,则 F 为 AB 的中点 又 AB= 2 AD AF=

1 AB 2

∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD 中

tan?AFD ?

AD ? AF

AD 2 AD 2

? 2

tan ?CAD ?

CD ? AD

2 AD ? 2 AD

∴∠AFD=∠CAD???????????????????????????9 分 ∴AC⊥DF 又∵PA⊥平面 ABCD,DF ? 平面 ABCD ∴PA⊥DF. ∴DF⊥PAC.???????????????????????10 分 20.解: (I)由题意得:本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x) ; 出厂价为 13×(1+0.7x) ;年销售量为 5000×(1+0.4x) , 因此本年度的利润为

y ? [13 ? (1 ? 0.7 x) ? 10 ? (1 ? x)] ? 5000 ? (1 ? 0.4 x) ? (3 ? 0.9 x) ? 5000 ? (1 ? 0.4 x)

? ?1800 2 ? 1500 ? 150000 ? x ? 1), x x (
2 由 ?1800 x ? 1500 x ? 15000 >15000 得 0 ? x ?

5 6

(Ⅱ)本年度的利润为

5 f ( x) ? (3 ? 0.9 x) ? 3240? (? x 2 ? 2 x ? ) ? 3240? (0.9 x 3 ? 4.8x 2 ? 4.5x ? 5) 3
则 f ' ( x) ? 3240 (2.7x 2 ? 9.6x ? 4.5) ? 972 9x ? 5)(x ? 3), ? ( 由 f ' ( x) ? 0, 解得x ?

5 或x ? 3, 9
'

5 5 ' 9 9 5 5 ∴当 x ? 时, f ( x)取极大值 ( ) ? 20000 万元, f 9 9
所以当 x ?

当 x ? (0, )时,f ( x) ? 0, f ( x) 是增函数;当 x ? ( ,1)时,f ( x) ? 0, f ( x) 是减函数.

因为 f(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值,

5 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元. 9 1 1 21.解: (1)当 x ? 0 时, 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x ? ? 3 x x
7



1 2 2f ( ) ? f ( x) ? ? x ? 3 两式联立可得, f ( x) ? x ? 1( x ? 0) x x

又当 x ? 0 时,有 f (0) ? 1 ;∴ f ( x) ? x ? 1 。 (2)由(1)可得 g( x) ? ( x ? 1) 2 ? 2x ?

?y ? x2 ?1 ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? 得交点 An ? x 2 ? 1 ,联立 ? ? 2 2n , 2 2n ? , ? ? y ? 2n ? x ? ? ?

? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? 由此得 Bn ? ? 2 2n , 2 2n ? , ? ? ?
? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? ? 2n 2 ? 1 2n 2 ? 1 ? 1 所以 a n ?| An Bn |? ? ? 2 2n ? 2 2 n ? ? ? 2 2 n ? 2 2n ? ? n ? ? ? ? ? ? ?
2 2

? Sn ?

2S 1 1 2 2 ? S n ?1 ? S n?1 ? S n ? n ? 2 , n n n
2 2

? 当 n ? 2 时, S n ? S n?1 ?
2 2

2S n 1 ? 2 n n
2S n?1 1 ? n ? 1 (n ? 1) 2

S n?1 ? S n?2 ?
??

S 2 ? S1 ?
2 2

2S 2 1 ? 2 2 2

累加得: S n

2

? 2(

S S S2 1 1 1 ? 3 ??? n ) ?1? ( 2 ? 2 ??? 2 ) 2 3 n 2 3 n

又? 1 ? (

1 1 1 1 1 1 ? ??? ] ? 2 ??? 2 ) ? 1? [ 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 3 n

? 1 ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? )? ?0 2 2 3 n ?1 n n

? S n ? 2(
2

S S 2 S3 ? ? ?? n ) 2 3 n

8


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