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高考数学第一轮复习单元试卷13-直线与圆锥曲线的位置关系

时间:2014-09-24


第十三单元
一.选择题 (1) ( A 3 D 10 椭 圆 )

直线与圆锥曲线的位置关系

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 到 直 线 x ? 2y ? 2 ? 0 的 最 大 距 离 是 16 4
B

11

C 2 2

(2) 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线 ( ) A 有且仅有一条 B 有且仅有两条
2 2

C 有无穷多条

D 不存在

(3) 设双曲线 l ( D
2 3 3

x y ? 2 ? 1 (0<a<b)的半焦距 c, 直线 l 过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线 2 a b
离 为

的 ) A 2



3 4

c,







线











B

3

C

2

(4) 如 果 椭 圆 ( )

x2 y2 ? ? 1 的 弦 被 点 (4 , 2) 平 分 , 则 这 条 弦 所 在 的 直 线 方 程 是 36 9
B x ? 2y ? 4 ? 0

A x ? 2y ? 0

C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 2 2 (5)过双曲线 2x -y -8x+6=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若|AB|=4, 则这样 的 直 线 有 ( ) A 4 条 B 3 条 D1条 (6) 已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( A C 2 条 )

1 2

B

3 2

C

7 2

D5 (7) 直线 l 交椭圆 4x2+5y2=80 于 M、 两点, 椭圆的上顶点为 B 点, 若△BMN 的重心恰好 N 落 在 椭 圆 的 右 焦 点 上 , 则 直 线 l 的 方 程 是 ( ) A 5x+6y-28=0 B 5x+6y-28=0 C 6x+5y-28=0 D 6x-5y -28=0
1

(8) 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 两点, Q 若线段 PF 与 FQ 的长 分 ( A2a D 别 ) B 为 p 、 q , 则

1 1 ? p q





1 2a

C 4a

4 a

(9) 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴,则 F1 到直 6 3

线 F2M 的距离为 ( ) A D

3 6 5

B

5 6 6

C

6 5

5 6

x2 y2 (10) 点 P (-3, 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上, 1) 过点 P 且方向为 a ? (2,?5) a b
的光线,经直线 y ? ?2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为 ( A D )

3 3

B

1 3

C

2 2

1 2

二.填空题

x2 y2 ? ? 1 的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△PQF2 的周长 (11) 椭圆 25 9
为 ___________. (12) 若直线 l 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点, 并且与 y 轴垂直, l 被抛物线截得的线段 若 长为 4,则 a=_______ x2 (13) 过 点 M (3,?1) 且 被 点 M 平 分 的 双 曲 线 ? y2 ?1 的 弦 所 在 直 线 方 程 4 为 .
2

(14) 已知 F1、F2 是椭圆

x2 2 +y =1 的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF1|·|PF2| 4
2

的最大值是 . 三.解答题 (15) 如图,O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M(x1,y1),N(x2, y2)两点. (1)写出直线 l 的方程; (2)求 x1x2 与 y1y2 的值; (3)求证:OM⊥ON.

(16) 已知椭圆 C:

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 a2 b

l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)若 ? ?

3 ,△PF1F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程. 4

3

(17) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B, OA ? OB ? 2 且 (其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

4

(18) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上, 长轴 A1 A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|= 2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值

P

l
M A1 F1

y

l1

o

F2 A2 x

5

参考答案 一选择题: 1.D [解析]:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 P(4cosθ ,2sinθ ) 16 4

则点 P 到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的距离

d=

| 4 cos ? ? 4 sin ? ? 2 | 5

?

| 4 2 sin(? ? 5

?
4

)? 2 |

d max ?
2.B

| ?4 2 ? 2 | 5

? 10

[解析]:过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,
2

若直线 AB 的斜率不存在,则横坐标之和等于 2,不适合。 故设直线 AB 的斜率为 k,则直线 AB 为 y ? k ( x ? 1) 代入抛物线 y ? 4 x 得, k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0
2 2 2 2 2

∵A、B 两点的横坐标之和等于 5,∴

4 2(k 2 ? 2) ? 5,k 2 ? 2 3 k
6

则这样的直线有且仅有两条 3.A [解析]:直线 l 过(a, 0), (0, b)两点. 即为:bx ? ay ? ab ? 0 ,故原点到直线 l 的距离

| ?ab | a ?b
2 2

=

3 c, a (c ? a ) ? 3 c 2 16 c2 4
2 2 2

1?

1 3 ? e2 2 16 e

∴e = 2 3 或 2,
3

c2 a2 ? b2 a2 ? a2 ? ?2 又 0<a<b,故 e ? 2 ? a a2 a2
2

∴e = 2 4.D [解析]:用‘点差法’ 这条弦的两端点位 A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为 k,则 :

? x1 2 y1 2 ? ?1 ? x ? x2 y ? y2 ? 36 9 ?k 1 ?0 两式相减再变形得 1 ? 2 2 36 9 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 36 9 ? 1 又弦中点为(4,2),故 k= ? 2 1 故这条弦所在的直线方程 y-2= ? (x-4) 2
5.B [解析]:过双曲线 2x -y -2=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点, 若 l ? x轴, AB 为通径,而通径长度正好是 4,故直线 l 交双曲线于同支 则 上的 A、B 两点且|AB|=4,这样的直线只有一条, 若 l 经过顶点,此时|AB|=2, 故直线 l 交双曲线于异支上的 A、B 两点且 |AB|=4,这样的直线有且只有两条, 故选 B。 6.C [解析]:已知定点 A、B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则点 P 的轨迹是以 A、 B 为左右焦点的双曲线的右支, 故|PA|的最小值是 A 到右顶点的距离,为 2+ 7.D [解析]:设 M(x1,y1) 、N(x2,y2), 而 B(0,4), 又△BMN 的重心恰好落在椭圆的 右焦点(2,0)上, 故 x1+ x2=6,y1+ y2=-4,又 A、B 在椭圆上,故得
7
2 2

3 7 ? 2 2

?6 x1 ? 5 y1 ? 28 ? 0 ? ?6 x2 ? 5 y 2 ? 28 ? 0
则直线 l 的方程是 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 8.C [解析]:过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点, 设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),则 p= y1 ? 设直线 PQ 为 y ? kx ?

1 1 , q ? y2 ? 4a 4a

1 ,联立直线方程与抛物线方程可得 4a

y1 ? y2 =

1 1 ? 2k 2 , y1 ? y 2 ? 16 a 2 a

1 1 ? = p q
9.C

y1 ? y 2 ?

1 2a

1 1 y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4a 16a 2

=4 a

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴, [解析]:已知双曲线 6 3
M(3,

6 6 6 5 6 ,故 MF2= 2 6 ? , F1 到直线 F2M 的距 故 ) 则 MF1= ? 2 2 2 2
6?

6 F F ? MF1 2 ?6 ? 离为 1 2 MF2 5 5 6 2
10.A [解析]: 点 P(-3,1)在椭圆

x2 y2 a2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上, 故 ?3 c a2 b

点P (-3, 关于直线 y ? ?2 的对称的点为 Q, Q 1) 则 (-3, , -5) 设椭圆的左焦点为 F,则直线 FQ 为 y ? ?

5 ( x ? 5) ,故 2
8

5?

5 ( ?c ? 3) 2
∴ c ? 1, a ?

3

二填空题: 11. 20 [解析]:△PQF2 的周长=4 a 12.

1 4
[解析]:l 被抛物线截得的线段长 即为通径长

1 a

,故

1 =4, a 3 4

13. 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 [解析]: 参考选择题(4) ,由‘点差法’ 可得斜率为 ?

14. 4 . [解析]:由焦半径公式|PF1|= a ? ex ,|PF2|= a ? ex |PF1|·|PF2|=( a ? ex ) a ? ex )= a ? e x (
2 2 2

则|PF1|·|PF2|的最大值是 a =4. 三解答题 (15)解 (Ⅰ)解:直线 l 的方程为

2

y ? k ( x ? 2)
(Ⅱ)解:由①及 y2=2x 消去 y 可得

(k ? 0)



k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 1) x ? 4k 2 ? 0.



点 M,N 的横坐标 x1 与 x2 是②的两个根, 由韦达定理得 x1 x2 ?
4k 2 ? 4. k2 2 2 由y1 ? 2 x1 , y 2 ? 2 x2

得( y1 y 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? 4 ? 16, 注意到y1 y 2 ? 0, 所以y1 y 2 ? ?4.
(Ⅲ)证明:设 OM,ON 的斜率分别为 k1, k2,

9

则k1 ?

y1 y , k2 ? 2 . x1 x2 y1 y 2 ? 4 ? ? ?1, x1 x 2 4

相乘得k1 k 2 ?

所以OM ? ON.
(16) (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 所以 A、B 的坐标分别是 (? ,0), (0, a). ? x 由 得? y2 b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . a b ? ?a
b2 所以点 M 的坐标是( ? c, ). a a b2 a 由 AM ? ? AB得(?c ? , ) ? ? ( , a). e a e

a ?a ?e ? c ? ? e ? 即? 2 ? b ? ?a ?a ?
别是 ( ?

解得? ? 1 ? e 2

证法二:因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分

a a a ,0), (0, a ). 设 M 的坐标是 ( x0 , y 0 ),由AM ? ? AB得( x0 ? , y 0 ) ? ? ( , a), e e e
因为点 M 在椭圆上,所以
2 2 x0 y 0 ? 2 ? 1, a2 b

a ? ? x0 ? (? ? 1) 所以 ? e ? y 0 ? ?a. ?

a [ (? ? 1)]2 (?a) 2 (1 ? ? ) 2 ?2 即 e ? 2 ? 1, 所以 ? ? 1. a2 b e2 1 ? e2
e 4 ? 2(1 ? ? )e 2 ? (1 ? ? ) 2 ? 0,
(Ⅱ)当 ? ? 解得 e ? 1 ? ?
2

即? ? 1 ? e 2 .

3 1 时, c ? ,所以 a ? 2c. 2 4
2 2 2

由△MF1F2 的周长为 6,得 2a ? 2c ? 6.

所以 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 3.

x2 y2 ? ? 1. 椭圆方程为 4 3
(a ? 0, b ? 0).

(17) 解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

10

由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 即k ?
2

?1 ? 3k 2 ? 0, ? ?? ? (6 2k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 36(1 ? k 2 ) ? 0. ?

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

x A ? xB ?

6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A x B ? y A y B ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 x A xB ? y A y B ? x A xB ? (kxA ? 2 )(kxB ? 2 ) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)
于是

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ?2? 2 . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k ? 1

3k 2 ? 7 ? 3k 2 ? 9 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 1 ? k 2 ? 3. ② 3 1 ? k 2 ? 1. 由①、②得 3 3 3 故 k 的取值范围为 (?1,? ) ? ( ,1). 3 3
(18)解 (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? ,半焦距为 c ,则 a 2 b2

MA1 ?

a2 ? a, A1 F1 ? a ? c c

? a2 ? c ? a ? 2?a ? c? ? ? ? 由题意,得 ?2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

a ? 2, b ? 3, c ? 1

11

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ) 设P ? ?4, y0 ? , y0 ? 0

设直线PF1的斜率k1 ? ? ? ?

y0 y ,直线PF2的斜率k2 ? ? 0 3 5

0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1 M ? ?F1 PF 为锐角。

?
2

,

? tan ?F1 PF2 ?

2y 2 y0 k2 ? k1 15 ? 2 0 ? ? . 1 ? k1k2 y0 ? 15 2 15 y0 15

当 y0 ? 15,即y0 = ? 15时, ?F1 PF2 取到最大值,此时?F1 PF2 最大, tan 故?F1 PF2的最大值为arctan 15 . 15

12


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