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高中数学专题训练(教师版)—不等关系

时间:2012-03-23


高中数学专题训练(教师版)— 高中数学专题训练(教师版)—不等关系
一、选择题 1.(2010·江西卷,文)对于实数 a,b,c,“a>b”是“ac2>bc2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由 ac2>bc2?a>b,但由 a>b 推不出 ac2>bc2,故选 B. 2. 设 a>b>0,下列各数小于 1 的是( ) a1 - A.2a b B.(b)2 a b C.( )a-b D.( )a-b b a 答案 D 解析 y=ax(a>0 且 a≠1).当 a>1,x>0 时,y>1,当 0<a<1,x>0 时,0<y<1. a b ∵a>b>0,∴a-b>0,b>1,0<a<1 由指数函数性质知,D 成立. 3.若 a、b∈R,下列命题中 ①若|a|>b,则 a2>b2; ②若 a2>b2,则|a|>b; ③若 a>|b|,则 a2>b2; ④若 a2>b2,则 a>|b|正确的是( ) A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④ 答案 C 解析 条件|a|>b,不能保证 b 是正数 条件 a>|b|可保证 a 是正数 故①不正确,③正确 a2>b2?|a|>|b|≥b,故②正确④不正确 4.(2011·沧州七校联考)若 a>1,0<b<1,则下列不等式中正确的是( ) b a A.a <1 B.b >1 C.logab<0 D.logba>0 答案 C 解析 特殊值法: 1 令 a=2,b=2,则只有 C 成立. 5.已知 0<a<b,且 a+b=1,下列不等式成立的是( ) a -b A.log2a>0 B.2 >1 C.2ab>2 D.log2(ab)<-2 答案 D 1 解析 由已知,0<a<1,0<b<1,a-b<0,0<ab<4,log2(ab)<-2,故选 D. 6.若 a>b>c,a+2b+3c=0,则( ) A.ab>ac B.ac>bc

C.ab>bc D.a|b|>c|b| 答案 A 7.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( ) 1 1 A.ab<b2<1 B.log b<log a<0 2 2 b a 2 C.2 <2 <2 D.a <ab<1 答案 C 1 1 解析 解法一 特值法.取 b=4,a=2. 解法二 0<b<a?b2<ab,A 不对; 1 y=log2x 在(0,+∞)上为减函数, 1 1 ∴log2b>log2a,B 不对; a>b>0?a2>ab,D 不对,故选 C. 二、填空题 8.若 1<α<3,-4<β<2,则 α-|β|的取值范围是______. 答案 (-3,3) 解析 -4<β<2?-4<-|β|≤0,-3<α-|β|<3. a b 1 1 9.已知 a+b>0,则b2+a2与a+b的大小关系是________. a b 1 1 答案 b2+a2≥a+b 2 a b ?1 1? a-b b-a ? 1 1 ? (a+b)(a-b) 解析 b2+a2-?a+b?= b2 + a2 =(a-b)?b2-a2?= . 2 2 ab ? ? ? ? (a+b)(a-b)2 a b 1 1 2 ∵a+b>0,(a-b) ≥0,∴ ≥0,∴b2+a2≥a+b. a2 b2 10.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是______. 1 答案 <a<1 2 解析 ∵a2+1>2a,loga(a2+1)<loga2a ∴0<a<1 ∵loga(2a)<loga1 1 ∴2a>1 ∴a>2 1 ∴2<a<1 11.下列命题为真的是____________. 1 1 ①若 a>b,则 alg2>blg2 ②若 a>b>0,c>d>0,则 a2- d>b2- c 1 1 ③若 a>b, 且 a、b∈R,则(3)a<(3)b 2π ④若 a∈[-π, 3 ],则 1-sinα>0 答案 ②③

1 lg <0,①是错误的,a>b>0,a2>b2,c>d>0, c> d>0,- c<- d, 2 1 1 1 π a2- d>b2- c.②正确. y=(3)x 是减函数, a>b, 3)a<(3)b.③正确. 则( ④中 α=2时 1-sinα=0,不正确. 12.一个棱长为 2 的正方体的上底面有一点 A,下底面有一点 B,则 A、B 两点间的距离 d 满足的不等式为________. 答案 2≤d≤2 3 13.(2010·上海春季高考改编)若 a>1,b<1,则下列两式的大小关系为 ab+ 1____a+b. 答案 < 解析 (ab+1)-(a+b) =1-a-b+ab=(1-a)(1-b) ∵a>1,b<1,∴1-a<0,1-b>0 ∴(1-a)(1-b)<0,∴ab+1<a+b 三、解答题 14.已知 a>0 且 a≠1,比较 loga(a3+1)和 loga(a2+1)的大小. 解析 当 a>1 时,a3>a2,a3+1>a2+1. 又 logax 为增函数,所以 loga(a3+1)>loga(a2+1); 当 0<a<1 时,a3<a2,a3+1<a2+1 又 logax 为减函数 所以 loga(a3+1)>loga(a2+1) 综上,对 a>0 且 a≠1,总有 loga(a3+1)>loga(a2+1) mx 15.已知 m∈R,a>b>1,f(x)= ,试比较 f(a)与 f(b)的大小. x-1 mx 1 1 1 解析 f(x)= =m(1+ ),所以 f(a)=m(1+ ),f(b)=m(1+ ). x-1 x-1 a-1 b-1 1 1 由 a>b>1,知 a-1>b-1>0,所以 1+ <1+ . a-1 b-1 1 1 ①当 m>0 时,m(1+ )<m(1+ ),即 f(a)<f(b); a-1 b-1 1 1 ②当 m=0 时,m(1+ )=m(1+ ),即 f(a)=f(b); a-1 b-1 1 1 ③当 m<0 时,m(1+ )>m(1+ ),即 f(a)>f(b). a-1 b-1 解析

x2 x3 1.(2010·江苏卷,理)设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9,则y4的最大 值是________. 答案 27 解析 由题设知, 实数 x, 均为正实数, y 则条件可化为 lg3≤lgx+2lgy≤lg8, ?lg3≤a+2b≤3lg2 x3 lg4≤2lgx-lgy≤lg9,令 lgx=a,lgy=b,则有? ,又设 t=y4, ?2lg2≤2a-b≤2lg3

则 lgt=3lgx-4lgy=3a-4b,令 3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),解得 m=-1,n x3 =2,即 lgt=-(a+2b)+2(2a-b)≤-lg3+4lg3=lg27,∴y4的最大值是 27. x2 x4 另解:将 4≤ ≤9 两边分别平方得,16≤ 2≤81,① y y 1 1 1 又由 3≤xy2≤8 可得,8≤xy2≤3,② x3 x3 由①×②得,2≤ 4≤27,即 4的最大值是 27. y y 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4≥10,S5≤15,则 a4 的最大值为 ________. 答案 4 4×3 解析 解法一 设等差数列{an}的公差为 d,依题意有 4a1+ 2 d≥10,即 5×4 2a1+3d≥5;5a1+ 2 d≤15,即 a1+2d≤3,注意到 a4=a1+3d=-(2a1+3d) +3(a1+2d)≤-5+3×3=4,因此 a4 的最大值为 4. ?S4≥10, ?4a1+6d≥10 ?2a1+3d≥5 解法二 由? 得? ,即? ?S5≤15 ?5a1+10d≤15 ?a1+2d≤3 求 a4=a1+3d 最值.

属于线性规划问题,平面区域为{2x+3y≥5?x+2y≤3 求目标函数 z=x+ 1 3y 最大值.目标函数 z 是一组斜率为-3的平行线,直线越向上 z 值越大,直线 离开平面区域的最后一个点的坐标为(1,1),所以 zmax=1+3=4.


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