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第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末质量评估(人教A版必修1)

时间:2016-10-09


第二章 基本初等函数(Ⅰ) 章末质量评估
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 3 1.2log6 2+3log6 3= ( A.0 B.1 C.6 2 D.log63 ).

1 1 解析 原式=2×2log62+3×3log63=log66=1. 答案 B 2.若不等式 x2-x≤0 的解集为 M,函数 f(x)=ln(1-|x|)的定义域为 N,则 M∩N 为 ( A.[0,1) 解析 答案 B.(0,1) C.[0,1] D.(-1,0] ).

易得 M=[0,1],N=(-1,1),∴M∩N=[0,1). A

3.已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=3x 的图象关于直线 y=x 对称,则 g(2)的值 为 ( A.9 解析 答案 B. 3 C. 2 D.log32 ).

依题意,g(x)=log3x,∴g(2)=log32. D

4.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是 ( ).

A.y= x C.y=lg|x| 解析

B.y=3x D.y= 是奇函数且

用排除法.A,B 是非奇非偶函数,C 是偶函数,y=

为增函数. 答案 D

?1? 5.已知幂函数 f(x)满足 f?3?=9,则 f(x)的图象所分布的象限是 ? ? ( A.第一、二象限 C.第一、四象限 解析 B.第一、三象限 D.只在第一象限 ).

?1? 设 f(x)=xn,则?3?n=9,n=-2. ? ?

∴f(x)=x-2,因此 f(x)的图象在第一、第二象限. 答案 A

?1? 6.已知 a=212,b=?2?-0.5,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为 ? ? ( A.c<b<a C.b<a<c 解析 B.c<a<b D.b<c<a , ).

?1? ∵a=212,b=?2?-0.5= ? ?

且 y=2x 在(-∞,+∞)上是增函数,∴a>b>20=1. 又 c=2log52=log54<1,因此 a>b>c. 答案 A

x ?3 ?x≤0?, ? ?1?? 7.(2013· 淄博高一检测)已知函数 f(x)=? 那么 f?f?8??的值为 ? ? ?? ?log2x ?x>0?,

( A.27 1 B.27 C.-27 1 D.-27

).

解析

x ?x≤0?, ?3 ? ∵f(x)= ?log2x ?x>0?,

1 ?1? ∴f?8?=log28=log22-3=-3. ? ? 1 ? ?1?? 因此 f?f?8??=f(-3)=3-3=27. ? ? ?? 答案 B (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中

8.给定函数:①

在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( A.①② 解析 B.②③ C.③④ D.①④ x+1)在(-1,+∞) ).

①函数 y=

在(0,+∞)上为增函数;②y=

上为减函数,故在(0,1)上也为减函数;③y=|x-1|在(0,1)上为减函数;④y= 2x+1 在(-∞,+∞)上为增函数,故选 B. 答案 B ?a≤b?, ?a>b?, 则函数 f(x)=1⊕2x 的图象是 ( ).

?a 9.定义运算 a⊕b=? ?b

解析 答案

x ?2 ,x≤0, ? 据题意 f(x)=1⊕2 = ?1,x>0. x

A

10.已知 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ex-1(其中 e 为自然对数的底数),则 ? f?ln ? 1? = 2? ? ( A.-1 解析 B.1 C.3 D.-3 1? 1? ? - ln ? ? =- f =-f(ln 2)=1-eln 2=1 2? 2? ? ? ).

1 ? ∵ln2<0,且 f(x)是奇函数∴f?ln ?

-2=-1. 答案 A

11.若 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),f(x)的反函数为 g(x),且 g(2)<1,则 f(x)的大致 图象是 ( ).

解析

g(x)=ax(a>0 且 a≠1),∴g(2)=a2<1,∴0<a<1,

故 f(x)=logax 是减函数,且图象过定点(1,0),选 B. 答案 B

12.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,设 a=f(- 3), 1? ? ?4? b=f?log32?,c=f?3?,则 a,b,c 的大小关系是 ? ? ? ? ( A.a<c<b C.b<c<a 解析 B.b<a<c D.c<b<a ).

1 a=f(- 3)=f( 3),b=f(log32)=f(log32),

4 4 ?4? c=f?3?.∵0<log32<1,1<3< 3,∴ 3>3>log32.∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ? ? ∴a>c>b. 答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中 的横线上) 13.函数 f(x)= (x-1)+ 2-x的定义域为________.

解析 答案

?x-1>0, 由题意得? 即 1<x≤2,从而函数的定义域为(1,2]. ?2-x≥0, (1,2]

1 1 14.(2013· 郑州高一检测)设 2a=5b=m,且a+b=2,则 m 等于________. 解析 由 2a=5b=m,得 a=log2m,b=log5m,

1 1 ∴a+b=logm2+logm5=logm10. 1 1 ∵a+b=2,∴logm10=2.∴m2=10,即 m= 10. 答案 10 ,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________.

15.已知幂函数 f(x)= 解析 f(x)=

在(0,+∞)上是减函数,

?a+1>0, 又 f(a+1)<f(10-2a),∴?10-2a>0, ?a+1>10-2a,
解之得 3<a<5. 答案 (3,5)

ax+b,x≤0, ? ? 16.函数 f(x)=? 1 logc?x+9?,x>0 ? ? =________.

的图象如图所示,则 a+b+c

1 解析 由图象可求得直线的方程为 y=2x+2.又函数 y=logc(x+9)的图象过点 1 1 13 (0,2),将其坐标代入可得 c= ,所以 a+b+c=2+2+ = . 3 3 3 答案 13 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算:(1) lg 2+lg 5-lg 8 2 +log 2 2 ; lg 50-lg 40

7 (2)(29)0.5+0.1-2+ 解 (1)原式= 5 lg4

37 -3π0+48.

lg?2×5?-lg 8 +log 2( 2)-1 5 lg 4

= 5-1=0. lg4 37 -3+48

(2)原式= 5 9 37 =3+100+16-3+48=100.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, f(x) ?1? =?2?x. ? ?

(1)画出函数 f(x)的图象; (2)根据图象写出 f(x)的单调区间,并写出函数的值域. 解 ?1? (1)先作出当 x≥0 时, f(x)=?2?x 的图象,利用偶函数的图 ? ?

象关于 y 轴对称,再作出 f(x),x∈(-∞,0)时的图象,如图. (2)函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为[0,+ ∞),值域为(0,1]. 2 7 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x -xα 且 f(4)=-2. (1)求 α 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解 7 2 7 (1)∵f(4)=-2,∴4-4α=-2,α=1.

2 (2)f(x)= x -x 在(0,+∞)上是减函数. 证明如下: 设任意 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2. ?2 ? ?2 ? f(x1)-f(x2)=?x -x1?-?x -x2? ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ? =(x2-x1)?x x +1?. ? 1 2 ? 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x x +1>0. 1 2 ∴f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), 2 故 f(x)= x-x 在(0,+∞)上是减函数. 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1). (1)若函数 f(x)在[2,3]上的最大值与最小值的和为 2,求 a 的值; (2)将函数 f(x)图象上所有的点向左平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位 长度,所得函数图象不经过第二象限,求 a 的取值范围. 解 (1)因为函数 f(x)=logax 在[2,3]上是单调函数,

所以 loga3+loga2=2,所以 a= 6. (2)依题意,所得函数 g(x)=loga(x+2)-1,由 g(x)的函数图象恒过(-1,-1) 点,且不经过第二象限, ?a>1, ?a>1, 可得? 即? 解得 a≥2,所以 a 的取值范围是[2,+ ?g?0?≤0, ?loga2-1≤0, ∞). 21.(本小题满分 12 分)(2013· 广州高一检测)已知函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1). (1)若函数 y=f(x)的图象经过点 P(3,4),求 a 的值; 1 (2)当 a 变化时,比较 f(lg 100)与 f(-2.1)的大小,并写出比较过程. 解 (1)∵f(x)的图象过点 P(3,4),

∴a3-1=4,即 a2=4,又 a>0,所以 a=2. 1 (2)当 a>1 时,f(lg100)>f(-2.1);

1 当 0<a<1 时,f(lg100)<f(-2.1). 比较过程如下: 1 ∵f(lg100)=f(-2)=a-3,f(-2.1)=a-3.1, 当 a>1 时,y=ax 在(-∞,+∞)上为增函数, 1 ∵-3>-3.1,∴a-3>a-3.1,故 f(lg100)>f(-2.1). 当 0<a<1 时,y=ax 在(-∞,+∞)上为减函数, ∵-3>-3.1,∴a 3<a
- -3.1

1 ,故 f(lg 100)<f(-2.1).

1+x 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=loga (其中 a>0 且 a≠1). 1-x (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性并给出证明; 1? ? (3)若 x∈?0,2?时,函数 f(x)的值域是[0,1],求实数 a 的值. ? ? 解 (1)由条件知 1+x >0,解得-1<x<1, 1-x

∴函数 f(x)的定义域为(-1,1); (2)由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=loga 1-x 1+x ?1+x?-1 x-1 2 ? = =loga? + =loga =-f(x), 1+x 1-x 1-x 1-x ?1-x?

因此 f(x)是奇函数. (3)f(x)=loga 1+x x-1+2 =loga 1-x 1-x

2 ? 2 ? ?x-1 ? + ?=loga?-1- =loga? , x - 1? ? ? ?1-x 1-x? 记 g(x)=1- 2 , x-1 1? 2 ? 在?0,2?上单调递增, ? x-1 ?

则 g(x)=-1-

1? ? 因此当 a>1 时,f(x)在?0,2?上单调递增, ? ?

?1? 由 f?2?=1,得 a=3; ? ? 1? ? 当 0<a<1 时,f(x)在?0,2?上单调递减, ? ? 由 f(0)=1 得出矛盾,a∈?;综上可知 a=3.


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