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汉明码的编码和译码算法

时间:2012-04-02


汉明码(Hamming)的编码和译码算法 的编码和译码算法 汉明码

本文所讨论的汉明码是一种性能良好的码,它是在纠错编码的实践中较早发 现的一类具有纠单个错误能力的纠错码, 在通信和计算机工程中都有应用。 例如: 在“计算机组成原理”课程中,我们知道当计算机存储或移动数据时,可能会产 生数据位错误,这时可以利用汉明码来检测并纠错。简单的说,汉明码是一个错 误校验码码集,由Bell实验室的R.W.Hamming发明,因此定名为汉明码。如果 对汉明码作进一步推广,就得出了能纠正多个错误的纠错码,其中最典型的是 BCH码,而且汉明码是只纠1bit错误的BCH码,可将它们都归纳到循环码中。 各种码之间的大致关系显示如下。

一、 汉明码的编码算法 输入:信源消息u(消息分组u) 输入:信源消息 (消息分组 ) 输出:码字 输出:码字v 处理: 处理:
信源输出为一系列二进制数字0和1。在分组码中,这些二进制信息序列分成 固定长度的消息分组(message blocks)。每个消息分组记为u,由k个信息位 组成。因此共有2k种不同的消息。编码器按照一定的规则将输入的消息u转换为

二进制n维向量v,这里n >k。此n维向量v就叫做消息u的码字(codeword)或码 向量(code vector)。 因此,对应于2k种不同的消息,也有2k种码字。这2k个 码字的集合就叫一个分组码(block code)。若一个分组码可用,2k个码字必须 各不相同。因此,消息u和码字v存在一一对应关系。由于n符号输出码字只取决 于对应的k比特输入消息,即每个消息是独立编码的,从而编码器是无记忆的, 且可用组合逻辑电路来实现。

定义: 一个长度为n, k个码字的分组码, 有2 当且仅当其2k个码字构成域GF(2) 上所有n维向量组成的向量空间的一个K维子空间时被称为线性(linear)(n, k) 线性( 线性 ) 码。 汉明码(n,k,d)就是线性分组(n, k)码的一种。其编码算法即为使用生成 矩阵G:v = u·G 。 例1-1:针对汉明码Hamming (7,4,3)而言,u=(u0,u1,u2,u3), v=(v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6),则我们有 (v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6)=(u0,u1,u2,u3) ·G 。 Hamming (7,4,3) 的生成矩阵G为: ?1 ?0 G =? ?0 ? ?0 0 0 0 1 0 1? 1 0 0 1 1 1? ?, 0 1 0 1 1 0? ? 0 0 1 0 1 1? 0 0 0 1 0 1? 1 0 0 1 1 1? ?, 0 1 0 1 1 0? ? 0 0 1 0 1 1?

?1 ?0 (v0,v1,v2,v3,v4,v5,v6) =(u0,u1,u2,u3) · ? ?0 ? ?0 所以我们有: v0 = u0 , v1 = u1 , v2 = u2 , v3 = u3 , v4= u0+u1+u2, v5= u1+u2+u3, v6=u0+u1+u3,

例如u=1101,对应→v=1101001。处理完毕。■ 其他汉明码照此处理,甚至其他线性分组(n, k)码都照此办理即可。 线性分组(n, k)码的校正子(伴随式)有2n-k个,设该码的纠错能力为t,那么 重量小于或者等于t的所有错误模式(图样)都要有唯一的校正子(伴随式)与
t ?n? ?n? ? ? ,当2n-k= ∑ ? ? 时, 之对应,因而,对于二进制(n, k)码,有汉明限:2 ≥ ∑ ? ? ? ? i =0 ? i ? i =0 ? i ?

n-k

t

(n, k)码称为完备码(Perfect Code)。完备码的伴随式得到了充分的利用,不 存在解码不唯一的问题,然而完备码不一定是纠错能力强的码,因为它的最小距 离dmin未必最大。完备码也是稀少的,已知的二进制完备码有t=1的汉明码 (Hamming Code)和t=3的格雷码(Golay Code),以及n为奇数的简单重复 (n,1)码。三进制完备码有t=2的(11,6,5)格雷码。 纠错能力t=1的完备码统称为汉明码。由定义可知,(n, k)汉明码应当满足下 列条件:2n-k=1+n ,令校验位长m=n-k,那么容易知道: n=2m-1, k=2m-1-m, dmin=3 。 汉明码的校验矩阵H具有特殊的性质:它的m维列向量正好是除零向量以外 的所有可能的向量组合,共有2m-1个,恰好构成了H矩阵的列数n。 格雷码通常是指线性分组(23,12)码,最小距离dmin=7,纠错能力 t=3。由 ? 23 ? ? 23 ? ? 23 ? 于223-12=2048=1+ ? ? + ? ? + ? ? ?1? ?2? ?3? ? ? ? ? ? ? 量)分布见下面表0-1。 ,所以格雷码是完备码,其码重(码的重

表0-1 码重 0 7 253 8 506

格雷码的码重分布 11 1288 12 1288 15 506 16 253 23 1

码个数 1 备注:

1、汉明码的生成矩阵: Hamming (7,4,3) 的生成矩阵G

?1 ?0 ? ?0 ? ?0

0 0 0 1 0 1? 1 0 0 1 1 1? ? 0 1 0 1 1 0? ? 0 0 1 0 1 1?

Hamming (17,12,3) 的生成矩阵G ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? Hamming (13,9,3) 的生成矩阵G ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1? 0? ? 1? ? 0? 1? ? 1? 0? ? 0? 1? ? 1 1 0 1 1? 1 1 1 1 1? ? 1 1 1 0 1? ? 1 1 1 0 0? 0 1 1 1 0? ? 0 0 1 1 1? 1 0 0 0 1? ? 1 1 0 1 0? 0 1 1 0 1? ? 1 0 1 0 0? ? 0 1 0 1 0? 0 0 1 0 1? ?

Hamming (15,11,3) 的生成矩阵G

?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? Hamming (16,11,4) 的生成矩阵G ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ?

1 0 0 1? 1 1 0 1? ? 1 1 1 1? ? 1 1 1 0? 0 1 1 1? ? 1 0 1 0? 0 1 0 1? ? 1 0 1 1? 1 1 0 0? ? 0 1 1 0? ? 0 0 1 1?

1 0 0 1 1? 1 1 0 1 0? ? 1 1 1 1 1? ? 1 1 1 0 0? 0 1 1 1 0? ? 1 0 1 0 1? 0 1 0 1 1? ? 1 0 1 1 0? 1 1 0 0 1? ? 0 1 1 0 1? ? 0 0 1 1 1?

2、除了分组码之外,还有卷积码。卷积码编码器同样接受k比特分组的信息 序列u,并产生n符号组的编码序列(码序列)v(卷积码编码中,符号u和v用来 表示分组的序列而非单个分组)。但是,每一个编码分组不仅取决于当前单位时 间对应的k比特消息组,而且与前m个消息组有关。此时,编码器的存储级数 (memory order)为m。编码器所产生的所有可能的输出编码序列的集合构成了一 个码。比值R=k/n称为码率(code rate)。由于编码器有存储单元,因而必须采 用时序逻辑电路实现。

二、 汉明码的译码算法 输入:接收向量 输入:接收向量r 输出:译码所得码字 输出:译码所得码字v* 处理: 处理:
考虑一个(n,k)线性分组码,其生成矩阵为G,奇偶校验矩阵为H。令 v=( v0,v1, … ,vn-1)表示要通过有噪信道传输的码字,r = (r0,r1, … ,rn-1)为信道输出 端接收到的码字。 由于信道中的噪声, r可能与v不同。 向量和e= r +v=( e0,e1,…,en-1) 是一个n维向量,其中ri≠ vi时,ei=1,而ri= vi时,ei=0。该n维向量e称为差错向 量(error vector)或错误模式或错误图样(error pattern), 它直接指出接收向量r不 同于传输码字v的位置。e中的1表示由于信道噪声引起的传输差错(transmission errors)。 接收向量r的译码包括如下三个步骤:

1、 2、

计算r的校正子(伴随式)s = r·HT; · 确定校正子(伴随式)s = r·HT对应的陪集首el,于是el被假定为由信道 · 引起的错误模式(错误图样);

3、

将接收向量r译为码字v*=r+ el +



上述译码方案被称为校正子(伴随式)译码(syndrome decoding)或查表 校正子(伴随式)译码( decoding) 校正子 译码(table lookup decoding)。 译码( decoding)

输入

r

计算r的校正子(伴随式)s = r HT;

校正子和可纠正错误 模式(陪集首)的对 应表

确定校正子(伴随式)s=r HT 对应的陪集首el,于是el被假定 为由信道引起的错误模式(错 误图样);

将接收向量r译为码字v el

r

输出:译码所得码字v*

例2-1:Hamming (7,4,3) 的生成矩阵G= [ Ik P ]k×n : ?1 ?0 =? ?0 ? ?0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1? 1? ?, 0? ? 1?

则奇偶校验矩阵H为

H = [ PT

?1 1 1 0 1 0 0? In-k ](n-k)×n= ?0 1 1 1 0 1 0? ,这里n=7, k=3。 ? ? ?1 1 0 1 0 0 1? ? ?

该码有23=8个陪集: 校正子s s0 0 1 s1 0 0 s2 0 1 可纠正错误模式(陪集首)el e0 0 1 e1 0 0 e2 0 0 e3 0 0 e4 0 0 e5 0 0 e6 0 0

1 1 0 1 0 0

1 1 1 0 1 0

1 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

假设传输码字为v=1110100,接收向量为r=0110100(错1位),其校正子s= r·HT=101, 对应e=1000000,v*=r + e=1110100,所以译码正确! ·
*

假设传输码字为v=1110100,接收向量为r=0110000(错2位),其校正子s= r·HT=001, 对应e=0000001,v*=r + e=0110101,所以译码错误! · 可以看出:汉明码 汉明码Hamming (7,4,3)可以纠正含单个差错的错误模式或者检 汉明码 可以纠正含单个差错的错误模式或者检 测出含两个差错的错误模式(而不能纠正含两个或两个以上差错的错误模式)。 测出含两个差错的错误模式(而不能纠正含两个或两个以上差错的错误模式)。 两个以上差错的错误模式

例2-2:Hamming (17,12,3) 的生成矩阵G= [ Ik P ]k×n= : ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1? 1? ? 1? ? 0? 0? ? 1? 1? ? 0? 1? ? 0? ? 0? 1? ?

奇偶校验矩阵H = [ PT In-k ](n-k)×n= ?1 ?1 ? ?0 ? ?1 ?1 ? 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 ? ? ? ? 1 ? 1 ? 1? ?

该码有25=32个陪集: 校正子s s0s1s2s3s4 00000 11011 11111 11101 11100 01110 00111 10001 11010 01101 10100 01010 00101 10000 01000 00100 00010 00001 00011 01001 00110 10010 01100 11000 10101 10110 可纠正错误模式(陪集首)el e0e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14e15e16 00000000000000000 10000000000000000 01000000000000000 00100000000000000 00010000000000000 00001000000000000 00000100000000000 00000010000000000 00000001000000000 00000000100000000 00000000010000000 00000000001000000 00000000000100000 00000000000010000 00000000000001000 00000000000000100 00000000000000010 00000000000000001 00000000000000011 00000000000001001 00000000000000110 00000000000010010 00000000000001100 00000000000011000 10001000000000000 10000000100000000

01111 11110 01011 10011 11001 10111

10000000010000000 10000000000100000 10000000000010000 10000000000001000 10000000000000010 01000000000001000

例2-3:Hamming (13,9,3) 的生成矩阵G= [ Ik P ]k×n= : ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 1 1 1? 1 1 1 0? ? 0 1 1 1? ? 1 0 1 0? 0 1 0 1? ? 1 0 1 1? 1 1 0 0? ? 0 1 1 0? 0 0 1 1? ?

奇偶校验矩阵H = [ PT In-k ](n-k)×n= ?1 ?1 ? ?1 ? ?1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1?

该码有24=16个陪集: 校正子s s0s1s2s3 0000 1111 1110 0111 1010 0101 可纠正错误模式(陪集首)el e0e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12 0000000000000 1000000000000 0100000000000 0010000000000 0001000000000 0000100000000

1011 1100 0110 0011 1000 0100 0010 0001 1001 1101

0000010000000 0000001000000 0000000100000 0000000010000 0000000001000 0000000000100 0000000000010 0000000000001 0000000001001 1000000000010

例2-4:Hamming (15,11,3) 的生成矩阵G= [ Ik P ]k×n= : ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 奇偶校验矩阵H = [ PT In-k ](n-k)×n= ?1 ?0 ? ?0 ? ?1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ? ? 0 1 ? 1 1 ? ? 1 1? 1 0 0 1? 1 1 0 1? ? 1 1 1 1? ? 1 1 1 0? 0 1 1 1? ? 1 0 1 0? 0 1 0 1? ? 1 0 1 1? 1 1 0 0? ? 0 1 1 0? ? 0 0 1 1?

该码有24=16个陪集: 校正子s s0s1s2s3 0000 可纠正错误模式(陪集首)el e0e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14 000000000000000

1001 1101 1111 1110 0111 1010 0101 1011 1100 0110 0011 1000 0100 0010 0001

100000000000000 010000000000000 001000000000000 000100000000000 000010000000000 000001000000000 000000100000000 000000010000000 000000001000000 000000000100000 000000000010000 000000000001000 000000000000100 000000000000010 000000000000001

例2-5:Hamming (16,11,4) 的生成矩阵G为 : ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? P ]k×n= ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 0 0 1 1? 1 1 0 1 0? ? 1 1 1 1 1? ? 1 1 1 0 0? 0 1 1 1 0? ? 1 0 1 0 1? 0 1 0 1 1? ? 1 0 1 1 0? 1 1 0 0 1? ? 0 1 1 0 1? ? 0 0 1 1 1?

G= [ Ik

奇偶校验矩阵H = [ PT In-k ](n-k)×n:

?1 ?0 ? ?0 ? ?1 ?1 ?

1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1

? ? ? ? ? 1 ? 1? ?

该码有25=32个陪集: 校正子s s0s1s2s3s4 00000 10011 11010 11111 11100 01110 10101 01011 10110 11001 01101 00111 10000 01000 00100 00010 00001 10001 01001 00101 00011 11000 可纠正错误模式(陪集首)el e0e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12e13e14e15 0000000000000000 1000000000000000 0100000000000000 0010000000000000 0001000000000000 0000100000000000 0000010000000000 0000001000000000 0000000100000000 0000000010000000 0000000001000000 0000000000100000 0000000000010000 0000000000001000 0000000000000100 0000000000000010 0000000000000001 0000000000010001 0000000000001001 0000000000000101 0000000000000011 0000000000011000

10100 10010 01100 01010 00110 11011 10111 11110 11101 01111

0000000000010100 0000000000010010 0000000000001100 0000000000001010 0000000000000110 1000000000001000 1000000000000100 1000000001000000 1000100000000000 1001000000000000

备注: Hamming (7,4,3) 的生成矩阵 的生成矩阵G 1000101 0100111 0010110 0001011 ?1 ?0 ? ?0 ? ?0 0 0 0 1 0 1? 1 0 0 1 1 1? ? 0 1 0 1 1 0? ? 0 0 1 0 1 1?

的生成矩阵G Hamming (17,12,3) 的生成矩阵 10000000000011011 01000000000011111 00100000000011101 00010000000011100 00001000000001110 00000100000000111

00000010000010001 00000001000011010 00000000100001101 00000000010010100 00000000001001010 00000000000100101 ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? Hamming (13,9,3) 的生成矩阵 的生成矩阵G 1000000001111 0100000001110 0010000000111 0001000001010 0000100000101 0000010001011 0000001001100 0000000100110 0000000010011 1 1 0 1 1? 1 1 1 1 1? ? 1 1 1 0 1? ? 1 1 1 0 0? 0 1 1 1 0? ? 0 0 1 1 1? 1 0 0 0 1? ? 1 1 0 1 0? 0 1 1 0 1? ? 1 0 1 0 0? ? 0 1 0 1 0? 0 0 1 0 1? ?

?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ?

1 1 1 1? 1 1 1 0? ? 0 1 1 1? ? 1 0 1 0? 0 1 0 1? ? 1 0 1 1? 1 1 0 0? ? 0 1 1 0? 0 0 1 1? ?

Hamming (15,11,3) 的生成矩阵G 生成矩阵

100000000001001 010000000001101 001000000001111 000100000001110 000010000000111 000001000001010 000000100000101 000000010001011 000000001001100 000000000100110 000000000010011 ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 0 0 1? 1 1 0 1? ? 1 1 1 1? ? 1 1 1 0? 0 1 1 1? ? 1 0 1 0? 0 1 0 1? ? 1 0 1 1? 1 1 0 0? ? 0 1 1 0? ? 0 0 1 1?

Hamming (16,11,4) 的生成矩阵G 的生成矩阵 1000000000010011 0100000000011010 0010000000011111 0001000000011100 0000100000001110 0000010000010101 0000001000001011 0000000100010110 0000000010011001 0000000001001101 0000000000100111 ?1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? P ]k×n= ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 0 0 1 1? 1 1 0 1 0? ? 1 1 1 1 1? ? 1 1 1 0 0? 0 1 1 1 0? ? 1 0 1 0 1? 0 1 0 1 1? ? 1 0 1 1 0? 1 1 0 0 1? ? 0 1 1 0 1? ? 0 0 1 1 1?

G= [ Ik

参考文献: 参考文献:
[1] Lin S and Costello D J. “Error Control Coding (Second Edition).” Pearson Education Inc., 2004. [2]Robert H. Morelos-Zaragoza. “The Art of Error Correcting Coding (Second Edition).” John Wiley & Sons, Ltd., 2006. [3] ETSI TS 102 361-1: "Electromagnetic compatibility and Radio spectrum Matters (ERM); Digital Mobile Radio (DMR) Systems; Part 1: DMR Air Interface (AI) protocol". V1.4.5 (2007-12)[S]。


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