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【南方新课堂】高考数学大一轮专题复习 专题五 立体几何配套课件 文_图文

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专题五 立体几何 立体几何是高中数学的重要内容之一.在历年高考试卷中 被定位于中、低档题.各种题型均有出现,一般是“一小(或两 小)一大”.预计高考对本节知识的考查主要是以下几个方面: (1)求柱、锥、台、球体的面积或体积; (2)重视新增的“三视图”(2007 年与 2009 年两次涉及解答 题),通过给出的简单组合体的三视图,求其表面积、体积; (3)以三棱锥、四棱锥或三棱柱、四棱柱为载体,以线面平 行、线面垂直为核心,考查平行和垂直关系. 题型 1 三视图与表面积、体积 例 1:(2012 年广东广州二模)某建筑物的上半部分是多面 体 MN-ABCD,下半部分是长方体 ABCD-A1B1C1D1(如图 5-1). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 5-2,其中正(主)视图由 正方形和等腰梯形组合而成,侧(左)视图由长方形和等腰三角 形组合而成. (1)求线段 AM 的长; (2)证明:平面 ABNM⊥平面 CDMN; (3)求该建筑物的体积. 图 5-1 图 5-2 (1)解:如图 5-3,过点M 作 MO⊥平面ABCD,垂足为 O, 连接 AO. 由于 AB?平面 ABCD,故 MO⊥AB. 作 MP⊥AB,垂足为 P,连接 PO. 又 MO∩MP=M,且MO?平面MPO,MP?平面 MPO, ∴AB⊥平面 MPO. 由题意知 MO=PO=AP=1,AA1=4,AD=2. 在 Rt△POM 中,PM= PO2+MO2= 2, 在 Rt△APM 中,AM= AP2+PM2= 3, ∴线段 AM 的长为 3. 图 5-3 图 5-4 (2)证明:延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ,如图 5-3, 由(1)知:AB⊥平面 MPO. ∵MQ?平面 MPO,∴AB⊥MQ. ∵MN∥AB,∴MN⊥MQ. 在△PMQ 中,MQ=MP= 2,PQ=2, ∵MP2+MQ2=4=PQ2,∴MP⊥MQ. ∵MP∩MN=M,MP?平面 ABNM,MN?平面 ABNM, ∴MQ⊥平面 ABNM. ∵MQ?平面 CDMN,∴平面 ABNM⊥平面 CDMN. (3)解:方法一,如图 5-3,作 NP1∥MP 交 AB 于点 P1,作 NQ1∥MQ 交 CD 于点 Q1,由题意知多面体 MN-ABCD 可分割 为两个等体积的四棱锥 M-APQD 和 N-P1BCQ1 和一个直三棱 柱 MPQ-NP1Q1. 四棱锥 M-APQD 的体积为 1 1 2 V1=3· AP· AD· MO=3×1×2×1=3, 直三棱柱 MPQ-NP1Q1 的体积为 1 1 V2=2· MP· MQ· MN=2× 2× 2×2=2, ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 2 10 V=2V1+V2=2×3+2= 3 . 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V3=AB· BC· AA1=4×2×4=32. 106 ∴建筑物的体积为 V+V3= 3 . 方法二,如图 54,将多面体 MN-ABCD 补成一个直三棱 柱 ADQ-BCQ1, 依题意知 AQ=DQ=BQ1=CQ1= 2,MQ=NQ1=1,AD =2. 多面体 MN-ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体 积减去两个等体积的三棱锥 M-ADQ 和 N-BCQ1 的体积. ∵AQ2+DQ2=4=AD2,∴∠AQD=90° . 直三棱柱 ADQ-BCQ1 的体积为 1 1 V1=2· AQ· DQ· AB=2× 2× 2×4=4, 三棱锥 M-ADQ 的体积为 11 1 1 1 V2=3· AQ· DQ· MQ=3×2× 2× 2×1=3. 2· ∴多面体 MN-ABCD 的体积为 2 10 V=V1-2V2=4-3= 3 . 长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V3=AB· BC· AA1=4×2×4=32. 106 ∴建筑物的体积为 V+V3= 3 . 【方法与技巧】三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等” 的原则,即“正、俯视图一样长,正、侧视图一样高,俯、侧 视图一样宽”.本题主要考查锥体体积、空间线线、线面关系、 三视图等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及空间想 象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【互动探究】 1.(2013 年广东广州二模)如图 5-5,已知四棱锥 P-ABCD 的正视图是一个底边长为 4、腰长为 3 的等腰三角形,图 5-6、 图 5-7 分别是四棱锥 P-ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证:AD⊥PC; (2)求四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积. 图 5-5 图 5-6 图 5-7 (1)证明:如图 D35,依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的 正射影是线段 CD 的中点 E,连接 PE, 则 PE⊥平面 ABCD. 图 D35 ∵AD?平面 ABCD, ∴AD⊥PE. ∵AD⊥CD,CD∩PE=E,CD?平面PCD,PE?平面PCD, ∴AD⊥平面 PCD. ∵PC?平面 PCD,∴AD⊥PC. (2)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中,PC=PD=3,DE =EC=2, 在 Rt△PED 中,PE= PD2-DE2= 5. 过点 E 作 EF⊥AB,垂足为 F,连接 PF, ∵PE⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD,∴AB⊥PE. ∵EF?平面 PEF,PE?平面 PEF,EF∩PE=E, ∴AB⊥平面 PEF. ∵PF?平面 PEF,∴AB⊥PF. 依题意得 EF=AD=2. 在 Rt△PEF 中, PF= PE2+EF2=3, 1 ∴△PAB 的面积为 S=2×AB×PF=6. ∴四棱锥 P-ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6. 题型 2 平行与垂直关系 例 2:(2012 年广东深圳二模)如图 5-8(1),四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平

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