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3. 2012年全国高中数学联赛山西预赛

时间:2015-09-21


预赛试题集锦(2013) 高中竞赛
2012 年全国高中数学联赛山西省预赛
一.填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.

a1 ,a2 ,a3 , ? 是一个等差数列,其中 a1 > 0 , Sn 表示其前 n 项和.如果 S3 ? S11 ,若在 S1 ,S2 , S3 , ? 中,最大数为 Sk ,则 k ? _______.

2.

任作椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一条切线,与椭圆的两条对称轴分别交于点 A ,B ,则线段 AB 长度的最小 25 9

值是_______. 3. 矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 , E ,F 分别是 AB ,CD 的中点,以 EF 为旋转轴,将 △FAB 空 间旋转 90 ? 至 △FA?B? ,则四面体 A?B ?CD 的体积为_______. 4. 5.
sin 7.5 ? ? cos 7.5 ? ? _______.

3, 4, 5, 6, 7 适当排成一个 7 位数,使得它是 11 的倍数,则能排出的数的个数 用七个数码 1,2 ,

为_______. 6. 7. 8. 若 7 n ? 1 , 8n ? 1 都能表示为成等比数列的三个互异正整数的和,则正整数 n 的最小值是_______.
1] ,函数 f ( x ,y) ? x 1 ? y ? y 1 ? x 的最大值是_______. 设 x ,y ? [0 ,

2, 3, ?, 2012? 的 20 元子集,且 A 中的任何两个元素之差为 12 的倍数,则 集合 A 是集合 M ? ?1,
这种子集 A 的个数是_______.

二.解答题(第 9 题 16 分,第 10、11 题各 20 分,共 56 分) 9. 抛物线的顶点为 O ,焦点为 F ,当动点 P 在抛物线上移动时,求
| PO | 的最大值. | PF |

10. △ ABC 内接于 ⊙O , 直线 AI ,BI 分别交 ⊙O 于 D ,E , 过点 I 作直线 l I ∥ AB , I 是三角形的内心, 又过点 C 作 ⊙O 的切线 lC ,若 lC 与 l I 相交于 F . 证明: D 、E 、F 三点共线.

思维的发掘

能力的飞跃

1

高中竞赛

预赛试题集锦(2013)

2, 3, 4, 5? 中的元素归入 A ,B ,C 三个(有序)集合, 11. 试确定,有多少种不同的方法将集合 M ? ?1,
使得满足:每个元素至少含于其中一个集合之中,这三个集合的交是空集,而其中任何两个集合的 交集都不是空集?(即 A ? B ? C ? M , A ? B ? C ? ? ,而 A ? B ? ? , B ? C ? ? , C ? A ? ? )

2

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