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高一数列的通项公式的几种常用求法

时间:2017-06-04


高中数列的通项公式的几种常用求法 数列是高考的必考内容, 也是同学们比较怕的一个知识点。 其实归结起来数列常考的就 三个知识点:等差等比数列性质的应用、求数列的通项公式、求数列的前 n 项和。而数列的 通项公式往往又决定着前 n 项和的求法, 所以求出数列的通项公式至关重要。 下面我将对数 列通项公式的几种常用求法进行总结。 一. 观察法 1 适用类型:已知数列前若干项,求该数列的通项时。 2 具体方法:一般对所给的项观察分析,找出项数 n 与项 an 之间的关系,从而根据规

律写出此数列的一个通项。 3 例题示范 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)4,44,444,4444,…

4 9 16 , 3 , 4 ,? 5 10 17 2 1 2 , , ,? (3) 1, 3 2 5 1 2 3 4 , ? ,? (4) , ? , 2 3 4 5
(2) 1 , 2 4 方法总结: (1)有分式又有整式的统一表示成假分式,再分子分母分别观察规律。

1 2

(?1) n 或(?1) n?1
(2)正负相间的先把负号去了观察规律,再用 来调节符 号。 二,公式法 高中重点学了等差数列和等比数列, 当题中已知数列是等差或等比数列, 在求其通项公 式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比。 1、等差数列公式 例 1、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10,求数列{an}的通项公式。

解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得

?a1 ? d ? 0, ? ?2a1 ? 12d ? ?10,

解得

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. 2、等比数列公式 例 2、设 {an } 是公比为正 ? 式。

?a1 ? 1, 数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 ,求 {an } 的通项公 ?d ? ?1.

解:设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q2 ? 2q ? 4 , 即 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1(舍去) ,因此 q ? 2. 所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (n ? N * ). 3、通用公式 三. 已知 sn 求 an 1 适用类型:已知数列的前 n 项和求通项时。 2 具体发方法:通常用公式 a n ? ?
(n ? 1) ?S1 。求解。一般先求出 a1 ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

? S1 ,若计算出的

an 中当 n=1 适合时可以合并为一个关系式,若不适合则分段表达通项公式。
例 3、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 1,求 {an } 的通项公式。 解: a1 ? s1 ? 0 ,当 n ? 2 时

an ? sn ? sn ?1 ? (n2 ? 1) ? [(n ? 1)2 ? 1] ? 2n ? 1
由于 a1 不适合于此等式 。 1、累加法 一般地,对于形如 an?1 ? an ? f (n) 类型的通项公式,且 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 的和比较 好求, 我们可以采用此方法来求 an 。 当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即: ∴ an ? ?

(n ? 1) ?0 ?2n ? 1 (n ? 2)

an 和 an ?1 的关系时,我们可以根据具体情况采用下列方法:
即: an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。

例 4、数列

?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且 bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 ,
B.3 C.8 D.11

b10 ? 12 ,则 a8 ?
A.0

解:由已知知

bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由累加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3
例 5、 已知数列 ?an? 满足 a1 ? 解:由题知: an ? 1 ? an ?

1 1 , an ? 1 ? a n ? 2 ,求数列 ?an? 的通项公式。 2 n ?n

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

? an ? (an ? an ? 1) ? (an ? 1 ? an ? 2) ? ……+(a 2 - a1) ? a1

?(

1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? …… ? ( ? ) ? n ?1 n n ? 2 n ?1 1 2 2

?
2、累乘法

3 1 ? 2 n

一般地对于形如“已知 a1,且

an ?1 ”的形式可通过累 ? f (n) ( f (n) 为可求积的数列) an
an an ?1 a ? ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) ; an ?1 an ? 2 a1
(n+1)· a n ?1 =n· an ,求 an 的表达式。

乘法求数列的通项公式。即: an ? 例 6、在数列{ an }中, a1 =1, 解:由(n+1)· a n ?1 =n· an 得

a n ?1 n , ? an n ?1 a n a 2 a3 a 4 an 1 2 3 n ? 1 1 ? = … = ? ? ? · · n n a1 a1 a 2 a 3 a n ?1 2 3 4

所以 a n ?

1 n

3 例题示范 例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为:① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。 四. 由递推式求数列通项 1 适用类型:已知数列的递推公式求通项公式时。 2 具体方法: (1)形如 an ? an?1 ? d 或 an ? an?1q ————利用等差等比来求 例 1 已知a1 ? 1, an?1 ? an ? 2求an 的通项公式 (2)形如 an?1 ? pan ? q -------构造等比数列 ② Sn ? n2 ? n ? 1

例 2 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an 【解析】? an?1 ? 2an ? 3 ,∴ an?1 ? 3 ? 2an ? 6 , 即 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,?

an ?1 ? 3 ? 2. an ? 3

∴ {an ? 3} 是以 a1 ? 3 ? 4 为首项, 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? 2 n?1 ? 3 .

(3)形如

--------累加法 , an ? an?1 ? 2n ?1,(n ? 2) ,求 an

例 3 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2

【解析】∵当 n ? 2 时, an ? an?1 ? 2n ?1 ,∴ an ? an?1 ? 2n ?1 , ∴ an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [(2n ? 1) ? (2n ? 3) ? ? ? 3] ? 2

?

[(2n ? 1) ? 3] ? (n ? 1) ? 2 ? n 2 ? 1 , 2

∵ a1 ? 2 ? 12 ? 1 ,∴ an ? n2 ? 1 (4)形如 ---------累乘法

例 4 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2n ? an ,求 an . 【解析】∵ an?1 ? 2n ? an ,∴

an ?1 ? 2n , an



a a2 a3 a4 ? ? ????? n ? 21 ? 22 ??????2n?1 , a1 a2 a3 an ?1

n ( n ?1) an 1? 2????? ( n ?1) ∴ ?2 ?2 2 , a1

又? a1 ? 1 ,∴ an ? 2

n ( n ?1) 2




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