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【步步高 学案导学设计】高中数学 第一章 集合与函数概念章末综合检测B 新人教A版必修1

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第一章集合与函数概念章末检测 B
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若集合 A、B、C 满足 A∩B=A,B∪C=C,则 A 与 C 之间的关系是( ) A.A C B.C A C.A? C D.C? A 1-x 2.已知函数 y= 2 的定义域为( ) 2x -3x-2 A.(-∞,1] B.(-∞,2] 1 1 C.(-∞,- )∩(- ,1] 2 2 1 1 D.(-∞,- )∪(- ,1] 2 2 3.设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合运算:P*Q={z|z=ab(a+b),a∈P,b∈Q}, 若 P={0,1},Q={2,3},则 P*Q 中元素之和是( ) A.0 B.6 C.12 D.18 2 2 4.已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a -4a,-1},N={b -4b+1,-2},映 射 f:x→x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.集合 M 由正整数的平方组成,即 M={1,4,9,16,25,…},若对某集合中的任意两个 元素进行某种运算,运算结果仍在此集合中,则称此集合对该运算是封闭的.M 对下列运算 封闭的是( ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 y-3 6.设全集 U={(x,y)|x,y∈R},集合 M={(x,y)| =1},N={(x,y)|y≠x+1}, x-2 则?U(M∪N)等于( ) A.? B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y=x+1} 3 2 7.已知偶函数 f(x)的定义域为 R,且在(-∞,0)上是增函数,则 f(- )与 f(a -a+ 4 1)的大小关系为( ) 3 2 A.f(- )<f(a -a+1) 4 3 2 B.f(- )>f(a -a+1) 4 3 2 C.f(- )≤f(a -a+1) 4 3 2 D.f(- )≥f(a -a+1) 4 cx 3 8.函数 f(x)= (x≠- ),满足 f[f(x)]=x,则常数 c 等于( ) 2x+3 2 A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3 x 9.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(- 1)等于( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3

10.已知函数 f(x)=4x -mx+5 在区间[-2,+∞)上是增函数,则 f(1)的取值范围是 ( ) A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25 2 ? ?x -4x+6, x≥0, 11.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是( ) ?x+6, x<0 ? A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 12.定义在 R 上的偶函数在[0,7]上是增函数,在[7,+∞)上是减函数,又 f(7)=6, 则 f(x)( ) A.在[-7,0]上是增函数,且最大值是 6 B.在[-7,0]上是减函数,且最大值是 6 C.在[-7,0]上是增函数,且最小值是 6 D.在[-7,0]上是减函数,且最小值是 6 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 2 ?x +2 x ? 13.设函数 f(x)=? ,已知 f(x0)=8,则 x0=________. ?2x x ? 14.已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则 f(7)=________. ? ?b,a≥b 15.若定义运算 a⊙b=? ,则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域为________. ?a,a<b ? 16.函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f(x2),则 称函数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件: x 1 1 1 ①f(0)=0;②f( )= f(x);③f(1-x)=1-f(x),则 f( )+f( )=________. 3 2 3 8 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 2 17.(10 分)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x -5x+q=0,x∈U},求 q 的值及 ?UA.
2

2

18.(12 分)讨论函数 f(x)=x+ (a>0)的单调区间.

a x

19.(12 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f( )=f(x)-f(y). (1)求 f(1)的值; 1 (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( )<2.

x y

x

20.(12 分)某商品在近 30 天内每件的销售价格 p(元)与时间 t(天)的函数关系是 p= ? 0<t<25,t∈N, ?t+20, ? 该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系是 Q= ?-t+100, 25≤t≤30,t∈N. ? -t+40(0<t≤30,t∈N). (1)求这种商品的日销售金额的解析式; (2)求日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天?

1 2 21.(12 分)已知 ≤a≤1,若函数 f(x)=ax -2x+1 在区间[1,3]上的最大值为 M(a), 3 最小值为 N(a),令 g(a)=M(a)-N(a). (1)求 g(a)的函数表达式; 1 (2)判断函数 g(a)在区间[ ,1]上的单调性,并求出 g(a)的最小值. 3

22.(12 分)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件: ①当 x∈R 时,其最小值为 0,且 f(x-1)=f(-x-1)成立; ②当 x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1 恒成立. (1)求 f(1)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)求最大的实数 m(m>1),使得存在 t∈R,只要当 x∈[1,m]时,就有 f(x+t)≤x 成立.

2

章末检测(B) 1.C [∵A∩B=A,∴A? B, ∵B∪C=C,∴B? C,∴A? C,故选 C.] ? ?1-x≥0, 2.D [由题意知:? 2 ?2x -3x-2≠0 ?

x≤1, ? ? 解得? 1 x≠- 且x≠2. ? 2 ?

故选 D.]

3.D [∵P={0,1},Q={2,3},a∈P,b∈Q,故对 a,b 的取值分类讨论.当 a=0 时, z=0;当 a=1,b=2 时,z=6;当 a=1,b=3 时,z=12.综上可知:P*Q={0,6,12},元素 之和为 18.] 4.D [∵集合 M 中的元素-1 不能映射到 N 中为-2, 2 ? ?a -4a=-2, ∴? 2 ?b -4b+1=-1. ?
? ?a -4a+2=0, 即? 2 ?b -4b+2=0. ?
2

∴a,b 为方程 x -4x+2=0 的两根, ∴a+b=4.] 2 2 2 2 2 5.C [设 a、b 表示任意两个正整数,则 a 、b 的和不一定属于 M,如 1 +2 =5?M;a 、 2 1 1 b2 的差也不一定属于 M,如 12-22=-3?M;a2、b2 的商也不一定属于 M,如 2= ?M;因为 a、 2 4 2 2 2 2 b 表示任意两个正整数,a ·b =(ab) ,ab 为正整数,所以(ab) 属于 M,即 a2、b2 的积属于 M.故选 C.] 6. B [集合 M 表示直线 y=x+1 上除点(2,3)外的点, 即为两条射线上的点构成的集合, 集合 N 表示直线 y=x+1 外的点,所以 M∪N 表示直线 y=x+1 外的点及两条射线,?U(M∪N) 中的元素就是点(2,3).] 7.D [设 x1>x2>0,则-x1<-x2<0, ∵f(x)在(-∞,0)上是增函数, ∴f(-x1)<f(-x2),又∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(x1)<f(x2),即 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 1 2 3 3 2 又∵a -a+1=(a- ) + ≥ , 2 4 4 3 3 2 ∴f(a -a+1)≤f( )=f(- ).] 4 4 cf x 3x cx 8.B [ =x,f(x)= = , 2f x +3 c-2x 2x+3 得 c=-3.] 0 9.D [因为奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,所以 f(0)=2 +2×0+b=b+1=0,b=- x 1.∴f(x)=2 +2x-1,f(1)=3,从而 f(-1)=-f(1)=-3.] 10.A [函数 f(x)的增区间为[ ,+∞),函数在区间[-2,+∞)上是增函数,所以 ≤ 8 8 -2,m≤-16,f(1)=4-m+5≥25.] ?x≥0, ?x<0, ? ? 11.A [易知 f(1)=3,则不等式 f(x)>f(1)等价于? 2 或? ? ? ?x -4x+6>3 ?x+6>3, 解得-3<x<1 或 x>3.] 12.B [由 f(x)是偶函数,得 f(x)关于 y 轴对称,其图象可以用下图简单地表示,

2

m

m

则 f(x)在[-7,0]上是减函数,且最大值为 6.]

13. 6 解析 ∵当 x≥2 时,f(x)≥f(2)=6, 当 x<2 时,f(x)<f(2)=4, 2 ∴x0+2=8(x0≥2),解得 x0= 6. 14.-2 解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=- 2 2×1 =-2. 15.(-∞,1] 解析 由题意知 x⊙(2-x)表示 x 与 2-x 两者中的较小者,借助 y=x 与 y=2-x 的图 象,不难得出,f(x)的值域为(-∞,1].

3 16. 4 解析 由题意得 f(1)=1-f(0)=1, 1 1 1 1 1 f( )= f(1)= ,f( )=1-f( ), 3 2 2 2 2 1 1 即 f( )= , 2 2 1 1 1 3 1 由函数 f(x)在[0,1]上为非减函数得,当 ≤x≤ 时,f(x)= ,则 f( )= , 3 2 2 8 2 1 3 1 3 1 又 f( × )= f( )= , 3 8 2 8 4 1 1 即 f( )= . 8 4 1 1 3 因此 f( )+f( )= . 3 8 4 2 17.解 设方程 x -5x+q=0 的两根为 x1、x2, ∵x∈U,x1+x2=5,∴q=x1x2=1×4=4 或 q=x1·x2=2×3=6. 2 当 q=4 时,A={x|x -5x+4=0}={1,4}, ∴?UA={2,3,5}; 2 当 q=6 时,A={x|x -5x+6=0}={2,3}, ∴?UA={1,4,5}. 18.解 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, x1x2-a 则 x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=(x2-x1)· .

x1x2

当 0<x1<x2≤ a时,有 0<x1x2<a, ∴x1x2-a<0. ∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x)在(0, a)上是减函数. 当 a≤x1<x2 时,有 x1x2>a,∴x1x2-a>0. ∴f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x)在[ a,+∞)上是增函数. ∵函数 f(x)是奇函数,∴函数 f(x)在(-∞,- a]上是增函数,在[- a,0)上是减 函数. 综上所述,f(x)在区间(-∞,- a],[ a,+∞)上为增函数,在[- a,0),(0, a] 上为减函数.

19.解 (1)令 x=y≠0,则 f(1)=0. (2)令 x=36,y=6, 36 则 f( )=f(36)-f(6),f(36)=2f(6)=2, 6 1 故原不等式为 f(x+3)-f( )<f(36),

x

即 f[x(x+3)]<f(36), 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数,

x+3>0 ? ?1 故原不等式等价于? >0 x ? ?0<x x+
153-3 . 2 20.解 (1)设日销售金额为 y(元),则 y=p·Q. ? -t+ ? t+ ∴y=? ? -t+ -t+ ? ? 0<x<
? ?-t +20t+800, =? 2 ?t -140t+4 000, ?
2 2

0<t<25,t∈N, 25≤t≤30,t∈N.

? ?-t +20t+800 (2)由(1)知 y=? 2 ?t -140t+4 000 ? ? ?- t- =? ? t- ?
2 2

+900,

0<t<25,t∈N,

-900, 25≤t≤30,t∈N. 当 0<t<25,t∈N,t=10 时,ymax=900(元); 当 25≤t≤30,t∈N,t=25 时,ymax=1 125(元). 由 1 125>900,知 ymax=1 125(元),且第 25 天,日销售额最大. 1 1 21.解 (1)∵ ≤a≤1,∴f(x)的图象为开口向上的抛物线,且对称轴为 x= ∈[1,3]. 3 a 1 ∴f(x)有最小值 N(a)=1- .

a

1 1 1 当 2≤ ≤3 时,a∈[ , ],f(x)有最大值 M(a)=f(1) a 3 2 =a-1; 1 1 当 1≤ <2 时,a∈( ,1],f(x)有最大值 M(a)=f(3) a 2 =9a-5; 1 1 1 ? ?a-2+a 3≤a≤2 ∴g(a)=? 1 1 ?9a-6+a 2<a ? ,

1 1 (2)设 ≤a1<a2≤ ,则 g(a1)-g(a2) 3 2 1 =(a1-a2)(1- )>0,

a1a2

∴g(a1)>g(a2),

1 1 ∴g(a)在[ , ]上是减函数. 3 2 1 1 设 <a1<a2≤1,则 g(a1)-g(a2)=(a1-a2)(9- )<0,∴g(a1)<g(a2), 2 a1a2 1 ∴g(a)在( ,1]上是增函数. 2 1 1 ∴当 a= 时,g(a)有最小值 . 2 2 22.解 (1)在②中令 x=1,有 1≤f(1)≤1,故 f(1)=1. (2)由①知二次函数的开口向上且关于 x=-1 对称,故可设此二次函数为 f(x)=a(x+ 1 1 2 2 1) (a>0),又由 f(1)=1 代入求得 a= ,故 f(x)= (x+1) . 4 4 (3)假设存在 t∈R,只要 x∈[1,m],就有 f(x+t)≤x. 取 x=1,有 f(t+1)≤1, 1 2 即 (t+2) ≤1, 4 解得-4≤t≤0. 对固定的 t∈[-4,0],取 x=m,有 f(t+m)≤m, 1 2 即 (t+m+1) ≤m, 4 2 2 化简得 m +2(t-1)m+(t +2t+1)≤0, 解得 1-t- -4t≤m≤1-t+ -4t, 故 m≤1-t+ -4t≤1-(-4)+ - - =9, t=-4 时,对任意的 x∈[1,9], 1 2 1 恒有 f(x-4)-x= (x -10x+9)= (x-1)(x-9)≤0, 4 4 所以 m 的最大值为 9.


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