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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 9.6 抛物线

时间:2015-08-26


§ 9.6

双曲线

1.双曲线定义 平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这 两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>|F1F2|时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 y2 - =1 (a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1 (a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称轴:坐标轴 对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2

实虚轴

叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半 轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长

a、b、c 的关系 [知识拓展] 巧设双曲线方程

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

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x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2- 2=t (t≠0). a b a b x2 y2 (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 + =1 (mn<0). m n 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × ) x2 y2 (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × m n )

x2 y2 x2 y2 x y (3)双曲线方程 2- 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( √ ) m n m n m n (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ ) x2 y2 x2 y2 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0, b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2=1(此 a b b a e1 e2 结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )

x2 y2 1.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率 a b 为( A. 5 C. 2 答案 A 解析 由题意得 b=2a,又 a2+b2=c2,∴5a2=c2. c2 ∴e = 2=5,∴e= 5. a
2

) B.5 D.2

x2 y2 2.设双曲线 2- =1 (a>0)的渐近线方程为 3x± 2y=0,则 a 的值为( a 9 A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C 3 解析 渐近线方程可化为 y=± x. 2 3 9 ± ?2, ∵双曲线的焦点在 x 轴上,∴ 2=? a ? 2? 解得 a=± 2.由题意知 a>0,∴a=2. x2 3.(2013· 福建)双曲线 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4 2 4 2 5 4 5 A. B. C. D. 5 5 5 5
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)

)

答案 C 1 2 2 5 解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线 y=± x 的距离 d= = . 2 5 5 x2 y2 x2 y2 4.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的渐近线,且 C1 的右 a b 4 16 焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. 答案 1 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 解析 与双曲线 - =1 有相同渐近线的双曲线的方程可设为 - =λ,即 - =1. 4 16 4 16 4λ 16λ 1 由题意知 c= 5,则 4λ+16λ=5?λ= ,则 a2=1,b2=4. 4 又 a>0,b>0,故 a=1,b=2. 5.(2014· 北京)设双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1,0),则 C 的方程 为________. 答案 x2-y2=1 解析 由题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上, 且 c= 2,a=1,则 b2=c2-a2=1, 所以双曲线 C 的方程为 x2-y2=1.

题型一 双曲线的定义及标准方程 例 1 (1)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线,且过点 M(2,-2)的双曲线方程为__________. (2)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. 思维点拨 解(2)时,考虑定义法. y2 x2 答案 (1) - =1 2 4 y2 (2)x2- =1(x≤-1) 8 x2 x2 解析 (1)设与双曲线 -y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为 -y2=k,将点 M(2,-2)代入 2 2 22 得 k= -(-2)2=-2. 2 y2 x2 所以双曲线方程为 - =1. 2 4 (2)如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.

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根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|. 又根据双曲线的定义, 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大, 与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8. y2 故点 M 的轨迹方程为 x - =1(x≤-1). 8
2

思维升华 求双曲线标准方程的一般方法: (1)待定系数法:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出参数 a、b、c 的方程并求 x2 y2 x2 y2 出 a、b、c 的值与双曲线 2- 2=1 有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 2- 2=λ (λ≠0). a b a b (2)定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出 a 的值,由定点位置确定 c 的值. x2 y2 (1)(2014· 天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x a b +10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x2 y2 A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100 x2 y2 B. - =1 20 5 3x2 3y2 D. - =1 100 25 )

5 (2)设椭圆 C1 的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个 13 焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( x2 y2 A. 2- 2=1 4 3 x2 y2 C. 2- 2=1 3 4 答案 (1)A (2)A b b 解析 (1)双曲线的渐近线方程为 y=± x,因为一条渐近线与直线 y=2x+10 平行,所以 =2. a a 又因为双曲线的一个焦点在直线 y=2x+10 上, 所以-2c+10=0.所以 c=5. b 2 ? ? ?a=2, ?a =5, ? 由? 得 2 ? ?b =20. ? ?c= a2+b2=5 x2 y2 B. 2- 2=1 13 5 x2 y2 D. 2- 2=1 13 12 )

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x2 y2 故双曲线方程为 - =1. 5 20 (2)由题意知椭圆 C1 的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2 上的一点 P,则||PF1|-|PF2|| =8. 由双曲线的定义知:a=4,b=3. x2 y2 故曲线 C2 的标准方程为 2- 2=1. 4 3 题型二 双曲线的几何性质 x2 例 2 (1)(2013· 浙江)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 4 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( A. 2 3 6 B. 3 C. D. 2 2 ) )

x2 y2 x2 y2 (2)(2014· 广东)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 - =1 与曲线 - =1 的( 25 9-k 25-k 9 A.焦距相等 C.虚半轴长相等 B.实半轴长相等 D.离心率相等

思维点拨 (1)依题意可求出 a、c 的值. (2)分别表示出两方程对应的 a、b、c 的值比较即可. 答案 (1)D (2)A x2 y2 解析 (1)|F1F2|=2 3.设双曲线的方程为 2- 2=1. a b ∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a, ∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a. 在 Rt△F1AF2 中,∠F1AF2=90° , ∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2, 即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2, c 3 6 ∴a= 2,∴e= = = .故选 D. a 2 2 (2)因为 0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线 x2 y2 - =1 的实半轴长为 5,虚半轴长 25 9-k 34-k x2 y2 .双曲线 - =1 的实半轴 5 25-k 9 34-k , 25-k

为 9-k,焦距为 2 25+?9-k?=2 34-k,离心率为

长为 25-k,虚半轴长为 3,焦距为 2 ?25-k?+9=2 34-k,离心率为 故两曲线只有焦距相等.故选 A.

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思维升华 (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法: 一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围;另一种是建立 a,b,c 的齐次关系式,将 b 用 a,e 表示,令两边同除以 a 或 a2 化为 e 的关系式,进而求解. x2 y2 x2 y2 a1 a2 (2)方程 - =1 与 - =1,当 a1+b1=a2+b2 时焦距相等.当 = 时渐近线相同. a1 b1 a2 b2 b1 b2 x2 y2 x2 y2 (3)双曲线 2- 2=1 的渐近线为 2- 2=0. a b a b x2 y2 5 (1)(2013· 课标全国Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C a b 2 的渐近线方程为( 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 ) 1 B.y=± x 3 D.y=± x

x2 y2 (2)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 A,与另一条 a b → → 渐近线交于点 B,若FB=2FA,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D. 5 )

答案 (1)C (2)C c 5 解析 (1)由 e= = 知,a=2k,c= 5k(k∈R+), a 2 b 1 由 b2=c2-a2=k2 知 b=k.所以 = . a 2 1 即渐近线方程为 y=± x.故选 C. 2 → → (2)如图,∵FB=2FA, ∴A 为线段 BF 的中点, ∴∠2=∠3. 又∠1=∠2,∴∠2=60° , b ∴ =tan 60° = 3, a b ∴e2=1+( )2=4,∴e=2. a 题型三 直线与双曲线的位置关系 例 3 已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,

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2 2 ? ?x -y =1, 则方程组? 有两个不同的实数根, ?y=kx-1 ?

整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
?1-k2≠0, ? ∴? 2 2 ? ?Δ=4k +8?1-k ?>0,

解得- 2<k< 2且 k≠± 1. 双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0. -2k ? ?x +x =1-k , ∴? -2 ? ?x x =1-k .
1 2 2 1 2 2

当 A,B 在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时, 1 S△OAB=S△OAD-S△OBD= (|x1|-|x2|) 2 1 = |x1-x2|; 2 当 A,B 在双曲线的两支上且 x1>x2 时, S△OAB=S△ODA+S△OBD 1 1 = (|x1|+|x2|)= |x1-x2|. 2 2 1 ∴S△OAB= |x1-x2|= 2, 2 ∴(x1-x2)2=(2 2)2, -2k 2 8 6 即( 2) + 2=8,解得 k=0 或 k=± . 2 1-k 1-k 又∵- 2<k< 2,且 k≠± 1, 6 ∴当 k=0 或 k=± 时,△AOB 的面积为 2. 2 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,

得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点,这 时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),实轴长为 2 3.

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(1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C 左支交于 A、B 两点,求 k 的取值范围; (3)在(2)的条件下,线段 AB 的垂直平分线 l0 与 y 轴交于 M(0,m),求 m 的取值范围. x2 y2 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知得:a= 3,c=2,再由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 (2)设 A(xA,yA)、B(xB,yB), x2 将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得,(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.

?Δ=36?1-k ?>0, ? 6 2k 由题意知?x +x = <0, 1-3k -9 ? ?x x =1-3k >0,
2 A B 2 A B 2

1-3k2≠0,

解得 ∴当

3 <k<1. 3 3 <k<1 时,l 与双曲线左支有两个交点. 3

6 2k (3)由(2)得:xA+xB= , 1-3k2 ∴yA+yB=(kxA+ 2)+(kxB+ 2) =k(xA+xB)+2 2= 2 2 . 1-3k2

3 2k 2 ∴AB 的中点 P 的坐标为( , ). 1-3k2 1-3k2 1 设直线 l0 的方程为:y=- x+m, k 4 2 将 P 点坐标代入直线 l0 的方程,得 m= . 1-3k2 ∵ 3 <k<1,∴-2<1-3k2<0. 3

∴m<-2 2.∴m 的取值范围为(-∞,-2 2).

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忽视“判别式”致误 y2 典例:(12 分)已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A、B 两点, 2 且点 P 是线段 AB 的中点? 易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,在解决直线与

圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式,致使有的考生思维定势的原因,任何情况 下都没有考虑判别式,导致解题错误. 规范解答 解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0), 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意.[2 分] 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k.[3 分] y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0 (2-k2≠0).① [6 分] x - = 1 , ? 2 ? x1+x2 k?1-k? ∴x0= = . 2 2-k2 k?1-k? 由题意,得 =1,解得 k=2.[8 分] 2-k2 当 k=2 时,方程①成为 2x2-4x+3=0. Δ=16-24=-8<0,方程①没有实数解.[11 分] ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点.[12 分] 温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路

也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导 致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的. (2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出 AB 的斜率,进而求方程;也可以设斜率 k, 利用待定系数法求方程. (3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.

方法与技巧 双曲线标准方程的求法 x2 y2 (1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时,其标准方程可设为 - =1 (mn>0),这样可 m n 避免讨论和复杂的计算;也可设为 Ax2+By2=1 (AB<0),这种形式在解题时更简便;
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(2)当已知双曲线的渐近线方程 bx± ay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为 b2x2-a2y2= λ(λ≠0),据其他条件确定 λ 的值; x2 y2 x2 y2 (3)与双曲线 2- 2=1 有相同的渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ (λ≠0),据其他条件确定 a b a b λ 的值. 失误与防范 1.区分双曲线中的 a,b,c 大小关系与椭圆中的 a,b,c 大小关系,在椭圆中 a2=b2+c2, 而在双曲线中 c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率 e∈(1,+∞),而椭圆的离心率 e∈(0,1). x2 y2 b y2 x2 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程 a b a a b a 是 y=± x. b 4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与 双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交 点.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) x2 y2 1.(2013· 北京)若双曲线 2- 2=1 的离心率为 3,则其渐近线方程为( a b A.y=± 2x 1 C.y=± x 2 答案 B 解析 由 e= 3,知 c= 3a,得 b= 2a. b ∴渐近线方程为 y=± x,y=± 2x. a π x2 y2 y2 x2 2.(2013· 湖北)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 =1 的( 4 sin θ cos θ cos θ sin θ A.实轴长相等 C.离心率相等 答案 D 解析 双曲线 C1、C2 的焦距均为 2 sin2θ+cos2θ=2. B.虚轴长相等 D.焦距相等 ) B.y=± 2x 2 D.y=± x 2 )

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3.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 B. 3 C.2 D.3 )

答案 B x2 y2 解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂 a b x2 y2 c2 b4 b2 直,因此直线 l 的方程为:x=c 或 x=-c,代入 2- 2=1 得 y2=b2( 2-1)= 2,∴y=± ,故 a b a a a |AB|= 2b2 2b2 ,依题意 =4a, a a

c2-a2 2 b2 ∴ 2=2,∴ 2 =e -1=2,∴e= 3. a a x2 y2 4.(2014· 江西)过双曲线 C: 2- 2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于点 a b A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程 为( ) x2 y2 B. - =1 7 9 x2 y2 D. - =1 12 4 x2 y2 A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 8 8 答案 A x=a, ? ? ? ?x=a, 解析 由? 得? ∴A(a,-b). b ?y=-b, ? ?y=-ax, ? 由题意知右焦点到原点的距离为 c=4, ∴ ?a-4?2+?-b?2=4,即(a-4)2+b2=16. 而 a2+b2=16,∴a=2,b=2 3. x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直 a b 于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取 值范围是( A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 B b2 b2 解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, ),B(-c,- ),E(a,0), a a ) B.(1,2) D.(2,1+ 2)

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→ → ∵△ABE 是锐角三角形,∴EA· EB>0, b2 b2 → → 即EA· EB=(-c-a, )· (-c-a,- )>0, a a 整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. y2 6. (2014· 北京)设双曲线 C 经过点(2,2), 且与 -x2=1 具有相同渐近线, 则 C 的方程为________; 4 渐近线方程为________. 答案 x2 y2 - =1 y=± 2x 3 12

y2 解析 设双曲线 C 的方程为 -x2=λ (λ≠0), 4 将点(2,2)代入上式,得 λ=-3, x2 y2 ∴C 的方程为 - =1, 3 12 其渐近线方程为 y=± 2x. x2 y2 7.(2014· 浙江)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交 a b 于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 答案 5 2

x2 y2 b 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x. a b a b ? ?y=ax, am bm 由? 得 A( , ), 3b-a 3b-a ? ?x-3y+m=0 b ? ?y=-ax, -am bm 由? 得 B( , ), a+3b a+3b ?x-3y+m=0 ? a2m 3b2m 所以 AB 的中点 C 的坐标为( 2 ). 2, 2 9b -a 9b -a2 设直线 l:x-3y+m=0(m≠0), 因为|PA|=|PB|,所以 PC⊥l, 所以 kPC=-3,化简得 a2=4b2. 在双曲线中,c2=a2+b2=5b2, c 5 所以 e= = . a 2

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x2 y2 8.(2013· 湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点, P 是 C 上一点, 若|PF1| a b +|PF2|=6a 且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为________. 答案 3

解析 不妨设|PF1|>|PF2|,

则|PF1|-|PF2|=2a, 又∵|PF1|+|PF2|=6a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. 又在△PF1F2 中,∠PF1F2=30° , 由正弦定理得,∠PF2F1=90° ,∴|F1F2|=2 3a, 2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a 9.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)的条件下求△F1MF2 的面积. (1)解 ∵离心率 e= 2,∴双曲线为等轴双曲线, 可设其方程为 x2-y2=λ(λ≠0), 则由点(4,- 10)在双曲线上, 可得 λ=42-(- 10)2=6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明 ∵点 M(3,m)在双曲线上, ∴32-m2=6,∴m2=3, 又双曲线 x2-y2=6 的焦点为 F1(-2 3,0),F2(2 3,0), → → ∴MF1· MF2=(-2 3-3,-m)· (2 3-3,-m) =(-3)2-(2 3)2+m2=9-12+3=0, ∴MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. 1 (3)解 S△F1MF2= ×4 3×|m|=6. 2

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x2 10.已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点,而 C2 4 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且OA· OB>2(其中 O 为原点), 求 k 的取值范围. x2 y2 解 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1 (a>0,b>0), a b 则 a2=3,c2=4,再由 a2+b2=c2,得 b2=1. x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1, 3 得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

?1-3k ≠0, ? ?Δ=?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0,
1 ∴k2≠ 且 k2<1.① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 2k 9 则 x1+x2= ,x x =- . 1-3k2 1 2 1-3k2 ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) 3k2+7 =(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 2 . 3k -1
2

2

→ → 又∵OA· OB>2,得 x1x2+y1y2>2, ∴ 3k2+7 -3k2+9 1 >2,即 2 >0,解得 <k2<3.② 2 3 3k -1 3k -1

1 由①②得 <k2<1, 3 故 k 的取值范围为?-1,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,1 . 3? ?3 ? B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟)

x2 y2 11.已知 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2, a b 若边 MF1 的中点 P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

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A.4+2 3 C. 3+1 2

B. 3-1 D. 3+1

答案 D 解析 因为 MF1 的中点 P 在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a, △MF1F2 为正三角形,边长都是 2c,所以 3c-c=2a, c 2 所以 e= = = 3+1,故选 D. a 3-1 12.(2013· 重庆)设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60° 的直 线 A1B1 和 A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是( A.? C.? 2 3 ? ? 3 ,2? B.? )

2 3 ? ? 3 ,2? 2 3 ? ? 3 ,+∞?

2 3 ? ? 3 ,+∞?

D.?

答案 A 解析 由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称.又由题意知有 且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于 30° 且小于等于 b 1 b2 c c2 b2 4 60° ,即 tan 30° < ≤tan 60° ,∴ < 2≤3.又 e2=( )2= 2=1+ 2,∴ <e2≤4, a 3 a a a a 3 ∴ 2 3 <e≤2,故选 A. 3

13. 设过双曲线 x2-y2=9 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于点 P, Q, F2 为双曲线的右焦点. 若 |PQ|=7,则△F2PQ 的周长为( A.19 C.43 答案 B 解析 如图,由双曲线的定义可得
? ?|PF2|-|PF1|=2a, ? ?|QF2|-|QF1|=2a, ?

) B.26 D.50

将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a, ∴△F2PQ 的周长为 |PF2|+|QF2|+|PQ| =4a+|PQ|+|PQ|=4×3+2×7=26. x2 y2 14.(2013· 辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等 9 16

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于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 答案 44 解析 由双曲线 C 的方程,知 a=3,b=4,c=5, ∴点 A(5,0)是双曲线 C 的右焦点, 且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16, 由双曲线定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6. ∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28, 因此△PQF 的周长为 |PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. x2 y2 15.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3

解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|= a,|PF2|= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 得 cos∠F1PF2= = - e2. 8 2 8 8 2· a· a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3 4 16.已知离心率为 的椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴 5 为虚轴,且焦距为 2 34. (1)求椭圆及双曲线的方程; (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A、B,在第二象限内取双曲线上一点 P,连接 BP 交椭圆于点 → → M,连接 PA 并延长交椭圆于点 N,若BM=MP,求四边形 ANBM 的面积. x2 y2 解 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b x2 y2 则根据题意知双曲线的方程为 2- 2=1, a b

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a2-b2 4 ? ? = , 5 且满足? a ? ?2 a2+b2=2 34,
2 ? ?a =25, 解方程组得? 2 ?b =9. ?

x2 y2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,双曲线的方程为 - =1. 25 9 25 9 (2)由(1)得 A(-5,0),B(5,0),|AB|=10, → → 设 M(x0,y0),则由BM=MP得 M 为 BP 的中点, 所以 P 点坐标为(2x0-5,2y0). 将 M、P 坐标代入椭圆和双曲线方程,

?25+ 9 =1, 得? ?2x -5? 4y ? 25 - 9 =1,
0 2 2 0 2 消去 y0,得 2x0 -5x0-25=0.

2 x0

2 y0

5 3 3 解之,得 x0=- 或 x0=5(舍去).∴y0= . 2 2 5 3 3 由此可得 M(- , ),∴P(-10,3 3). 2 2 当 P 为(-10,3 3)时, 3 3 直线 PA 的方程是 y= (x+5), -10+5 3 3 x2 y2 即 y=- (x+5),代入 + =1, 5 25 9 得 2x2+15x+25=0. 5 ∴x=- 或-5(舍去), 2 5 ∴xN=- ,xN=xM,MN⊥x 轴. 2 1 3 3 ∴S 四边形 ANBM=2S△AMB=2× ×10× =15 3. 2 2

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