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高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念教材习题点拨新人教A版选修2-2资料

时间:2017-03-28


高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念教材习题点拨 新人教 A 版选修 2-2
练习 1 8 点拨: 进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤, 体会“以直代曲”和逼近的思想. 3 练习 2

?i? ? ?i?2 ? 1 ?i?2 1 2 1.解:Δ Si≈Δ Si′=v? ?Δ t=?-? ? +2?· =-? ? · + ,i=1,2,?,n. ?n? ? ?n? ? n ?n?
n n
n n n n ? ?i?2 1 2? ?i? 于是 S= ?Si≈ ?Δ Si′= ?v? ?Δ t= ? ?-? ? · + ? n n i=1 i=1 i=1

? ?

i=1

? ? ?

n n?

?1?2 1 ?n-1?2·1-?n?2·1+2 =-? ? · -?-? ?n? n n ? ? ?
n n

?

?

n ? ?

n

1 2 2 2 =- 3(1 +2 +?+n )+2 1 n?n+1??2n+1? =- 3· +2 n 6 1? 1? 1?? =- ?1+ ??1+ ?+2. 3? n?? 2n? 取极限,得 S=lim ?Δ Si′ n→∞
i=1 n

?-1?1+1??1+ 1 ?+2? =lim ?? ? ? 3? n→∞ ? ? n?? 2n? ? ?
5 = . 3 点拨:进一步体会“以不变代变”和逼近的思想. 22 2.解:s= km. 3 点拨: 进一步体会“以不变代变”和逼近的思想, 熟悉求变速直线运动物体路程的方法 和步骤. 教材问题解答 (思考) 你能从定积分的几何意义解释性质(3)吗?
b ∫c 答: 如果在区间[a, b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0, 如图, 则∫af(x)dx=S, af(x)dx

∫cf(x)dx=S2, =S1, 其中(a<c<b), 结合图象不难得出 S=S1+S2, 即∫af(x)dx=∫af(x)dx

b

b

c

1

b +∫cf(x)dx.

练习 3
2 3 3 解:∫0x dx=4,从几何上看,表示由曲线 y=x 与直线 x=0,x=2,y=0 所围成的曲

边梯形的面积 S=4. 习题 1.5 A组 1.解:(1)∫1(x-1)dx≈ ? ??1+
2 100

i=1

?? ??

i-1?

? 1 -1?× =0.495; ? 100 ? ? 100

?? i-1?-1?× 1 =0.499; 2 (2)∫1(x-1)dx≈ ? ??1+ ? ? 500 ? ? 500 i=1 ??
500 1 000 i-1 ? ? 1 ?? 2 (3)∫1(x-1)dx≈ ? ??1+ ?-1?×1 000=0.499 5. 1 000 ? ? ? ? i=1

点拨:体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2.解:距离的不足近似值为 18×1+12×1+7×1+3×1+0×1=40 m; 距离的过剩近似值为 27×1+18×1+12×1+7×1+3×1=67 m. 3.证明:令 f(x)=1.用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b, 将区间[a, b]等分成 n 个小区间, 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 ξ i(i=1, 2, ?,

n),作和式

?f(ξ
i=1

n

i

)Δ x= ?
i=1

n

n b-a b-a b =b-a,从而∫a1dx=lim =b-a. ? n→∞ n n i=1

点拨:进一步熟悉定积分的概念. 4.解:根据定积分的几何意义,∫0 1-x dx 表示由直线 x=0,x=1,y=0 以及曲线
2 y= 1-x2所围成的曲边梯形的面积,即四分之一单位圆的面积,因此,∫1 1-x dx= . 0 1 2

π 4

点拨:进一步熟悉定积分的几何意义. 1 1 3 3 1 3 5.解:(1)∫0x dx= .由于在区间[0,1]上 x ≥0,所以定积分∫0x dx 表示由直线 x=0, 4

2

x=1,y=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形的面积.
1 1 1 3 0 3 1 3 (2)根据定积分的性质,得∫-1x dx=∫-1x dx+∫0x dx= +(- )=0. 4 4 由于在区间[-1,0]上 x ≤0,在区间[0,1]上 x ≥0,所以定积分∫-1x dx 等于位于 x 轴 上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积. 1 15 2 3 0 3 2 3 (3)根据定积分的性质,得 ∫-1x dx=∫-1 x dx+∫0x dx=- +4= .由于在区间[- 4 4 1,0]上 x ≤0,在区间[0,2]上 x ≥0,所以定积分∫-1x dx 等于位于 x 轴上方的曲边梯形面 积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积. 点拨:在(3)中,由于 x 在区间[-1,0]上是非正的,在区间[0,2]上是非负的,如果直 接利用定义把区间[-1,2]分成 n 等份来求这个定积分,那么和式中既有正项又有负项,而 且无法抵消一些项,求和会非常麻烦.利用性质(3)可以将定积分∫-1x dx 化为∫-1x dx+∫
2 3 0 2 3 0 3 3 3 3 2 3 3 3 1 3

x dx,这样,x3 在区间[-1,0]和区间[0,2]上的符号都是不变的,再利用定积分的定义,容

0 3 2 3 2 3 易求出∫-1x dx,∫0x dx,进而得到定积分∫-1x dx 的值.由此可见,利用定积分的性质可

以简化运算. B组 1.解:该物体在 t=0 到 t=6(单位:s)之间走过的路程大约为 14.5 m. 点拨: 根据定积分的几何意义, 通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体 走过的路程. 2.解:(1)v=9.18t.

i 1 1 8×9 (2)过剩近似值: ?9.81× × =9.81× × =88.29 m; 2 2 4 2 i=1
8

不足近似值: ?9.81×
i=1

8

i-1 1
2

1 8×7 × =9.81× × =68.67 m. 2 4 2

4 4 (3)∫09.81tdt;∫09.81tdt=78.48 m.

3.解:(1)分割 在区间[0,l]上等间隔地插入 n-1 个分点,将它等分成 n 个小区间:

?0,l?,?l,2l?,?,??n-1?l,l?,记第 i 个区间为??i-1?l,il?(i=1,2,?, ? n? ?n n ? ? ? ? n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?
il ?i-1?l l n),其长度为 Δ x= - = . n n n

? l? ?l 2l? ??n-1?l,l?上质量分别记为: 把细棒在小段?0, ?,? , ?,?,? ? n n n n ? ? ? ? ? ?

3

Δ m1,Δ m2,?,Δ mn,则细棒的质量 m= ?Δ mi.
i=1

n

(2)近似代替 当 n 很大,即 Δ x 很小时,在小区间?

??i-1?l,il?上,可以认为线密度 ρ (x)=x2 n n? ? ?

的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于任意一点 ξ i∈

??i-1?l,il?处的函数值 ρ (ξ )=ξ 2.即在小区间??i-1?l,il?上, 细棒的质量近似 ? i i ? n n? n n? ? ? ? ?
于均匀分布,其线密度近似地等于 ρ (ξ i)=ξ i.于是,细棒在小段?
2

??i-1?l,il?上质量 n n? ? ?

Δ mi≈ρ (ξ i)Δ x=ξ (3)求和

2

i

l (i=1,2,?,n). n

得细棒的质量 m= ?Δ mi≈ ?ρ (ξ i)Δ x= ?ξ
i=1 i=1 i=1

n

n

n

2

i

l . n

(4)取极限 细棒的质量 m=lim ?ξ n→∞
i=1
1 2 所以 m=∫0x dx.

n

2

i

l , n

4


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