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数学奥林匹克高中训练题(20)及答案

时间:2011-08-29


数学奥林匹克高中训练题(20)
第一试
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.(训练题 25)已知函数 y = ? (A). (A) 2

x?a 的反函数的图象关于点 ( ?1,3) 成中心对称图形,则实数 a 等于 x ? a ?1
(C)-2 (D)-4

(B)3

2.(训练题 25)我们把离心率等于黄金比

5 ?1 x2 y2 的椭圆称之为“优美椭圆” .设 2 + 2 = 1( a >b> 2 a b

0)为优美椭圆, F , A 分别是它的左焦点和右端点, B 是它的短轴的一个端点,则 ∠ABF 等于(C). (A) 60
o

(B) 75

o

(C) 90

o

(D) 120

o

3.(训练题 25)已知 ?ABC 三边的长分别是 a, b, c ,复数 z1 , z2 满足 z1 = a, z2 = b, z1 + z2 = c ,那么 复数

z1 一定是(C). z2
(B)是虚数 (C)不是实数 (D)不是纯虚数

(A)是实数

x 1 ? (?1)1+C2 x ? Px5+ 2 的最大值是(D). 4.(训练题 25)函数 f ( x ) = 6 2 2 1 + C3 + C4 L + C x2?1

(A) 20

(B) 10

(C) ?10

(D) ?20

5.(训练题 25)以 O 为球心,4 为半径的球与三条相互平行的直线分别切于 A, B, C 三点.已知

S ?BOC = 4 , S ?ABC > 16 ,则 ∠ABC 等于(B).
(A)

π
12

(B)

5π 12

(C)

7π 12

(D)

11π 12

6.(训练题 25)在集合 M = {1, 2,3,L ,10} 的所有子集中,有这样一族不同的子集,它们两两的交集都 不是空集,那么这族子集最多有(B). (A) 210 个 (B) 29 个 (C) 10 个
2

(D) 9 个

2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1.(训练题 25)在直角坐标系中,一直角三角形的两条直角边分别平行于两坐标轴,且两直角边上的中

线所在直线方程分别是 y = 3 x + 1 和 y = mx + 2 ,则实数 m 的值是

3 或12 4



ax 2 . ( 训 练 题 25) 设 f ( x) = (a > 0, a ≠ 1) , [m] 表 示 不 超 过 实 数 m 的 最 大 整 数 , 则 函 数 1+ ax 1 1 [ f ( x) ? ] + [ f (? x) ? ] 的值域是 2 2 {?1, 0}


3 . ( 训 练 题 25) 设 a, b, c 是 直 角 三 角 形 的 三 条 边 长 , c 为 斜 边 长 , 那 么 使 不 等 式

a 2 (b + c) + b 2 (c + a ) + c 2 (a + b) ≥ kabc 对所有直角三角形都成立的 k 的最
大值是

2+3 2

. A1 D

C1 B1

4.(训练题 25)如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各条棱长都是 1,截面 BCD1 在 棱 AA1 上 的 交 点 为 D , 设 这 个 截 面 与 底 面 ABC 和 三 个 侧 面

C B

ABB1 A1 , BCC1 B1 , CAA1C1 所 成 的 二 面 角 依 次 为 α1 , α 2 , α 3 , α 4 , 若 A

cos α1 + cos α 2 = cos α 3 + cos α 4 ,则截面的面积等于

3 3 8



5.(训练题 25)已知 f ( x ) 是定义域在实数集的函数,且 f ( x + 2)[1 ? f ( x )] = 1 + f ( x ).若f (1) = 2 + 3 , 则 f (1949) 的值是

3?2


2 2

6.(训练题 25)设 x1 是方程 3 sin x ? 3 cos x = 2a ? 1 的最大负根, x2 是方程 2 cos x ? 2 sin x = a 的 最小正根,那么,使不等式 x1 ≤ x2 成立的实数 a 的取值范围是

1 ? 3 ≤ a ≤ ?1或a = 2 2



第二试
一、(训练题 25)(本题满分 25 分)某眼镜车间接到一任务,需要加工 6000 个 A 型零件和 2000 个 B 型 零件,这个车间有 214 名工人,他们每一个人加工 5 个 A 型零件的时间可加工 3 个 B 型零件.将这些 人分成两组同时工作,每组加工同一型号的零件,为了在最短的时间完成,应怎样分组?77 二、(训练题 25)(本题满分 25 分)已知一个四边形的各边长都是整数,并且任意一边的长都能整除其余 三边之和.求证:这个四边形必有两边相等. 三 、 ( 训 练 题 25)( 本 题 满 分 35 分 ) 实 数 数 列 a1, a2 , a3 ,L, a1997 满 足 :

a1 ?a2 + a2 ?a3 +L+ a1996 ?a1997 =1997 . 若 数 列 {bn } 满 足 : bk =
b1 ? b2 + b 2 ?b3 + L + b1996 ? b1997 的最大可能值.

a1 + a2 + L ak (k = 1, 2L1997) . 求 k

顶点 P , P2 在 四、 (训练题 25)(本题满分 35 分)给定两个七棱锥, 它们有公共的底面 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 , 1 底面的两侧.现将下述线段中的每一条染红,蓝两色之一: P , P2 ,底面上的所有的对角线和所有的 1 侧棱.求证:图中心存在一个同色三角形.


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