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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4:第二讲 三 直线的参数方程

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三 直线的参数方程 [对应学生用书P27] 1.直线的参数方程 ?x=x0+tcos α (1)过点 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l 的参数为? (t 为参数) ?y=y0+tsin α (2)由 α 为直线的倾斜角知 α∈[0,π)时,sin α≥0. 2.直线参数方程中参数 t 的几何意义 参数 t 的绝对值表示参数 t 所对应的点 M 到定点 M0 的距离. (1)当 M0M― →与 e(直线的单位方向向量)同向时,t 取正数. (2)当 M0M― →与 e 反向时,t 取负数,当 M 与 M0 重合时,t=0. [对应学生用书P27] 直线的参数方程 [例 1] 已知直线 l 的方程为 3x-4y+1=0,点 P(1,1)在直线 l 上,写出直线 l 的参数方程,并求点 P 到点 M(5,4)的距离. [思路点拨] 由直线参数方程的概念,先求其斜率,进而由斜率求出倾斜角 的正、余弦值,从而得到直线参数方程. 3 [解] 由直线方程 3x-4y+1=0 可知,直线的斜率为4,设直线的倾斜角为 第1页 α, 3 3 4 则 tan α=4,sin α=5,cos α=5. 又点 P(1,1)在直线 l 上, 4 ? ?x=1+5t, 所以直线 l 的参数方程为? 3 ?y=1+5t ? (t 为参数). 因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1+5t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5. 理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数 t 的几何意义,即直线上动点 M 到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值是解决此类问题的关键. 5π 1 .设直线 l 过点 A(2 ,- 4) ,倾斜角为 6 ,则直线 l 的参数方程为 ________________. 5π x = 2 + t cos ? ? 6, 的参数方程为? 5π ? ?y=-4+tsin 6 解析:直线 l (t 为 参 数 ) , 即 3 ? ?x=2- 2 t, ? 1 ? ?y=-4+2t (t 为参数). 第2页 3 ? ?x=2- 2 t, 答案:? 1 y =- 4 + ? ? 2t (t 为参数) π 2.一直线过 P0(3,4),倾斜角 α=4,求此直线与直线 3x+2y=6 的交点 M 与 P0 之间的距离. 2 ? x = 3 + ? 2 t, 解:设直线的参数方程为? 2 ? y = 4 + ? 2 t, 将它代入已知直线 3x+2y-6=0, 2 2 得 3(3+ 2 t)+2(4+ 2 t)=6. 11 2 解得 t=- 5 , 11 2 ∴|MP0|=|t|= 5 . 直线参数方程的应用 π [例 2] 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α=6, (1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积. [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程; (2)充分利用参数几 何意义求解. π [解] (1)∵直线 l 过点 P(1,1),倾斜角为6, 第3页 π x = 1 + t cos ? ? 6, ∴直线的参数方程为? π ? ?y=1+tsin6, 3 ? ?x=1+ 2 t, 即? 1 ? ?y=1+2t 为所求. (2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A, B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1

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