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高中数学第一章集合1.1.1集合的概念学案新人教B版必修1

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1.1.1

集合的概念

[学习目标] 1.了解集合的含义, 体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3. 记住常用数集的表示符号并会应用.

[知识链接] 集合.

1. 在初中,我们学习数的分类时,学过自然数的集合,正数的集合,负数的集 合,有理数的
拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小 心为兄弟 ,以希 望为哨 兵。

2.在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成 点的集合. 3.解不等式 2x-1>3 得 x>2,即所有大于 2 的实数合在一起称为这个不等式的解集. 4.一元二次方程 x -3x+2=0 的解是 x=1,x=2. [预习导引] 1.元素与集合的概念 (1)集合:把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体 构成的集合(或集). (2)元素:构成集合的每个对象叫做这个集合的元素. (3)集合元素的特性:确定性、互异性. 2.元素与集合的关系 关系 属于 不属于 概念 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A 记法 读法
2

a∈A a?A

a 属于集合 A a 不属于集合 A

3.集合的分类 (1)空集:不含任何元素的集合,记作?. (2)非空集合: ①有限集:含有有限个元素的集合. ②无限集:含有无限个元素的集合. 4.常用数集的表示符号 名称 符号 自然数集 N 正整数集 N+或 N
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

1

要点一 集合的基本概念 例 1 下列每组对象能否构成一个集合: (1)我们班的所有高个子同学; (2)不超过 20 的非负数; (3)直角坐标平面内第一象限的一些点; (4) 3的近似值的全体. 解 (1)“高个子”没有明确的标准,因此不能构成集合.(2)任给一个实数 x,可以明确地 判断是不是“不超过 20 的非负数”, 即“0≤x≤20”与“x>20 或 x<0”, 两者必居其一, 且仅居其一,故“不超过 20 的非负数”能构成集合;(3)“一些点”无明确的标准,对于某 个点是否在“一些点”中无法确定, 因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集 合;(4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的 近似值,所以“ 3的近似值”不能构成集合. 规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准, 使给定的对象 是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的,就可以构成集合;如果是 “模棱两可”的,就不能构成集合. 跟踪演练 1 下列所给的对象能构成集合的是________. (1)所有正三角形; (2)必修 1 课本上的所有难题; (3)比较接近 1 的正整数全体; (4)某校高一年级的 16 岁以下的学生. 答案 (1)(4) 解析 序号 (1) (2) (3) (4) 能否构成集合 能 不能 不能 能 要点二 元素与集合的关系 例 2 所给下列关系正确的个数是( ) 理由 其中的元素是“三条边相等的三角形” “难题”的标准是模糊的、不确定的,所以所给对象不确定,故不能构成集合 “比较接近 1”的标准不明确,所以所给对象不确定,故不能构成集合 其中的元素是“16 岁以下的学生”

1 * * ①- ∈R;② 2?Q;③0∈N ;④|-3|?N . 2 A.1 B.2 C.3 D.4

答案 B

2

1 * 解析 - 是实数, 2是无理数,∴①②正确.N 表示正整数集,∴③和④不正确. 2 规律方法 1.由集合中元素的确定性可知, 对任意的元素 a 与集合 A, 在“a∈A”与“a?A” 这两种情况中必有一种且只有一种成立. 2.符号“∈”和“?”只表示元素与集合之间的关系,而不能用于表示其他关系. 3.“∈”和“?”具有方向性,左边是元素,右边是集合. 跟踪演练 2 设不等式 3-2x<0 的解集为 M,下列关系中正确的是( A.0∈M,2∈M C.0∈M,2?M 答案 B 解析 本题是判断 0 和 2 与集合 M 间的关系,因此只需判断 0 和 2 是否是不等式 3-2x<0 的解即可,当 x=0 时,3-2x=3>0,所以 0?M;当 x=2 时,3-2x=-1<0,所以 2∈M. 要点三 集合中元素的特性及应用 例 3 已知集合 B 含有两个元素 a-3 和 2a-1,若-3∈B,试求实数 a 的值. 解 ∵-3∈B,∴-3=a-3 或-3=2a-1. 若-3=a-3,则 a=0. 此时集合 B 含有两个元素-3,-1,符合题意; 若-3=2a-1,则 a=-1. 此时集合 B 含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数 a 的值为 0 或-1. 规律方法 1.由于集合 B 含有两个元素,-3∈B,本题以-3 是否等于 a-3 为标准,进行 分类,再根据集合中元素的互异性对元素进行检验. 2.解决含有字母的问题,常用到分类讨论的思想,在进行分类讨论时,务必明确分类标准. 跟踪演练 3 已知集合 A={a+1,a -1},若 0∈A,则实数 a 的值为________. 答案 1 解析 ∵0∈A,∴0=a+1 或 0=a -1. 当 0=a+1 时,a=-1,此时 a -1=0,A 中元素重复,不符合题意. 当 a -1=0 时,a=±1.
2 2 2 2

)

B.0?M,2∈M D.0?M,2?M

a=-1(舍),∴a=1.
此时,A={2,0},符合题意.

1.下列能构成集合的是(

)

A.中央电视台著名节目主持人
3

B.我市跑得快的汽车 C.上海市所有的中学生 D.香港的高楼 答案 C 解析 A、B、D 中研究的对象不确定,因此不能构成集合. 2.集合 A 中只含有元素 a,则下列各式一定正确的是( A.0∈A C.a∈A 答案 C 解析 由题意知 A 中只有一个元素 a,∴a∈A,元素 a 与集合 A 的关系不能用“=”,a 是 否等于 0 不确定,因为 0 是否属于 A 不确定,故选 C. 3.设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合,则深圳________A;广州________A(填∈或 ?). 答案 ? ∈ 解析 深圳不是省会城市,而广州是广东省的省会. 1 4.已知① 5∈R;② ∈Q;③0∈N;④π ∈Q;⑤-3?Z.正确的个数为________. 3 答案 3 解析 ①②③是正确的;④⑤是错误的. 5.已知 1∈{a ,a},则 a=________. 答案 -1 解析 当 a =1 时,a=±1,但 a=1 时,a =a,由元素的互异性知 a=-1.
2 2 2

)

B.a?A D.a=A

1.判断一组对象的全体能否构成集合,关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定,则 不能构成集合. 2.集合中的元素是确定的,某一元素 a 要么满足 a∈A,要么满足 a?A,两者必居其一.这也 是判断一组对象能否构成集合的依据. 3.集合中元素的两种特性:确定性、互异性.求集合中字母的取值时,一定要检验是否满足 集合中元素的互异性.

4


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