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河北省鸡泽县第一中学2018届高三上学期期中考试(文数)

时间:2017-12-07


河北省鸡泽县第一中学 2018 届高三上学期期中考试 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,没小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中有且 只有一项符合题目要求。 1.已知向量 a =(1,t) , b =(-2,1) ,若 a // ? ,则 t=
? ? ?

b

A.-2

B.-

1 2
? ?

C.2

D.

1 2

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x | 2 x ? (A) (?1, ??) (B) [3, ??)

1? ? , B ? ? x | log 3 x ? 1? ,则 A ? ? Cu B ? = 2?
(C) (?1, 0) ? (3, ??) (D) (?1, 0] ? [3, ??)

3.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 3 ? a 5 =21 , a2 + a4 + a 6 =42,则 S 9 = A.255 B.256 C.511 D.512

4.设函数 y ? f ( x) ( x ? R ) ,“ y ? f ( x) 是偶函数”是“ y ? f ( x) 的图像关于原点对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.要得到函数 f ?x ? ? sin 2 x , x ? R 的图像,只需将函数 g ?x ? ? cos2 x , x ? R 的图像 A.向右平移 位

? ? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单 2 2 4 4

?x ? y ? 3 ? 0 ? 6.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最 ?x ? y ?1 ? 0 ?
小值为 A.3 B.0 C.-3 D.-5

7.已知 F1, F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 在双曲线上,且满 4

? 足 ?F 1 PF2 的面积为 1PF 2 ? 90 ,则 ?F

A.1

B.

5 2

C.2

D. 5

8.下列命题正确的是
1

(A)若 两条直线和同一个平面平行,则 这两条直线平行 (B)若一直线与两个平面所成的角相等,则这两个平面平行 (C)若 一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 (D)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行 9.运行如下程序框图,如果输入的 t ? [?1,3] ,则输出 s 属于 A. [?3, 4] B. [?5, 2] C. [?4,3] D. [?2,5]

10.设 x0 是方程 ? ? ?

?1? ? 3?

x

x 的解,则 x0 所在的范围是
C. ?

A. ? 0, ?

? 1? ? 3?

B. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

?1 2? ?1 1? , ? D. ? , ? ?2 3? ?3 2?

11.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 A. 3 B.

8 3

C. 6?2 2 ? 6

6?2 2 D.

12.设函数 f ?x ? ? x3 ? 3x 2 ? ax ? 5 ? a ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ?x0 ? ? 0 ,则 a 的 取值范围是 A. ? 0, ?

? 1? ? 3?

B. ? , ? 3 4

? 1 5? ? ?

C. ? , ? 3 2

? 1 3? ? ?

D. ?

? 5 3? , ? 4 2? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,没小题 5 分,共 20 分。 13.已知复数 z 满足 ?1 ? i ?z ? 4i ,则|z|= 14.若 tan ? ? .

1 ,则 cos 2? ? 2

.
2 2

15.已知抛物线 x 2 ? 4 y 与圆 C: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? r 2 ( r ? 0 )有公共 点 P,若抛物线在 P 点处的切线与圆 C 也相切,则 r= .

16.如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=8,AD=5,CD= 3 3 ,∠A=60° ,∠D=150° , 则 BC=
[KS5UK

.

S5U]

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 10 =110, S15 =240. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
[KS5UKS5UKS5U]

2

(Ⅱ)令 bn ?

an ?1 an ? ? 2 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . an an ?1

18.(本小题满分 12 分) 某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污 损,可见部分如下图.

(Ⅰ)求分数在[50,60)的频率及全班人数; (Ⅱ)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间矩形的高; (Ⅲ) 若要从分数在 [80,100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况 ,求在抽取的试卷 中,至少有一份分数在[90,100)之间的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 A-BCD 中, △ABD 为边长等于 2正三角形, CD=CB=1.△ADC 与△ABC 是有公共斜边 AC 的全等的直角三角形.
A

(Ⅰ)求证: AC⊥BD; (Ⅱ)求 D 点到平面 ABC 的距离.
D B C

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 如图,过椭圆 E: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足为左焦点 F,A,B a b
分别为 E 的右顶点, 上顶点, 且 AB//OP, |AF|= 2 ? 1 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)C,D 为 E 上的两点,若四边形 ACBD(A,C,B, D 逆时针排列)的对角线 CD 所在直线的斜率为 1,求 四边形 ACBD 面积 S 的最大值.
[KS5UKS5U.KS5U

3

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? (Ⅰ)求 f ?x ? 的最小值;
[KS5UKS5UKS5U]

1 . x

(Ⅱ)若方程 f ?x ? ? a 有两个根 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ,证明: x1 + x2 >2.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为?
?x= 5 cos α, ?y=sin α

(α 为参数) .以坐标原点 O

π 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρcos ( θ+ )= 2.l 与 C 4 交于 A、B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P(0,-2),求|PA|+|PB|的值

4

数学(文科)参考答案
一、选择题:

BDCBA CACAD BB
二、填空题: (13)2 2 三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设公差为 d,依题意有 10?9 ? ?10a + 2 d=110, ? 15?14 ?15a + 2 d=240. ?
1 1

(14)

3 5

(15) 2

(16)7

解得,a1=d=2. 所以,an=2n. 2n+2 n+1 2n n 1 1 (Ⅱ)bn= + -2= + -2= - , 2n n n n+1 2n+2 n+1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn=1- + - + - +…+ - = . 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 (18) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)分数在[50,60)的频率为 0.008× 10=0.08, 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 (Ⅱ)分数在[80,90)之间的频数为 25-22=3; 3 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷ 10=0.012. 25 …7 分 2 =25. …4 分 0.08 …2 分 …12 分 …6 分

(Ⅲ)将[80,90)之间的 3 个分数编号为 a1,a2,a3,[90,100)之间的 2 个分数编号为 b1,b2, 在[80,100)之间的试卷中任取两份的基本事件为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3), (a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)共 10 个, 其中,至少有一个在[90,100)之间的基本事件有 7 个, 7 故至少有一份分数在[90,100)之间的概率是 . 10 …12 分 …10 分

5

(19) (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)取 BD 中点 M,连 AM、CM ∵AD=AB ∴AM⊥BD, 又∵DC=CB, ∴CM⊥BD, CM∩AM=M, ∴BD⊥面 ACM, AC ∴BD⊥AC 面 ACM, …6 分
D B C A E

F

(Ⅱ)过 A 作 AE//BC,AE=BC,连接 EC、ED, 则 AB//EC ,AB= EC ∵BC⊥AB, ∴BC⊥EC, 又∵BC⊥DC ,EC∩DC=C, ∴BC 面 DEC BC 面 ABCE,

∴面 ABCE ⊥面 DEC 过 D 作 DF⊥EC,交 EC 于 F,DF 即为所求, 在△DEC 中,DE=DC=1,EC= 2, ∴DF= 2 2 …12 分

(20)解: b2 b2 b (Ⅰ)由题意可得 P(-c, ),所以 kOP=- ,kAB=- . a ac a b2 b 由 AB∥OP,所以- =- ,解得 b=c,a= 2c, ac a 由|AF|=a+c= 2+1 得 b=c=1,a= 2, x2 故椭圆 E 的方程为 +y2=1. 2 …4 分
[KS5UKS5U]

(Ⅱ)依题意可设直线 CD:y=x+m(- 2<m<1) ,C(x1,y1),D(x2,y2). 将直线 CD 的方程代入椭圆 E 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 2m2-2 4m x1+x2=- ,x1x2= , 3 3 |CD|= 2|x1-x2|= 4 3 3-m2.
6

…7 分

A( 2,0)到直线 CD 的距离 d1= B(0,1)到直线 CD 的距离 d2= 2

2

2

| 2+m|=1+
2

2

2

m;

2

|m-1|=

2



2

2

m.

1 2 2 所以四边形 ACBD 面积 S= · |CD|· (d1+d2)= 1+ · 3-m2, 2 3 2

(

)

2 3+ 6 所以当 m=0 时,S 取得最大值 . 3 (21)解: 1 1 x-1 (Ⅰ)f ?(x)= - 2= 2 , (x>0) x x x 所以 f (x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故 f (x)的最小值为 f (1)=1. (Ⅱ)若方程 f (x)=a 有两个根 x1,x2(0<x1<x2) , x2-x1 1 1 x2 则 ln x1+ =ln x2+ ,即 =ln >0. x1 x2 x1x2 x1 x2-x1 x2 要证 x1+x2>2,需证(x1+x2)· >2ln , x1x2 x1 x2 x1 x2 即证 - >2ln , x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 1 设 =t(t>1) ,则 - >2ln 等价于 t- >2ln t. x1 x1 x2 x1 t 1 1 2 12 令 g (t)=t- -2ln t,则 g?(t)=1+ 2 - = 1- >0, t t t t

…12 分

…4 分

(

)

所以 g (t)在(1,+∞)上单调递增,g (t)>g (1)=0, 1 即 t- >2ln t,故 x1+x2>2. t (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: x2 2 (Ⅰ)C: +y =1;l:y=x-2. 5 …4 分 …12 分

?x= 22 t, (Ⅱ)点 P(0,-2)在 l 上,l 的参数方程为? ( t 为参数) 2 ?y=-2+ 2 t
x2 代入 +y2=1 整理得,3t2-10 2t+15=0, 5 由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= 10 2 3 10 分

7


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