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高考数学 5.2 平面向量基本定理及坐标表示总复习课件_图文

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§5.2 要点梳理 平面向量基本定理及坐标表示 基础知识 自主学习 1.两个向量的夹角 (1)定义 已知两个非零 向量a和b,作OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量a 与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ = 0° ;a与b反向时,夹角θ = 180° . (3)向量垂直 如 果 向 量 a 与 b 的 夹 角90 是° 作 . 2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 a, ⊥ b ,则a与b垂直 记 不共线 有且只有 向量, 定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个 ?1e1+ ? 2e2 那么对于这一平面内的任意向量 a, 一对实 ? ? 数 1 , 2 , 使 a= . 基底 其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所 有向量的一组 . (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量 正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向 量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对 (x,y) (x,y)叫做向量a的坐标,记作a= ,其中x叫a在x 轴上的坐标, y 叫a在y轴上的坐标. 终 ②设 OA =xi+yj,则向量 OA 的坐标(x,y)就是 点A的坐标 ,即若 OA =(x,y),则A点坐标为 ( x, y ) ,反之亦成立.(O是坐标原点) 3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算. (2)向量坐标的求法 已 知 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 AB 终点 x1,y2-y1), 即一个向量的坐标等于该向量 始点 标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 ? y2 x 设? a=( x1,x y1 b =( x b? 2y 1=0 1), 2,y2), 其中 b≠0, 则 a 与 b a= . =(x2的坐 基础自测 1.(2008·辽宁文,5)已知四边形ABCD的顶点 A(0,2)、B(-1,-2)、C(3,1),且BC = 2 AD, 则顶点D的坐标为 1 7 A. (2, ) B.( 2,? ) 2 2 C.(3,2) D.(1,3) 解析 ∵A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), ( A ) ∴BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设D(x,y),∵ BC =2AD , AD =(x,y-2), 7 ∴(4,3)=(2x,2y-4).∴x=2,y= . 2 2.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x等于( B) A.9 解析 B.6 C.5 D.3 ∵a∥b,∴12-2x=0,∴x=6. ( ) 3. 已知两点 A( 4 , 1 ), B ( 7, -3 ),则与 AB 同向 的单位向量是 A ? 4 ? 4 A. ( ,? ) B. ( ? , ) 5 5 5 5 C. ( ? 4 , ? ) D. ( 4 ,? ? ) 5 5 5 5 解析 ∵A(4,1),B(7,-3), AB =(3, -4), ∴与 AB 同向的单位向量为 AB ? ( 3 ,? ? ). | AB | 5 5 4.(2008·安徽理,3)在平行四边形 ABCD中,AC 为一条对角线,若 AB = ( 2 , 4 ),AC= ( 1 , 3 ), 则 BD 等于 A.(-2,-4) C.(3,5) B.(-3,-5) D.(2,4) ( B ) 解析 如图所示, AD ? BC ? AC ? AB ?(-1,-1), 所以BD ? AD ? AB ? (-3,-5). 5. 已知向量 a= ( 8, ( a- 1 x ), b=(x,1) ,其中 x > 0 ,若 2 4 1 2 2b)∥(2a+b),则x的值为 解析 1 2 . a-2b=(8-2x, x-2),2a+b=(16+x,x+1), 由已知 (a? -2b)∥(2a+b), 显然 2a+b≠0 ,故有( 8? 2x, ? x=4 (x>0). ? 1 x-2)= ? (16+x,x+1) 2 8-2x= (16+x) 题型分类 题型一 平面向量基本定理 深度剖析 【例1】如图所示,在平行四边形ABCD中, M,N分别为DC,BC的中点,已知 AM =c, AN =d,试用c,d表示 AB , AD . 思维启迪 直接用 c 、 d 表示 AB 、 AD 有难度,可换 一个角度,由 、 AB AD 可求 、 AB AD . 表示 、 AM AN ,进而解方程组 解 方法一 设 AB =a, AD =b, 1 2 1 ? 2 ? 则 a = ? NB AN =d+ ( b ) ① AM ? MD b= =c+( 4 2 将②代入①得 a=d+( ) ? a? d? c 3 3 1 4 ,代入②得 2 4 2 b ? c ? (? ) ( d ? c) ? c ? d. 2 3 3 3 3 1 1 a ) ? [ c ? (? a)] 2 2 ② 方法二 设 AB =a, AD =b. 因M,N分别为CD,BC的中点, 1 1 所以BN ? b, DM ? a, 2 2 2 1 c=b+ a a= (2d-c) 3 2 因而 ? 1 2 d=a+ b b= (2c-d), 2 3 2 2 即 AB = (2d-c), AD = (2c-d). 3 3 探究提高 平面向量基本定理从理论上说明平面内任 何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说 AB 、 AD 一定能用 c 、 d 表示 . 本题用方程的思想使问题得 以解决. 知能迁移1 如图所示,在△ABC中,点 O是BC的中点,过点O的直线分别

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