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18学年高中数学圆锥曲线4平面截圆锥面5圆锥曲线的几何性质学案北师大版4_1180224246

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§4 & §5 平面截圆锥面

圆锥曲线的几何性质

[对应学生用书 P39] [自主学习] 1.平面截圆锥面 (1)当截面 β 与圆锥面的轴 l 垂直时,所得交线是一个圆. (2)任取一平面 β ,它与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ (β 与 l 平行时,记 θ =0°), 当 θ >σ (σ 为圆锥母线与轴交角)时,平面截圆锥面所得交线为椭圆;当 θ =σ 时,交线 为抛物线;当 θ <σ 时,交线为双曲线. 2.圆锥曲线的几何性质 抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e(离心 率)的动点的轨迹,此时定点称为焦点,定直线称为准线. 当 e=1 时,轨迹为抛物线; 当 0<e<1 时,轨迹为椭圆; 当 e>1 时,轨迹为双曲线. [合作探究] 1.当平面 β 与圆锥面的轴 l 所成的夹角为 θ =π2 时,其交线应为什么? 提示:圆 2.由圆锥曲线的统一定义可知,椭圆、双曲线的准线有几条?定义 e 时,定点与定直 线有怎样的关系? 提示:因为椭圆、双曲线各有两个焦点,故其准线有两条.定义 e 时,定点与定直线是 对应的.即右焦点应对应右准线、左焦点对应左准线.
[对应学生用书 P40] 圆锥曲线的探讨 [例 1] 在空间中,取直线 l 为轴,直线 l′与 l 相交于 O 点,夹角为 α ,l′围绕 l

1

旋转得到以 O 为顶点,l′为母线的圆锥面,任取平面 γ ,若它与轴 l 的交角为 β (当 γ 与 l 平行时,记 β =0),求证:β =α 时,平面 γ 与圆锥的交线是抛物线.
[思路点拨] 本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问题.解题时,注意利用条件, 结合图形利用抛物线的定义求解.
[精解详析] 如图,设平面 γ 与圆锥内切球相切于点 F,球与圆锥的交线为 S,过该交 线的平面为 γ ′,γ 与 γ ′相交于直线 m.

在平面 γ 与圆锥的截线上任取一点 P,连接 PF.过点 P 作 PA⊥m,交 m 于点 A,过点 P

作 γ ′的垂线,垂足为 B,连接 AB,则 AB⊥m,∴∠PAB 是 γ 与 γ ′所成二面角的平面角.连

接点 P 与圆锥的顶点,与 S 相交于点 Q,连接 BQ,则∠BPQ=α ,∠APB=β .

在 Rt△APB 中,PB=PAcos β .

在 Rt△PBQ 中,PB=PQcos α .

∴PPQA=ccooss

β α

.

又∵PQ=PF,α =β ,∴PPFA=1,

即 PF=PA,动点 P 到定点 F 的距离等于它到定直线 m 的距离,故当 α =β 时,平面与

圆锥的交线为抛物线.

已知平面与圆锥面的轴的夹角为 β ,曲线与轴的夹角为 α ,当 α =β 时,平面与圆锥 的交线为抛物线.β <α 时为双曲线,β >α 时为椭圆.讨论曲线类型时注意结合图形.

1.一圆锥面的母线和轴线成 30°角,当用一与轴线成 60°的不过顶点的平面去截圆锥 面时,所截得的截线是( )

2

A.椭圆 C.抛物线 解析:选 A 如图可知应为椭圆.

B.双曲线 D.两条相交直线

圆锥曲线的几何性质 [例 2] 如图,已知圆锥母线与轴的夹角为 α ,平面 γ 与轴线夹角为 β ,焦球的半径 分别为 R,r,且 α <β ,R>r,求平面 γ 与圆锥面交线的焦距 F1F2,轴长 G1G2.

[思路点拨] 本题主要考查圆锥曲线的几何性质.由 β >α 知截线为椭圆.通过数形结 合转化到相应平面中求解.
[精解详析] 如图,在 Rt△O1F1O 中, OF1=tanO∠1FO11OF1=tanr β . 在 Rt△O2F2O 中,OF2=tanO∠2FO22OF2=tanR β . ∴F1F2=OF1+OF2=tRa+ n rβ . 同理,O1O2=sRi+n rβ .在 Rt△O1O2H 中, O1H=O1O2·cos α =sRi+n rβ ·cos α .又 O1H=A1A2,由切线定理,容易验证 G1G2=A1A2, ∴G1G2=sRi+ n rβ ·cos α .
已知圆锥曲线的结构特点,解决有关计算问题,通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等 式关系,列出方程来解决.
3

2.已知圆锥母线与轴夹角为 60°,平面 γ 与轴夹角为 45°,则平面 γ 与圆锥交线的

离心率是

,该曲线的形状是



解析:e=ccooss

45° 60°=

2.

∵e>1,∴曲线为双曲线.

答案: 2 双曲线

圆锥曲线的统一定义

[例 3] 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点

D,且 BF=2FD,则 C 的离心率为



[精解详析] 法一:如图,|BF|= b2+c2=a,作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由 BF=2FD,得 |OF| |BF| 2 |DD1|=|BD|=3,

所以|DD1|=32|OF|=32c,

即 xD=32c,由椭圆的第二定义得|FD|=e(ac2-32c)=a-32ca2.

又由|BF|=2|FD|,

得 a=2a-3ac2? e= 33.

x2 y2 法二:设椭圆方程为第一标准形式a2+b2=1,

设 D(x2,y2),F 分 BD 所成的比为 2, xc=01++22x2? x2=32xc=32c;

yc=b1++22y2? y2=3yc2-b=3×20-b=-b2,

9c2 14b2 代入椭圆方程得:4a2+ b2 =1?

e=

33.

[答案]

3 3

由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与 e 的关系,故涉及焦半径问题可考虑使圆

4

锥曲线的定义进行转化.同时注意数形结合思想的应用.

3.点 A(x0,y0)在双曲线x42-3y22 =1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2x0,则 x0



.

解析:由题知 a=2,b=4 2,

则 c= a2+b2=6, 所以右准线为 x=ac2=23,

由双曲线的第二定义知2dx0=e,

即x20-x023=3,所以 2x0=3x0-2,故 x0=2.

答案:2

本课时考点常用客观题的形式考查圆锥曲线的统一定义及几何性质,属中档题. [考题印证]
过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB|=2152,|AF|<|BF|,则

|AF|=

.

[命题立意]

本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线定义的应用.

[自主尝试] 设过抛物线焦点的直线为

y=k???x-12???,联立得?????yy2==k2???xx,-12???,

整理得 k2x2-(k2+2)x+14k2=0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=k2k+2 2,x1x2=14.

5

|AB|=x1+x2+1=k2k+2 2+1=2152,得 k2=24, 代入 k2x2-(k2+2)x+14k2=0 得 12x2-13x+3=0, 解之得 x1=13,x2=34, 又|AF|<|BF|, 故|AF|=x1+12=56. 答案:56

[对应学生用书 P41]

一、选择题

x2 y2 1.椭圆 4 + 3 =1

的右焦点到直线

y=

3x 的距离为(

)

A.12

B.

3 2

C.1

D. 3

3 解析:选 B 右焦点为(1,0),∴距离为 2 .

2.平面 γ 与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为 60°,则平面与圆锥面交线的

离心率是( )

A.2

1 B.2

C.

3 2

D.2 3

解析:选 A

e=ccoossβα

1 =1=2.

2

3.平面 γ 与圆锥的母线平行,那么它们交线的离心率是( )

A.1

B.2

6

C.12

D.无法确定

解析:选 A 由定义知交线为抛物线.

4.抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则 M 的纵坐标是( )

17 A.16

15 B.16

C.78

D.0

解析:选 B 设 M 的纵坐标为 y,则 y+116=1,∴y=1165.

二、填空题

5.设圆锥面 V 是由直线 l′绕直线 l 旋转而得,l′与 l 交点为 V,l′与 l 的夹角为

α (0°<α <90°),不经过圆锥顶点 V 的平面 γ 与圆锥面 V 相交,设轴 l 与平面 γ 所成的

角为 β ,则



时,平面 γ 与圆锥面的交线为圆;



时,平面 γ 与圆锥面的交线为椭圆;



时,平面 γ 与圆锥面的交线为双曲线;



时,平面 γ 与圆锥面的交线为抛物线.

答案:β =90° α <β <90° β <α β =α

6.已知椭圆两准线间的距离为 20,长轴长为 10,则短轴长为



??2a=10, 解析:由???2ca2=20

? a=5,c=52.

∴2b=2 a2-c2=5 3.

答案:5 3

7.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10),

则双曲线方程为



解析:∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ .

∵过点(4,- 10),∴16-10=λ ,即 λ =6, ∴双曲线方程为 x2-y2=6. 答案:x2-y2=6

7

8.已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是准线上一点,且

PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是



解析:∵PF1⊥PF2,

∴P 在以 F1F2 为直径的圆上.

??x2+y2=c2,

∴点 P(x,y)满足???x2=

a2 c

2.

解得 y2=c4-c2 a4.

∵|PF1|·|PF2|=|F1F2|·|y|,

∴4ab=2c·

c4-a4 c2 ,解得

e=

3.

答案: 3 三、解答题 9.如图,讨论其中抛物线的准线与离心率.

解:由抛物线结构特点知,抛物线上的任意一点 P 到焦点的距离 PF1 与到平面 γ 与 γ ′ 的交线 m 的距离 PA 相等,
∴e=PPFA1=1. ∴抛物线的准线是 m,离心率 e=1. 10.已知双曲线两顶点间距离为 2a,焦距为 2c,求两准线间的距离. 解:如图,l1,l2 是双曲线的准线,F1,F2 是焦点,A1,A2 是顶点, O 为中心. 由离心率定义AA11FH11=ca, ∴A1H1=acA1F1. 又 A1F1=OF1-OA1=c-a,
8

∴A1H1=a

c-a c

.

∴OH1=OA1-A1H1,

∴a-a

c-a c

a2 =c.

由对称性,得 OH2=ac2,

∴H1H2=2ca2.

11.如图,一个焦球与圆锥面的交线为圆 S,记圆 S 所在的平面为 γ ′,设 γ 与 γ ′

的交线为 m.在椭圆上任取一点 P,连接 PF1,在 γ 中过 P 作 m 的垂线,垂足为 A,过 P 作 γ ′ 的垂线,垂足为 B,连接 AB,AB 是 PA 在平面 γ ′上的射影.在 Rt△ABP 中,∠APB=β .

(1)求平面 γ 与 γ ′所成二面角的大小; (2)在所截椭圆上任取一点 P,求证:|PPFA1|为定值. 解:(1)由已知 PB⊥γ ′,平面 γ ′∩平面 γ =m. ∴m⊥PB.又 PA⊥m, ∴m⊥面 PAB, ∴∠PAB 是 γ 与 γ ′所成二面角的平面角. 又∠APB=β , ∴∠PAB=π2 -β . (2)证明:由已知 PB=PF1, ∴PPFA1=PPAB=sin∠PAB=cos β 为定值.
9


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