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山西省康杰中学2017届高三模拟试题(三)(文数)

时间:2017-08-01

山西省康杰中学 2017 届高三模拟试题(三) 数学(文科)
【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】

一、 选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请 将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集 U ? ? 1,2,3,4,5?, 集合 A ? ? 1,3,5?,集合 B ? ?3,4?,则 ?CU A? ? B ? A. ?4? B ?3,4?. C.

?2,3,4?

D. ? 1, ,3,4,5?

2.已知复数 z 满足 z ? 1 ? i ? A. ?

1 i 2

1 ,则 z 的虚部为 1? i 1 1 B. ? C. i 2 2

D.

1 2

3. 在△ ABC 中,若 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos C 的值是 A. ?

2 2

B.

1 2

C.

2 2

D. ?

1 2

4. 已知非零向量 a, b 满足 | a |? 2,| b |? 1, (a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 A. 30° 5. 已知双曲线 渐近线方程为 A. y ? ? B. 60° C. 120° D. 150°

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 实轴长为 2,且经过点 (2,3) ,则双曲线的 a 2 b2

3 x 2

B. y ? ?

3 x 2

C. y ? ?3x

D. y ? ? 3x

6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 10,则判断框内 m 的取值范围是 A. (56,72] B. (72,90] C. (90,110] D. (56,90)

1

7. 如图是一个几何体的三视图,其中正视图与侧视图都是两底边长分别为 2 和 4,腰长 为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积为 A. 6 ? B. 12 ? C. 18 ? D. 24 ?

8.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度得到函数 g ( x) 的图象, 若 f ( x) 与 g ( x) 的图象的对称轴重合,则 ? 的值可以是 A.

? 4

B.

3? 4

C.

? 2

D.

? 6

?x ? 2 y ?1 ? 0 ? x y 9. 已知变量 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 8 ? 2 的最小值为 ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A. 10.

1 4

B.

1 2

C. 3

D. 4

3 2 已 知 定 义 域 为 [a ? 1,2a ? 1] 的 奇 函 数 f ( x) ? x ? (b ? 1) x ? x , 则

f ( 2x ?

b? )

f( ? x的解集为 ) 0
B. [ , 2]

A. [1,3]

1 3

C. [1,2]

D. [ ,1]

1 3

11. 在 直 角 坐 标 平 面 内 , 过 定 点 P 的 直 线 l : ax ? y ? 1 ? 0 与 过 定 点 Q 的 直 线

m : x ? ay ? 3 ? 0 相交于点 M ,则 MP ? MQ 的值为
A.

2

2

10 2

B.

10

C. 5

D. 10

2 12. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? f ( x) , 当 x ? (?1,1] 时 , f ( x) ? x ,

2

?log3 ( x ? 1), x ? 1 ,那么函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间[-5,5]上零点的个数为 g ( x) ? ? x ?2 , x ? 1
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知边长为 3 的正三角形 ABC 三个顶点都在球 O 的表面上,且球心 O 到平面 ABC 的距离为该球半径的一半,则球 O 的表面积为 .

14. 某珠宝店丢了一件珍 贵珠宝,以下四人 中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲说: 我没有偷;乙说:丙是小偷;丙说:丁是小偷;丁说:我没有偷 .根据以上条件,可以 判断偷珠宝人是 15. 已知椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,若椭圆上存在一点 P 满 a 2 b2

足线段 PF 1 相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段 PF 1 的中点,则该椭圆的离心 率为_____________. 16. 在△ ABC 中, B ? 周长的取值范围是

?
3

, AC ? 3 , D 为线段 BC 上一 点,若 AB ? AD ,则△ ADC 的
.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 1 7. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 中的公差是 d ,且 d ? 0, ai ? ? 1,?2,3,?4,5?(i ? 1,2,3) ,在数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 ,点 Bn (n, bn ) 在函数 g ( x) ? a ? 2 的图象上运动,其中 a 是与 x 无关的常数
x

(1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)若 cn ? anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,底面 ABCD 为平行四边形,且 AB ? AD ? 1 ,

AA1 ?

6 0 , ?ABC ? 60 . 2

3

(1)求证: AC ? BD1 . (2)求四面体 D1 ? AB1C 的体积.

19.(本小题 满分 12 分) 对某产品 1 至 6 月份销售量及其价格进行调查, 其售价和销售量之间的一组数据如下表 所示: 月份 单价 x(元) 销售量 y (件) 1 9 11 2 9.5 10 3 10 8 4 10.5 6 5 11 5 6 8 14

(1)根据 1 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的回归直线方程; (2)根据(1)的回归方程计算 6 月份的残差估计值; (3)预计在今后的销售中,销售量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是 2.5 元/件,为获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

?? (参考公式: b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

2 ? ) ? ? y ? bx ,a (参考数据: ? xi yi ? 392, ? xi ? 502.5 ) i ?1 i ?1

5

5

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点在坐标轴上,点 A(1,2) 为抛物线上一点 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若点 B(1,?2) 也在 C 上,过 B 作 C 的两条弦 BP 与 BQ ,若直线 BP 与直线 BQ 的斜 率之积为 ? 2 ,求证:直线 PQ 过定点.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 1 ? ln x .
2

4

(1)若 f ( x) 在 (0, ) 上是减函数,求 a 的取值范围; (2)函数 f ( x) 是否既有极大值又有极小值?若有,求 a 的取值范围;若没有,请说明理由.

1 2

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,以原点 O

为极点, 以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程.

?
4

)?4 2

(2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 坐标.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 2 设函数 f ( x ) ? x ? a ? x ? b ,其中 a , b 均为实数.

(1)若 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 3
2 2

(2)若 a ? b ? 4 ,证明: f ( x) ? 8

5

数学(文科)参考答案
一、选择题 1-5 CBCCD 二、填空题 13. 6-10 BBC AD 11-12 DB

16? 3

14. 甲

15.

5 3

16. (2 3,2 ? 3]

三、简答题 17. 解: (1)因为等差数列 ?an ? 中的公差是 d ? 0 ,

所以 a1 ? a2 ? a3 ,且 2a2 ? a1 ? a3 所以 a1 ? 5, a2 ? 3, a3 ? 1 ,即 d ? ?2 ……..2 分 所以 an ? 5 ? 2(n ? 1) ? 7 ? 2n ………………4 分 因为点 Bn (n, bn ) 在函数 g ( x) ? a ? 2x 的图象上
所以 bn ? a ? 2n ,又因为 b1 ? 1 ,所以 a ?

1 2

所以 bn ? 2n ?1 …………………………………6 分 (2)因为 cn ? anbn ? an ? 2n ?1
所以 Sn ? a1 ? 20 ? a2 ? 21 ? a3 ? 22 ? ? ? ? ? an ? 2n ?1 ①

2Sn ? a1 ? 21 ? a2 ? 22 ? a3 ? 23 ? ? ? ? ? an ?1 ? 2n ?1 ? an ? 2n ②
………………………………………8 分 ①-②得, ? Sn ? a1 ? 20 ? d ? 21 ? d ? 22 ? ? ? ? ? d ? 2n ?1 ? an ? 2n ………………………………………….10 分 所以 ? S n ? 2 a1 ? 2 ?
0

2 ? 2n ? 2n an , 1? 2

即 Sn ? (9 ? 2n) ? 2n ? 9 ………………………….12 分

18.解: (1)连结 BD、AC 相交于 O.

6

因为四边形 ABCD 为平行四边形,且 AB=AD, 所以四边形 ABCD 为菱形, 则 AC⊥BD……………….2 分 由直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1, 所以 BB1⊥平面 ABCD, 可知 BB1⊥AC, …………………………………………….4 分 则 AC⊥平面 BB1D1D,又 BD1 ? 平面 BB1D1D, 则 AC⊥BD1…………………………………………………6 分 (2) VD1AB1C ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB1ABC ? VD1ACD ? VA1A1B1D1 ? VCC1B1D1 = VABCD? A1B1C1D1 ? 4VB1 ABC ?

3 3 1 3 3 2 ? ? 4? ? ? ? 2 3 4 4 6 6

…………………………………………12 分 19.(1)由题得 x ? 10, y ? 8 ……………………………2 分 所以 b ?
?

?

?

?

392 ? 5 ? 10 ? 8 ? ?3.2 502 .5 ? 5 ? 100

a ? 8 ? 3.2 ? 10 ? 40 ……………………………..4 分

所以 y ? ?3.2 x ? 40 ………………………………6 分 (2)当 x ? 8 时, y ? ?3.2 ? 8 ? 40 ? 14.4 所以 y ? y ? ?0.4 …………………………………..8 分 (3)依题意,利润 L ? ( x ? 2.5)(?3.2 x ? 40)
?

?

?

? ?3.2x2 ? 48x ? 100(2.5 ? x ? 12.5) …………….10 分
所以当 x ? 7.5 时,利润最大 所以该产品定价为 7.5 元时,利润最大 ……………………………………12 分
20(1)设抛物线方程为 y ? ax
2

代入 A(1,2) 得 a ? 4 所以抛物线方程为 y ? 4 x ……………………………. 2 分
2

7

设抛物线方程为 x 2 ? my代入 A(1,2) 得 m ? 所以抛物线方程为 x ?
2

1 2

1 y 2
2

故抛物线 C 方程为 y 2 ? 4 x 或 x ?

1 y ………………4 分 2

(2)证明:由题得 C 的方程为 y 2 ? 4 x 设直线 BP 方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) 代入 y 2 ? 4 x 得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4k ? 4) x ? (k ? 2)2 ? 0 ………………………6 分 设 P( x1 , y1 ) ,则 x1 ?

(k ? 2) 2 k2

所以 P(

(k ? 2) 2 2k ? 4 , ) k2 k

同理可得 Q((k ? 1)2 ,2 ? 2k ) …………………………8 分

2k ? 4 ? 2 ? 2k 2k k 所以 PQ 直线斜率为 ? 2 2 (k ? 2) ? k ? 2k ? 2 ? (k ? 1) 2 2 k
所以直线 PQ 方程为

2k [ x ? (k ? 1) 2 ] ……………10 分 ? k ? 2k ? 2 2k ( x ? 3) 即y?2? 2 ? k ? 2k ? 2 y ? 2 ? 2k ?
2

所以直线 PQ 过定点 (3,2) ………………………….12 分

8

22.对于曲线 C1 有

? x ? cos a x ? ? ( )2 ? y 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1, ? 3 3 ? y ? sin a ?
x2 ? y 2 ? 1; …………………………2 分 即 C1 的方程为: 3
对于曲线 C2 有

9

4 2 ? x ? y ?8 ? 0

? 2 ? sin(? ? ) ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 2 ? ? cos ? ? ? sin ? ? 8

所 以 C2 的 方 程 为

x ? y ? 8 ? 0 ………………………..5 分
(1) 显然椭圆 C1 与 C2 无公共点, 椭 圆 上 点

P( 3 cos? ,sin ? )





线

x ? y ?8 ? 0









:

| 2sin(? ? ) ?8 | | 3 cos ? ? sin ? ?8 | 3 d? ? 2 2
当 s in(? ?

?

?
3

) ? 1 时, d 取最小值为 3 2 , 3 1 2 2

点 P 的坐标为 ( , ) …………………………………10 分

23.(1)因为 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 ,即 (a ? 1)2 ? (b ? 1)2 ? 0
2 2

所以 a ? 1, b ? ?1 ………………………………………….2 分 所以 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 所以不等式为 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 等价于 ?

x ? ?1 ? ? ?1? x ?1 或? ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ?x ? 1 ? x ? 1 ? 3

或?

x ?1 ?x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ?

3 3 或x? , 2 2 3 3 即 不等式解集为 ( ??, ? ] ? [ , ??) ………………………5 分 2 2
所以 x ? ? (2)因为 a ? b ? 4 所以 a ? 2ab ? b ? 16 ? 2(a ? b )
2 2 2 2

所以 a ? b ? 8 …………………………………………….7 分
2 2
2 2 2 2 2 2 因为 f ( x) ? x ? a ? x ? b ? ( x ? a ) ? ( x ? b ) ? a ? b

10

2 2 所以 f ( x) ? a ? b ? 8

当且仅当 a ? b 时,取等号,即 f ( x) ? 8 ………………….10 分

11


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