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一道课本习题的探究与拓展

时间:2014-02-10


论文:

一道课本习题的探究与拓展
孟农生 (江苏省东台中学 224200) 苏教版高中数学必修 5 第 92 页第 11 题题目如下: 如图 1,有一壁画,最高点 A 离地面 4m,最低点 B 处离地面 2m。若从 离地面高 1.5m 的 C 处观赏它,则离墙多高时,视角 ? 最大?这是一道传统的 实际问题,实际生活中有不少问题与它相似。如 2010 年江苏高考数学第 17 题等。本文首先探究课本这道题的解法,然后举一反三进行拓展。 一、课本问题的探究 1、建立数学模型 由题目条件易知 AB=2m,AD=2.5m,BD=0.5m(如图 2) ,若设 CD=xm, 则问题转化为在 ? ACD 中,当 x 为何值时, ? 角最大的数学问题。从而转 化为函数中的最值问题。 2、建立适当的目标函数 (1)在 ?ACB 中,仅知 AB=2m,直接求 ? 的最值,较为困难。 运用勾股定理可知 BC ?

图1

图2

x 2 ? 0.52 , AC ?

x 2 ? 2.52 ,

再在 ?ACB 中运用余弦定理,可知

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 x 2 ? 2.52 ? x 2 ? 0.52 ? 22 2 x 2 ? 2.5 cos ? ? ? ? 2 AC ? BC 2 x 2 ? 2.52 ? x 2 ? 0.52 2 ( x 2 ? 2.52 )( x 2 ? 0.52 )
(2)设 ?ACD ? ? , ?BCD ? ? , 则 ? ? ? ? ? ,改求 ? ? ? 的最大值。另一方面,在

Rt ?ACD 中, tan ? ?
改 求

2.5 0.5 ,在 Rt ?BCD 中, tan ? ? ,启发我们“取正切” ,即 x x
的 ( 最

t

?a ?? n

)大











2.5 0.5 2 ? tan ? ? tan ? 2x x ? x tan(? ? ? ) ? ? x ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? 2.5 ? 0.5 1 ? 1.25 x ? 1.25 x x x2
比较上述两种方法,建立的目标函数显然(2)比较简单。关键是转化 ? ? ? 的最值, 同时联系已知条件,选择正切函数最值。如果在(2)中,选择正弦或余弦函数,同样较繁, 因此建立目标函数,必须“适当”——便于求出最值。 3、求出函数的最值

2x 可用导数方法,但仔细观察,此函数分子为一次,分母 x ? 1.25 1.25 2 为二次,只要同除以 x,则 tan ? ? ,易用基本不等式 x ? ? 2 1.25 ,当且仅 1.25 x x? x
对于分式函数 tan ? ?
2

当x?

5 1.25 ? ,即 x ? 时, tan ? 最大,又 0 ? ? ? ,即 ? 最大。显然,本题运用基本 2 x 2

不等式求最值比较简便。 由此可见,上述问题的一般步骤是 (1) 建立数学模型:首先仔细审题,将实际问题转化为数学问题。 (2) 建立目标函数:注意根据条件,建立的函数必须“适当” ,便于求解。 (3) 求出函数最值:注意选择基本方法。 (4) 检验所得结果:特别是是否符合实际意义。 二、课本问题的拓展 实际生活中有不少像上述课本的“最佳视角”问题,如学生在教室中坐在第几排位置最 佳、足球射门的最佳角度等等,我们可用类似的方法解决。 问题 1 教室的黑板上沿距地面 a 米, 下沿距地面 b 米, 学生坐在何处位 置最佳? 分析:如图 3,学生坐在教室何处位置最佳,即求当 CD 为多少米 时, ? 角最大的问题,从而也就转化为上述的课本问题。 图3 设 ?ACD ? ? , ?BCD ? ? ,

a b ? tan ? ? tan ? a?b 则 tan ? ? tan(? ? ? ) ? , 当且仅当 x ? ab 时 ? ? x x ? ab ab 1 ? tan ? ? tan ? 1? 2 x ? x x
最大 问题 2 (足球射门问题) 如图 4,足球比赛场地的宽为 a 米,球门宽为 b 米,在足球比赛中,甲方边锋从乙方球门附 近带球过人, 沿直线 l(贴近球场边线〉 向前推进.试问,该边锋在距离乙方底线多远时起脚射 门的命中角最大?(注:图 4 中 AB 表示乙方所守球门,AB 所在直线为乙方底线,l 表示甲方边锋 前进的直线)

图4 图5 分析:以直线 l 和直线 AB 的交点 D 为原点,l 为 x 轴,DA 为 y 轴,建立如图 5 所示的 直角坐标系,设 AB 中点为 M,则

a b a ? b D A? D M? M A ? ? ? , 2 2 2 a b a ? b D B? D M? B M ? ? ? . 2 2 2
设动点 C(边锋起脚处)的坐标为(x,0),x>0. ?ACO ? ? , ?BCO ? ? ,

tan ? ? tan ? 则 ? , ? ? (0, ), tan ?ACB ? tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 2
? b b ? ? 2 2 2 2 a ?b a ? b x? 2 x? 4x 4x b a ? b2
2

?

a?b a?b ? 2x 2x a?b a?b 1? ? 2x 2x

由于正切函数在 (0,

?
2

) 上是增函数,故当且仅当 x ?

a 2 ? b2 ,即x? 4x

a 2 ? b2 时, ?ACB 2

达到最大角,此时 C (

a 2 ? b2 a 2 ? b2 , 0) ,即甲方边锋距乙方底线 米处射门时命中角最 2 2

大 问题 3 (2009 年南京市高三第二次调研测试第 18 题) 如图 6,某机场建在一个海湾的半岛上,飞机跑道 AB 的长为 4.5km,且跑道所在的直线 与海岸线 l 的夹角为 60 度 (海岸线可以看作是直线) , 跑道上离海岸线距离最近的点 B 到海 岸线的距离 BC ? 4 3km 。D 为海湾一侧海岸线 CT 上的一点,设 CD=x(km) , 点 D 对跑道 AB 的视角为 ? 。 (1)将 tan ? 表示为 x 的函数; (2)求点 D 的位置,使 ? 取得最大值。 分析:本题在构建函数关系时,要注意 D 点位置对 ?ADC 的正切值的影 响,注意分类讨论。 (1)过 A 分别作直线 CD,BC 的垂线,垂足分别为 E,F, 由题意知,AB=4.5,BC= 4 3 , ?ABF ? 90? ? 60? ? 30? , 所以 CE=AF= 4.5 ? sin 30? ? AE=CF=BC+BF=

9 9 , BF ? 4.5 ? cos30? ? 3, 4 4

图6

25 3. 4
BC 4 3 ? . CD x

因为 CD ? x( x ? 0), 所以 tan ?BDC ?

25 3 25 3 9 9 AE 当 x ? 时, ED ? x ? , tan ?ADC ? (如图 7) ? 4 ? 4 4 ED x ? 9 4 x ? 9 4
当0 ? x ?

9 AE 25 3 9 ? 时, ED ? ? x, tan ?ADC ? ? (如图 8) 4 ED 4 x ? 9 4

所以 tan ? ? tan ?ADB ? tan(?ADC ? ?BDC )

25 3 4 3 ? x ? 9 3( x ? 4) ( x ? 0, 且x ? 9 ) ? 4x ? 9 4 25 3 4 3 x(4 x ? 9) ? 300 1? ? 4x ? 9 x
当x?

CE 9 3 9 ? 时, tan ? ? ,符合上式。 BC 48 4
9 3( x ? 4) ( x ? 0) x(4 x ? 9) ? 300

所以 tan ? ?

(2) tan ? ?

9 3( x ? 4) 9 3 ? ,x? 0 x(4 x ? 9) ? 300 4( x ? 4) ? 400 ? 41 x?4
400 400 400 ? 41 ? 2 4( x ? 4) ? ? 41 ? 39 ,当且仅当 4( x ? 4) ? ,即 x?4 x?4 x?4

因为 4( x ? 4) ?

x ? 6 时取等号。
所以当 x ? 6 时, tan ? 取最大值 由于 y ? tan x 在区间 (0,

3 3 。 13

?
2

) 上是增函数,所以当 x ? 6 时, ? 取最大值。

故在海湾一侧的海岸线 CT 上距 C 点 6km 处的 D 点处观看飞机跑道的视角最大。 问题 4 (2010 年江苏高考数学第 17 题) 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如图 9,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1) 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据 此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距 图9

离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m, 试问 d 为多少时, ? - ? 最大? 分析:第(1)小题易解从略,第(2)小题,求 d 为多少时, ? - ? 最大,仿上可改求

tan(? ? ? ) 最大, 由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , , tan ? ? ? ? d AD DB d

H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d H ( H ? h) (当且仅当 d ? H ( H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时, 取等号) d? ? 2 H ( H ? h) , d
故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大。 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2

,所以当 d ? 55 5 时,? - ? 最大。故所求的 d 是

55 5 m。
综上所述,我们平时教学时要高度重视课本,特别是对课本典型问题的探究与拓展。对 典型问题的深入研究,探究规律,不仅有利于学生解决实际问题能力的提高,而且有利于培 养学生的学习兴趣,有利于学生探究意识的形成。 注:发表于南京师范大学《数学之友》2010.20(半月刊)


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