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安徽省省级示范高中名校2013届高三第二次联考(华普教育最后一卷)数学文试题 Word版含答案

时间:2013-06-12


安徽省级示范高中名校 2013 届高三第二次联考(华普教育最后一卷) 数学文试题
一、选择题(50 分) 1、若复数 z 满足 i(z-3)=-1+3ii(其中 i 为虚数单位) ,则 z 的共轭复数 z 为( A、1+i B、-1+i C、6+i D、6-ii ) )

2、已知集合 A={ x | ( x ? 1) 2 ? 1 , x ? R },B={ x | log 2 x ? 1 ,x ? R },则“ x ? A”是“ x ? B”的( A、充分不必要条件 C、充分必要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 )

3、已知正数数列{ an }是等比数列,若 a3 ?a11 =16, a5 =1,则公比 q=(

A、2

B、

1 2

C、 2

D、

2 2


4、已知圆 x 2 ? y 2 =1 的一条切线是 x-y+k=0,则 k=(

A、

?
4

B、 ?

2 2

C、

?
4



3? 4

D、 ? 2 )

5、某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面的面积中最大值是( A、 2 B、 3 C、2 D、 6

6、已知|a|=4,e 是单位向量,向量 a 与 e 的夹角是 |a+ 2 e|=( A、2 2 ) C、 10 D、 26

3? ,则 4

B、4+ 2

7、设 ? >0,则函数 f ( x) ? ? sin ? x 的图象可能是(



8、将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记录第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量 p =(m,n) ,q=(1,3) ,则向量 p 与 q 共线的概率为( A、 )

1 3

B、

1 6

C、

1 12

D、

1 18

9、 如图, 正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 的棱长为 1, 连接 AC1 , 交平面 A1 BD 于点 H, 则下列命题中错误的是 ( A、AC1 ⊥平面 A1 BD B、点 H 是△A1 BD 的重心 C、AH=



3 3

D、直线 AC1 与 BB1 所成角为 45° 10、已知抛物线 y 2 ? 4 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲线 曲线的交点,AF⊥x 轴,则双曲线的离心率是( A、 2 B、 2 +1 C、 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点重合,点 A 是两 a 2 b2



D、 3 +1

二、填空题(25 分) 11、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是___

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ?2 x ? y ? 7 ? 0 ? 12、设实数 x,y 满足不等式组 ? ,则 z=3x+4y 的最小值是___ x?0 ? ?y ? 0 ?
13、函数 f ( x) ? e x ? cos x 的图象在点 A(0,f(0) )处的切线方程是____ 14、若函数 y=f(x) ? R)满足 f(x+2)=f(x) (x ,且 x ? [-1,1]时,f(x)=|x|。函数 y=g(x) 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? (0,+ ? )时, g ( x) ? log 2 x ,则 y=f(x)的图象与 y=g(x)的交点 个数为____

15、某次考试分为选择题与非选择题两部分,右边散点图中每个点(X,Y) 表示一位学生在这两部分的得分, 其中 X 表示该生选择题得分, 表示该生非 Y 选择题得分, Z=X+Y 表示该生的总分, 设 现有 11 位学生的得分数据如图所示: ①X 的众数<Y 的众数; ③X 的方差>Y 的方差; ②X 的中位数>Y 的中位数; ④Z 的中位数=X 的中位数+Y 的中位数;

⑤Z 的平均数=X 的平均数+Y 的平均数 三、解答题(75 分) 16、 (本小题满分 12 分)

设△ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a,b,c,且 sinBsinC=sinAcosC=cosAsinC. (I)求角 C 的大小; (II)若 a+b+c=12,求△ABC 面积 S 的最大值。

17、 (本小题满分 12 分) 某校在 5 月份进行高考前的冲刺训练,某教师对自己所教的甲、乙两个班的数学成绩(满分 150 分) 进行了评价,按照大于或等于 135 分为优秀,小于或 135 分为非优秀的成绩统计后,得到如下的列联表:

(I)根据列联表的数据,能否有 97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”?并说明理由。 (II)现从乙班优秀的学生中随机抽取一人进行成绩分析,且按照下面的方法抽取,把乙班优秀的 20 名学 生从 1 到 20 进行编号后,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取的学生的编号,试求 抽取到编号为 6 号或 10 号学生的概率。

18、 (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCD 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD,F 为 CE 的中点,G 这 CD 的中点。 (I)求证:FG∥平面 ABC; (II)若 DE=2AB,求证:BF⊥CDE

19、 (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? b ln x(b ? 0)
2

(I)当 b>0 时,求 f(x)的单调区间;

(II)若 b<0,求 f(x)的最值。

20、 (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 5,最小值为 1。 (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)设 M,N 分别是椭圆 C 的左、右焦点,P 是椭圆上位于第一象限的点,且 |PM|·|PN|= ,求点 P 的坐标。

21、 (本小题满分 13 分) 设等差数列{ an }的首项为 a1 ,公差为 d,前 n 项和为 S n , 若 (I)求{ an }的通项公式; (II)若数列{ bn }满足 ,求证:

2013 安徽省省级示范高中名校高三联考 数学(文科)试题参考答案
1.D 解析:因为 z ?

?1 ? 3i ? 3 ? 6 ? i ,所以 z = 6 ? i . i

7.D 8.D

解析:函数 f ( x) 为奇函数,排除 B、C 选项,又周期T ? ? , ? ? 2, 故选 D. 解析: 向量 p 与 q 共线, 则有 3m ? n , 所以当 m=1 时, n=3; m=2 时, 当 n=6; 而事件总个数是 6 ? 6 ? 36

? ?

?

个,所以根据古典概型公式得: P ? 9.D 10.B

2 1 ? . 36 18

解析:A、B、C 正确,由图可知 AC1 与 BB1 的夹角为 ?A1 AC1 , 而 tan ?A1 AC1 = 2, 所以 D 错误. 解析:设双曲线的左焦点为 F ? ,连接 AF ? .∵ F 是抛物线 y 2 ? 4 px 的焦点,且 AF ? x 轴,∴不妨

2 设 A( p, y0 )( y 0 ? 0 ) 得 y0 ? 4 p ? p, 得 y0 ? 2 p, A( p, 2 p ) , , 因此,Rt ?AFF ? 中,| AF |?| FF ? |? 2 p ,

x2 y 2 得 | AF ? | = 2 2 p ,∴双曲线 2 ? 2 ? 1 的焦距 2c ?| FF ? |? 2 p ,实轴 2a ?| AF ? | ? | AF |? 2 p ( 2 ? 1) , a b
由此可得离心 e ?

c 2c 2p ? ? ? 2 ?1. a 2a 2 p( 2 ? 1) 6 4 ? 3, i ? 2 , 第二次循环 n ? 3 ? 3 ? 5 ? 4, i ? 3 , 第三次循环 n ? ? 2 , ? 4, i 2 2

11.4 解析: 第一次循环 n ? 满足条件输出 4 .

12.13 解析:作出可行域,由 ?

? x ? 2 y ? 5 ? 0 ? x ? 3, 得? 所以 zmin ? 3 ? 3 ? 4 ? 1 ? 13. ?2 x ? y ? 7 ? 0 ? y ? 1,

13. y ? x

k 解析:f ? ? x ? ? e ? sin x , ? f ? ? 0 ? ? 1,f ? 0 ? =0 , 所以切线方程 y ? 0 ? 1 ? ? x ? 0 ? , y ? x . 即
x

15、解:X 表示该生选择题得分,Y 表示该生非选择题得分, 根据图象可知 X 表示的数据位于 20 到 60 之间,估计中位数为 40, Y 表示的数据位于 25 到 45 之间,估计 Y 的中位数大概在 34 左右, ∴X 的中位数大于 Y 的中位数。选 16.解析: (Ⅰ)由题设可知: sin B sin C ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B, ∵ sin B ? 0, ∴ sin C ? 1, C ?

?
2

; .................................6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: c 2 ? a 2 ? b 2 , ∴ a ? b ? a 2 ? b 2 ? 12, ∵ a ? b ? 2 ab , a 2 ? b 2 ? 2ab, ∴ 2 ab ? 2ab ? 12, 即 ab ? 36(2 ? 2) 2 , ∴S ?

1 ab ? 18(2 ? 2) 2 ? 36(3 ? 2 2) ,即 S 的最大值为 36(3 ? 2 2) ......................12 分 2
105(10 ? 30 ? 20 ? 45) 2 ? 6.109 ? 5.024, 因此有 97.5% 的把握 55 ? 50 ? 30 ? 75

17.解析: (Ⅰ)根据列联表的数据,得到 k =

认为“成绩与班级有关系” ;............................................................6 分 (Ⅱ)设“抽到 6 号或 10 号学生”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为 ( x,y ) ,则所有 的 基 本 事 件 有 (1,1), (1 2), (1 3),? , (6, 6) , 共 36 个 . 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 有 , ,

(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5,1), (4, 6), (5, 5), (6, 4) ,共 8 个.
所以抽取到编号为 6 号或 10 号学生的概率为 P ( A) ?

8 2 ? . ............................12 分 36 9

18.解析: (Ⅰ)∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴ DE // AB, 在 ?CDE 中, DE / / GF , ∴ AB / / GF ,

又 AB ? 平面 ABC , GF ? 平面 ABC , ∴ FG // 平面 ABC ; .......................6 分 (Ⅱ)连接 AG,∵ AC ? AD, G 为 CD 的中点,∴ AG ? CD, 又 DE⊥平面 ACD,∴平面 ACD ? 平面 CDE , ∵平面 ACD ? 平面 CDE ? CD, AG ? 平面 ACD, ∴ AG ? 平面 CDE , 又 DE ? 2 AB 可知: AG // BF , ∴ BF ? 平面 CDE. .................................................12 分

? b ?? b? 2 ? x ? ? ?? x ? ? ? 2 ?? 2? ? , (Ⅱ)当 b ? 0 时, f ?( x) ? x
令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ? ?

b b ? (0, ?) (舍去) x2 ? ? ?? (0, ?), ? ? , 2 2

f ?( x),f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

? b? ? 0,? ? ? 2? ? ?

?
0

b 2

? ? b ? ? ? ? , ?? ? 2 ? ?

?
?

?
? f ( x) 有 且 只 有 一 个 极 小 值 点 , 极 小 值 为

极小值

从 上 表 可 看 出 函 数

? b? b? ? b ?? f ? ? ? ? ? ?1 ? ln ? ? ? ? . ...............................13 分 ? 2? 2? ? 2 ?? ? ?
20.解析: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
2 2 2

由已知得: a ? c ? 5, a ? c ? 1, .∴ a ? 3, c ? 2, ∴ b ? a ? c ? 5,

∴椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1; .........................................4 分 9 5



由(Ⅰ)可知:点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,且在第一象限, 9 5

? ? x2 y 2 3 3 , ?x ? ? 9 ? 5 ? 1, ? ? 2 ∴点 P 的坐标为 ( 3 3 , 5 ). .............13 分 所以由方程组 ? 2 解得 ? 2 2 ? x ? y 2 ? 1. ?y ? 5 , ?3 ? ? ? 2


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