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第1章1.2.3知能优化训练

时间:2012-05-21


4 1.若 sinα= ,且 α 是第二象限角,则 tanα 的值等于( 5 4 3 A.- B. 3 4 3 4 C.± D.± 4 3 解析:选 A.∵α 为第二象限角, 4 3 ∴cosα=- 1-sin2α=- 1-( )2=- , 5 5 4 5 sinα 4 ∴tanα= = =- . cosα 3 3 - 5 2.化简 1-sin2160°的结果是( ) A.cos160° B.-cos160° C.±cos160° D.±|cos160°| 2 2 解析:选 B. 1-sin 160°= cos 160°=-cos160°. 2sinα-cosα 3.若 tanα=2,则 的值为( ) sinα+2cosα 3 A.0 B. 4 5 C.1 D. 4 2sinα-cosα 2tanα-1 3 解析:选 B. = = . sinα+2cosα tanα+2 4 8 4.若 cosα=- ,则 sinα=________,tanα=________. 17 8 解析:∵cosα=- <0, 17 ∴α 是第二或第三象限角. 若 α 是第二象限角,则 sinα>0,tanα<0. 15 sinα 15 ∴sinα= 1-cos2α= ,tanα= =- . 17 cosα 8 若 α 是第三象限角,则 sinα<0,tanα>0. 15 sinα 15 ∴sinα=- 1-cos2α=- ,tanα= = . 17 cosα 8 15 15 15 15 答案: 或- - 或 17 17 8 8

)

一、选择题 5 1.若 α 是第四象限的角,tanα=- ,则 sinα 等于( 12 1 1 B.- A. 5 5 3 5 C. D.- 15 13 5 sinα =- ,sin2α+cos2α=1, 解析:选 D.∵tanα= 12 cosα )

5 ∴sinα=± , 13 5 又 α 为第四象限角,∴sinα=- . 13 2sinα cosα 的值为( 2.若 α 为第三象限角,则 2 + 1-sin α 1-cos2α A.3 B.-3 C.1 D.-1 解析:选 B.∵α 为第三象限角,∴sinα<0,cosα<0, cosα 2sinα cosα 2sinα ∴ 2 + 2 =|cosα|+ |sinα| =-1-2=-3. 1-sin α 1-cos α

)

12 3.(2011 年济南高一检测)A 为三角形 ABC 的一个内角,若 sinA+cosA= ,则这个三 25 角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 12 解析:选 B.∵sinA+cosA= , 25 12 2 144 2 ∴(sinA+cosA) =( ) = , 25 625 144 481 即 1+2sinAcosA= ,∴2sinAcosA=- <0, 625 625 ∴sinA>0,cosA<0, ∴A 为钝角,∴△ABC 为钝角三角形. 4.已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ 等于( ) 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 5 4 解析:选 D.sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ tan2θ+tanθ-2 = tan2θ+1 4+2-2 4 = = . 5 5 5.(tanx+cotx)cos2x=( ) A.tanx B.sinx C.cosx D.cotx sin2x+cos2x sinx cosx cosx 2 2 解析:选 D.(tanx+cotx)·cos x=( + )·cos x= ·cos2x= =cotx. cosx sinx sinx·cosx sinx 1-cosα cosα-1 6.使 = 成立的 α 的范围是( ) sinα 1+cosα A.{x|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z} B.{x|2kπ-π≤α≤2kπ,k∈Z} 3π C.{x|2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z} 2 D.只能是第三或第四象限的角 1-cosα (1-cosα)2 1-cosα cosα-1 解析:选 A . = = = , |sinα| sinα 1+cosα 1-cos2α 即 sinα<0,故{x|2kπ-π<α<2kπ,k∈Z}.

二、填空题 1-2sin40°·cos40° 7.计算 =________. sin40°- 1-sin240° 解析:原式= 答案:-1 1-sinαcosα =________. 8.已知 tanα=-3,则 2sinαcosα+cos2α 1-sinαcosα sin2α-sinαcosα+cos2α tan2α-tanα+1 (-3)2-(-3)+1 解析: = = = 2 = 2sinαcosα+cos α 2sinαcosα+cos2α 2tanα+1 2×(-3)+1 13 - . 5 13 答案:- 5 1-cos2α sinα 9.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 + 的值为________. cosα 1-sin2α 答案:0 三、解答题 1 1 1 )= + . 10.求证:sinθ(1+tanθ)+cosθ·(1+ tanθ sinθ cosθ sinθ cosθ 证明:左边=sinθ(1+ )+cosθ·(1+ ) sinθ cosθ 2 2 sin θ cos θ =sinθ+ +cosθ+ cosθ sinθ cos2θ sin2θ =(sinθ+ )+( +cosθ) sinθ cosθ 2 2 2 sin θ+cos θ sin θ+cos2θ = + sinθ cosθ 1 1 = + =右边, sinθ cosθ ∴原式成立. 2 11.在△ABC 中,sinA+cosA= ,AC=2,AB=3,求 tanA 的值. 2 2 解:∵sinA+cosA= ,① 2 1 1 ∴(sinA+cosA)2= ,即 1+2sinAcosA= , 2 2 1 ∴2sinAcosA=- . 2 ∵0°<A<180°,∴sinA>0,cosA<0. ∴sinA-cosA>0. 3 ∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= , 2 6 ∴sinA-cosA= .② 2 2+ 6 ①+②,得 sinA= . 4 2- 6 ①-②,得 cosA= . 4 2+ 6 4 sinA = × =-2- 3. ∴tanA= 4 cosA 2- 6 (sin40°-cos40°)2 cos40°-sin40° = =-1. sin40°- cos240° sin40°-cos40°

12.是否存在一个实数 k,使方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根是一个直角三角形两个 锐角的正弦值. 解:设这两个锐角为 A,B, ∵A+B=90°,∴sinB=cosA, 所以 sinA,cosA 为 8x2+6kx+2k+1=0 的两个根. 3k sinA+cosA=- 4 ① 所以 2k+1 ② sinAcosA= 8 10 ②代入①2,得 9k2-8k-20=0,解得 k1=2,k2=- ,当 k=2 时,原方程变为 8x2+ 9 10 11 12x+5=0,?<0 方程无解;将 k=- 代入②,得 sinAcosA=- <0, 9 72 所以 A 是钝角,与已知直角三角形矛盾.所以不存在满足已知条件的 k.

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